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復合函數問題的解答方法
如果y是u的函數，記為y=f(u)，u又是x的函數，記為u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，則稱函數y=f(g(x))為y關于x的復合函數；其中u稱為中間變量，函數y=f(u)稱為外層函數，函數u=g(x)稱為內層函數；復合函數的定義域由內層函數的值域來確定；復合函數的主要特征是外層函數的自變量又是一個函數。復合函數的問題主要包括：①復合函數解析式的求法；②復合函數函數值的求法；③復合函數單調性的判斷（或證明）；④復合函數奇偶性的判斷（或證明）等幾種類型，各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答復合函數問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地予以解答呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列各題：
1、如果f()=，則當x0且x1時，f(x)=(
)
A
B
C
D
-1
【解析】
【知識點】①換元法的數學思想及運用；②換元法的基本方法；
【解題思路】設t=，x=，求出
f(t)的解析式，從而得到函數f(x)的解析式。
【詳細解答】設t=，x=，
f(t)=
=
，
f(x)=
，B正確，
選B。
2、已知=，求f(x)；
【解析】
【知識點】①兩項和完全平方公式及運用；②拼湊法的數學思想及運用；③拼湊法的基本法方法。
【解題思路】把看成整體未知數，將化成-2，就可得到函數f(x)的解析式。
【詳細解答】==-2，
f(x)=
-2。
3、已知f(2x+1)=4+2x+1，求f(x)；
【解析】
【知識點】①兩項和完全平方公式及運用；②拼湊法的數學思想及運用；③拼湊法的基本法方法。
【解題思路】由=4+4x+1可知，在原解析式中加上2x就能得到，為保證式子不變，同時還需要減去2x，
f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，從而得到函數f(x)的解析式。
【詳細解答】
f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，
f(x)=
-x+1；
4、已知f(+1)=x+2，求f(x)
；
【解析】
【知識點】①兩項和完全平方公式及運用；②拼湊法的數學思想及運用；③拼湊法的基本法方法。
【解題思路】由=x+2+1可知，在原解析式中加上1就能得到，為保證式子不變，同時還需要減去1，求出
f(+1)的解析式，從而得到函數f(x)的解析式。
【詳細解答】
f(+1)=x+2=-1，
f(x)=
-1；
5、已知=
，求f(x)；
【解析】
【知識點】①換元法的數學思想及運用；②換元法的基本方法；
【解題思路】設t=，x=，求出
f(t)的解析式，從而得到函數f(x)的解析式；
【詳細解答】設t=，x=，
f(t)=
=
=
，
f(x)=
。
6、已知f（，求f(x)；
【解析】
【知識點】①換元法的數學思想及運用；②換元法的基本方法；③對數的定義與性質。
【解題思路】設t=，x=lnt+1，求出
f(t)的解析式，從而得到函數f(x)的解析式。
【詳細解答】設t=，x=lnt+1，
f(t)=2-1=2t+4lnt+1，
f(x)=2x+4lnx+1；
7、已知f()=+，求f(x)的解析式。
【解析】
【知識點】①換元法的數學思想及運用；②換元法的基本方法；
【解題思路】設t=，x=，求出f(t)=的解析式，從而得到函數f(x)的解析式。
【詳細解答】設t=，x=，
f(t)=
+=1++t-1=-t+1，
f(x)=
-x+1。
『思考問題1』
（1）【典例1】是已知f〔g(x)〕關于x的解析式，求f(x)的解析式的問題，這類問題的共同特點是：①f(t)中的t又是一個函數g(x)，②f(t)的解析式是關于x的解析式；解答這種問題的基本方法有：①拼湊法；②換元法。
（2）拼湊法是把已知關于x的解析式通過拼或湊的方法，使之成為關于g(x)的式子的形式，再將g(x)看成整體未知數x，從而得到f(x)的解析式；
（3）換元法是把g(x)用一個整體未知數t去替換，同時將f〔g(x)〕表示成f(t)關于t的解析式，然后再將解析式中的t都換成x得到函數f(x)的解析式。
〔練習1〕解答下列問題：
1、已知f(1-x)=
-3x+2，求f(x)；
2、已知f(1-cosx)=
，求f(x)；
3、已知f()=，求f(x)；
4、若f()=，則f(x)等于（
）
A
(x-1)
B
(x0)
C
(x-1)
D
1+x(x-1)
5、已知f(+1)=lgx，則f(x)=
。
【典例2】解答下列各題：
1、已知f(x)=2x-1，
g(x)=
，（x≥0），
-1
，
(x＜0)。
①求f〔g(x)〕，
②求g〔f(x)〕；
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③分段函數，復合函數求值的基本方法。
【解題思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)又是一個分段函數，從而得到f〔g(x)〕也是一個分段函數，且自變量的分段與g(x)的分段一致，從而得到函數f〔g(x)〕的解析式；
g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由g(x)是分段函數，需先確定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范圍，從而得到函數
