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空間向量及線性運(yùn)算知識(shí)精講
重點(diǎn)
1. 了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別；了解向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程。
2. 了解空間向量、共線向量、共面向量等概念；理解空間向量共線、共面的充要條件；
3. 理解空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)。
難點(diǎn)
體會(huì)類比的數(shù)學(xué)方法
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等
核心知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念
定義
在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量。
長(zhǎng)度
向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模。
表示法
幾何表示法
空間向量用有向線段表示。
字母表示法
用一個(gè)字母表示，如圖，此向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，可記作false，也可記作false ，其模記為false。
幾類特殊向量
①零向量：規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為false。
②單位向量：模為1的向量稱為單位向量。
③相反向量：與向量false長(zhǎng)度相等而方向相反的向量稱為false的相反向量，記為false。
④相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量。在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量。
注意：
1. 向量是既有大小又有方向的量，其中長(zhǎng)度可以比較大小，而方向無(wú)法比較大小。一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大小。
2. 零向量的方向是任意的，同平面向量中的規(guī)定一樣，0與任何空間向量平行。
3. 單位向量的模都相等且為1，而模相等的向量未必是相等向量。
4. 空間向量是可以平移的，空間中的任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示，所以空間任意兩個(gè)向量是共面的。
核心知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算
1. 空間向量的加減運(yùn)算
類似平面向量，定義空間向量的加、減法運(yùn)算（如圖）：
false；false＝false－false。
2. 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（1）定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量false的乘積false仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算。
（2）向量false與false的關(guān)系：
λ的范圍
方向關(guān)系
模的關(guān)系
λ>0
方向相同
false的模是false的模的|λ|倍
λ＝0
false＝0，其方向是任意的
λ<0
方向相反
3. 運(yùn)算律
（1）交換律：false；
（2）結(jié)合律：false
（3）數(shù)乘運(yùn)算律： 設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)，則有
①分配律：false；
②結(jié)合律：false。
核心知識(shí)點(diǎn)三：共線向量與共面向量基本定理
共線（平行）向量
共面向量
定義
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量
平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量
充要條件
對(duì)于空間任意兩個(gè)向量false，false的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使false。
若兩個(gè)向量false不共線，則向量false與false，false共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使false。
推論
如果l為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A平行于已知非零向量false的直線，那么對(duì)于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使false，①其中false叫做直線l的方向向量，如圖所示。若在l上取false，則①式可化為false。
如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使false?，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O來(lái)說(shuō)，有
false。
注意：
1. λfalse是一個(gè)向量。當(dāng)λ＝0或false＝0時(shí)，false＝0。
2. 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律推廣到空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)論仍然成立。
3. 共線向量的充要條件及其推論是證明共線（平行）問(wèn)題的重要依據(jù)，條件false≠0不可遺漏。
4. 直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量。一條直線的方向向量有無(wú)限多個(gè)，它們的方向相同或相反。
5. 共面向量的充要條件給出了空間平面的向量表示式，說(shuō)明空間中任意一個(gè)平面都可以由一點(diǎn)及兩個(gè)不共線的平面向量表示出來(lái)。另外，還可以用false＝xfalse＋yfalse＋zfalse，且x＋y＋z＝1判斷P，A，B，C四點(diǎn)共面。
1. 主要內(nèi)容：
（1）空間向量的基本概念
（2）空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算及它們的運(yùn)算律
（3）共線向量基本定理
（4）共面向量基本定理
2. 數(shù)學(xué)思想：化歸與轉(zhuǎn)化思想
3. 數(shù)學(xué)方法：類比法
（答題時(shí)間：20分鐘）
一、選擇題
1. 給出下列命題：①零向量沒(méi)有方向；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量false，false滿足|false|＝|false|，則false＝false；④若空間向量false滿足false，false，則false；⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若false與false共線，false與false共線，則false與false共線。
②向量false，false，false共面，即它們所在的直線共面。
③若false∥false，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使false＝λfalse。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知向量false，false，false滿足false，則（　　）
A.false B.false
C.false與false同向 D.false與false同向
4. 在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量false、false、false是（　　）
A. 有相同起點(diǎn)的向量 B. 等長(zhǎng)向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
1. 答案：D
解析：零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)；
當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等，但兩個(gè)向量相等，不一定起點(diǎn)相同、終點(diǎn)也相同，故②錯(cuò)；
根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量false與false的方向不一定相同，故③錯(cuò)；
命題④顯然正確；
對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)。
2. 答案：A
解析：①當(dāng)false＝0時(shí)，false與false不一定共線，故①錯(cuò)誤；
②中false，false，false共面時(shí)，它們所在的直線平行于同一平面不一定在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)false為零向量，false不為零向量時(shí)，λ不存在。
3.答案：D
解析：由條件可知，C在線段AB上，故D正確。
4.答案：C
解析：根據(jù)題意易知，false＝false＝false-false，所以向量false、false、false是共面向量。

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