g〔f(x)〕的解析式；
【詳細解答】
f(x)=2x-1，
g(x)=
，（x≥0），f〔g(x)〕=
2-1，（x≥0），
g〔f(x)〕=
，x≥，
-1
，
(x＜0)；
-3，
(x＜0)，
-1，
x＜。
2、已知f(x)=
ln(x+1)，（x＞-1），
g(x)=-x+2。
，（x-1），
1
求f〔g(x)〕，
②求g〔f(x)〕。
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③分段函數，復合函數求值的基本方法；
【解題思路】f〔g(x)〕，中的自變量是g(x)，g(x)的函數值需滿足-x+2＞-1或-x+2-1，從而得到f〔g(x)〕是一個分段函數，且自變量的分段為x＜3或x≥3，從而得到函數
f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自變量是f(x)，由f(x)是分段函數，得到g〔f(x)〕也是一個分段函數，自變量的分段與f(x)的分段一致，從而得到函數
g〔f(x)〕的解析式；
【詳細解答】
g(x)=-x+2，f(x)=
ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕=
ln(-x+3)，（x＜3），
-ln(x+1)+2，（x＞-1），
，（x-1），
，（x≥3）；
g〔f(x)〕=-
+2，（x-1）；
『思考問題2』
（1）【典例2】是求復合函數解析式的問題，這類問題的特點是：①已知兩個函數的解析式，其中一個函數是分段函數；②
求復合函數的解析式，涉及到確定自變量來選擇適用的解析式的問題；
（2）【典例2】是求復合函數f(g(x))的解析式的問題，解答的基本思路是整體代入，由分段函數各段的定義域確定非分段函數中自變量x的取值范圍，再選擇適用的解析式，從而求出復合函數的解析式。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知f(x)=3x-6，
+x（x≥0）
g(x)=
1
(x＜0)
①求f〔g(x)〕，
②求g〔f(x)〕；
2、已知f(x)=
2x-1，g(x)=
-3x+2，求f〔g(x)〕。
【典例3】解答下列問題：
1、設函數f(x)=
+1，x1，則f(f(3))=（
）
A
，x＞1，B
3
C
D
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③復合函數函數值的求法。
【解題思路】由3＞1，求出
f(3)的值，根據f(3)的值選擇適用的解析式，求出f(f(3))的值就可得出選項。
【詳細解答】3＞1，f(3)=，＜1，f()=+1=
，
f(f(3))=
f()=+1=，D正確，選D。
2、設函數f(x)=
3x-1，x＜1，則滿足f(f(a))=
，的a的取值范圍是（
）
，x≥1，
A
［，1］
B
［0，1］
C
［，+）
D
［1，+）
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③復合函數函數值的求法；④指數的定義與性質；⑤分類討論的原則與基本方法。
【解題思路】運用分段函數求值的基本方法，結合問題條件分別求出f(a)的值，根據f(a)的值選擇適用的解析式求出f(f(a))關于a的解析式，從而求出滿足f(f(a))=
時，a的取值范圍得出選項。
【詳細解答】①當a＜時，由f(a)=3a-1＜1，
f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4
，②當
a＜1時，f(a)=3a-1≥1，
f(f(a))=f(3a-1)=
=，③當a≥1，由f(a)=
＞1，
f(f(a))=f()==，綜上所述，當f(f(a))=
時，實數a的取值范圍是［，+），C正確，選C；
3、已知函數f(x)=
f(x+1)
，x＜4，求f(2+3)的值；
，x≥4，
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③對數的定義與性質；④復合函數函數值的求法；
【解題思路】由3＜2+3＜4，求出
f(2+3)=
f(2+3+1)=
f(3+3)，根據4＜3+3＜5，求出
f(3+3)的值，從而得到f(2+3)的值。
【詳細解答】3＜2+3＜4，
f(2+3)=
f(2+3+1)=
f(3+3)，4＜3+3＜5，
f(3+3)=
===；
4、已知函數f(x)=
+1，x≥0，若f(x)=10，則x=
；
-2x，x＜0，
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③復合函數函數值的求法；
【解題思路】由f(x)=10，分x≥0和
x＜0兩種情況分別考慮去解答問題。
【詳細解答】
f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，綜上所述，當f(x)=10時，x=3或x=-5；
4、已知實數a0，函數f(x)=
2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，則實數a的值為
；
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知識點】①分段函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③復合函數函數值的求法；④方程的定義與解法；⑤分類討論的原則與方法；
【解題思路】由a0，分0＜a和a＜0兩種情況分別開來去解答問題。
【詳細解答】
a0，①當a＞0時，1-a＜1,
f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②當a＜0時，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=-
，綜上所述，當f(1-a)=f(1+a)時，a=-
；
『思考問題3』
（1）【典例3】是復合函數的求值問題，解答這類問題需要理解復合函數的定義，注意復合函數的結構特征，掌握復合函數求值的基本方法；
（2）復合函數求值的基本方法是：①確定給定的自變量屬于哪一段，在此基礎上選定符合函數求值的解析式并求出內層函數g(x)的函數值；②把g(x)的函數值視為外層函數f(u)的自變量確定屬于該段的解析式，并通過運算求出結果。
〔練習3〕解答下列各題：
1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域為R，那么a的取值范圍是（
）（2016唐山期末）
A（-，-1］
lnx，x≥1，B
（-1，）
C
［-1，）
D
（0，）
2、根據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間（單位：分鐘）為f(x)=
，x＜A，
（A，c為常數），已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品
，x≥A，用時15分鐘，那么c和A的值分別是（
）
A
71,25
，x＜1，
B
75,16
C
60,25
D
60，16
3、設函數f(x)=
，x≥1，則使得f(x)
2成立的x的取值范圍是
。
【典例4】解答下列問題：
1、函數f(x)=
（-4）的單調遞增區間是（
）
A
（0，+∞）
B
（-∞，0）
C
（2，+∞）
D
（-∞，-2）
【解析】
【知識點】①復合函數的定義與性質；②二次函數的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④復合函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設g(x)=
-4，根據二次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，結合復合函數單調性的判斷法則判斷函數f(x)的單調性。
【詳細解答】設g(x)=
-4，作出函數g(x)的圖像
y
如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域是（-，-2）
（2，+），函數g(x)在（-，-2）上單調遞減，
在（2，+）上單調遞增，0<<1，函數f（g(x)）
-2
-1
0
1
2
x
在（-，-2），（2，+）上單調遞減，函數f(x)
在（-，-2）上單調遞增，在（2，+）上單調遞減，D正確，選D。
2、判斷函數f(x)=
(2-3x)的單調性；
【解析】
【知識點】①復合函數的定義與性質；②一次函數的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④復合函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設g(x)=
2-3x，根據一次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，結合復合函數單調性的判斷法則判斷函數f(x)的單調性。
y
【詳細解答】設g(x)=
2-3x，作出函數g(x)的圖像
如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域是（-，），
函數g(x)在（-，）上單調遞減，3>1，函數
0
f（g(x)）)在（-，）上單調遞增，函數f(x)
在（-，）上單調遞減，
3、判斷函數f(x)=
|-x-12|的單調性；
【解析】
【知識點】①復合函數的定義與性質；②二次函數的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④復合函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設g(x)=
|-x-12|，根據二次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，結合復合函數單調性的判斷法則判斷函數f(x)的單調性。
y
【詳細解答】設g(x)=
|-x-12|，作出函數g(x)的圖像
如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域是（-，-3）
（-3，4）（4，+），函數g(x)在（-，-3），（，
-3
-2
-10
1
2
3
4
4）上單調遞減，在（-3，），（4，+）上單調遞增，0<0.5<1，函數f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上單調遞減，函數f(x)
在（-，-3），（，4）上單調遞增，在（-3，），（4，+）上單調遞減。
4、求函數f(x)=
的單調區間。
【解析】
【知識點】①復合函數的定義與性質；②二次函數的定義與性質；③指數函數的定義與性質；④復合函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設g(x)=
-3x-4，根據二次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，結合復合函數單調性的判斷法則判斷函數f(x)的單調性。
【詳細解答】設g(x)=
-3x-4，作出函數g(x)的圖像
y
如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域是R，函數g(x)
在（-，）上單調遞減，在（，+）上單調遞增，
e>1，函數f（g(x)）在（-，），（，+）上
-2-1
0
1
2
3
4
x
單調遞增，函數f(x)
在（-，）上單調遞減，在（，+）上單調遞增。
5、是否存在實數a，使函數f(x)=
（a-x）在閉區間［2，4］上是增函數？如果存在說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由。
【解析】
【知識點】①復合函數的定義與性質；②二次函數的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④復合函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設g(x)=
a-x，根據二次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，結合復合函數單調性的判斷法則判斷函數f(x)的單調性。
【詳細解答】設g(x)=
a-x，作出函數g(x)的圖像
y
如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域是（-，0）
（，+），函數g(x)在（-，0）上單調遞減，
在（，+）上單調遞增，①當0-1
0
x
f（g(x)）在（-，0），（，+）上單調遞減，函數f(x)
在（-，0）上單調遞增，在（，+）上單調遞減與題設不符；②當a>1時，函數f（g(x)）在（-，0），（，+）上單調遞增，函數f(x)
在（-，0）上單調遞減，在（，+）上單調遞增，
函數f(x)=
（a-x）在閉區間［2，4］上是增函數，<2，且a>1，
a>1，存在實數a（1，+），使函數f(x)=
（a-x）在閉區間［2，4］上是增函數。
『思考問題4』
（1）【典例4】復合函數單調性的判斷（或證明）問題，這類問題的共同特點是：①將函數解析式中的某個式子視為一個整體未知數可以得到一個簡單的函數；②簡單函數的自變量又又是應該函數；
（2）復合函數單調性的判斷（或證明）的法則是同增異減；
（3）復合函數單調性的判斷（或證明）的法則中的“同”是指復合好的函數的內層函數與外層函數的單調性相同；“異”是指復合好的函數的內層函數與外層函數的單調性不同。
〔練習4〕解答下列問題：
1、判斷函數f(x)=
的單調性；
2、判斷函數f(x)=
(3-2x)的單調性；
3、判斷函數f(x)=
|+2x-15|的單調性。
【典例5】解答下列問題：
1、函數f(x)=
(xR)與g(x)=lg|x-2|分別為
函數和
函數（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）
【解析】
【知識點】①復合函數的定義與性質；②二次根式的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④復合函數奇偶性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】由>|x|知函數f(x)的定義域為R關于原點對稱，判斷函數f(-x)與f(x)的關系，從而可判斷函數f（x）的奇偶性；設u(x)=
|x-2|，根據|x-2|>0得到函數g(x)的定義域為（-，2）（2，+）關于原點不對稱，可以判斷函數g(x)不具有奇偶性。
【詳細解答】>|x|，x+>0在R上恒成立，函數f(x)的定義域為R關于原點對稱，
f(-x)=
（-x+
）=（-x+）===-=-
f(x)，函數f(x)是奇函數；，根據|x-2|>0得到函數g(x)的定義域為（-，2）（2，+）關于原點不對稱，函數g(x)不具有奇偶性。
2、已知函數f(x)=
(a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數定義域的定義與求法；②復合函數的定義與性質；分式的定義與性質；③對數函數的定義與性質；④復合函數奇偶性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】（1）由函數f(x)有意義的條件得到
>0，解這個不等式就可以得到函數f(x)的定義域；（2）由（1）可知函數f(x)的定義域為（-1，1）關于原點對稱，只需證明f(-x)=-f(x)就可得到結論；（3）設g(x)=
運用定義法先判斷函數g(x)在（-1，1）上的單調性，再根據復合函數單調性的判斷法則得出結論（注意底數a的兩種可能情況）；（4）根據底數a的兩種可能情況分別進行解答，得出結果。
【詳細解答】（1）函數f(x)有意義，必有
>0，-1=-=-f(x)，函數f(x)是奇函數；（3）設g(x)=
，任取，
（-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1時，函數f（g(x)）在（-1，1）上單調遞增，函數f(x)在（-1，1）上單調遞增；
（4）①當0f(x)＞0，0<<1，-11時，
f(x)＞0，>1，0f(x)＞0時，x的取值范圍是（-1，0），當a>1時，
f(x)＞0時，x的取值范圍是（0，1）。
『思考問題5』
（1）【典例5】是復合函數奇偶性判斷（或證明）的問題，這類問題的共同特點是：①將函數解析式中的某個式子視為一個整體未知數可以得到一個簡單的函數；②簡單函數的自變量又是一個函數；
（2）復合函數奇偶性的判斷（或證明）的基本方法是：①求出函數的定義域判斷是否關于原點對稱；②驗證函數f(-x)與f(x)的關系；③得出結論。
〔練習4〕解答下列問題：
1、若函數f(x)=
(e是自然對數的底數)的最大值是m，且f(x)是偶函數，則m+u=
；
2、證明函數f(x)=
(a＞1)是奇函數。

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