資源簡介

空間向量運算的坐標表示
重點
空間向量運算的坐標表示；能運用向量坐標表示解決平行、垂直問題及距離、夾角問題
難點
選擇合適的空間直角坐標系以解決立體幾何問題
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等
核心知識點一：空間向量的加減和數乘的坐標表示
設false，false。
（1）false；
（2）false；
（3）false（λ∈R）；
（4）若false，則false?false（λ∈R）?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3。
核心知識點二：空間向量數量積的坐標表示及夾角公式
若false，false，則
（1）false；
（2）false；
（3）false；
（4）false
核心知識點三：空間向量的坐標及兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）。
（1） false＝（a2－a1，b2－b1，c2－c1）；
（2）dAB＝|false|＝false。
注意：
1. 空間向量與平面向量的坐標運算的聯系
類比平面向量的坐標運算，空間向量的坐標運算是平面向量坐標運算的推廣，兩者實質是一樣的，只是表達形式不同而已，空間向量多了個豎坐標。
2. 長度公式、兩點間距離公式、夾角公式都與坐標原點的選取無關。
類型一：空間向量的坐標運算
例題1　已知空間四點A，B，C，D的坐標分別是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2），設false＝false，false＝false。
求：（1）false；（2）false；（3）false；（4）cos〈false，false〉。
【解析】因為A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，－1，－2），所以false＝false＝（2，1，3），false＝false＝（2，0，－6）。
（1）false＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（2，1，3）＋（4，0，－12）＝（6，1，－9）；
（2）false＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）；
（3）false＝|false|2－|false|2＝（22＋12＋32）－（22＋02＋62）＝－26；
（4）false＝false
＝false。
總結提升：
（1）一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。
（2）空間向量進行坐標運算的規律是首先進行數乘運算，再進行加法或減法運算，最后進行數量積運算；先算括號里，后算括號外。
（3）空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算法則基本一樣，應注意一些計算公式的應用。
類型二：坐標形式下平行與垂直的應用
例題2　設false＝（1，5，－1），false＝（－2，3，5）。
（1）若false，求k；
（2）若false，求k。
【解析】法一：false＝（k－2，5k＋3，－k＋5）。
false＝（1＋3×2，5－3×3，－1－3×5）＝（7，－4，－16）。
（1）因為false，
所以false＝false＝false，解得k＝－false。
（2）因為false，所以（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0，解得k＝false。
法二：（1）因為false，
所以false，即false。
因為false與false不共線，所以有false解得k＝－false。
（2）因為false，
所以（kfalse＋false）·（false－3false）＝0，
即k|false|2－（3k－1）false·false－3|false|2＝0。
而|false|2＝27，|false|2＝38，false·false＝8，
所以27k－8（3k－1）－114＝0，
解得k＝false。
總結提升：
（1）要熟練掌握兩個向量平行和垂直的充要條件，借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直問題轉化為向量的坐標運算。
（2）在應用坐標形式下的平行條件時，一定要注意結論成立的前提條件。在條件不明確時，要分類討論。
類型三：利用坐標運算解決夾角、距離問題
例題3　如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點。
（1）求BN的長；
（2）求A1B與B1C所成角的余弦值。
【解析】如圖，以false，false，false為單位正交基底建立空間直角坐標系Cxyz。
（1）依題意得B（0，1，0），
N（1，0，1），
∴|false|＝false，
∴線段BN的長為false。
（2）依題意得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴false＝（1，－1，2），false＝（0，1，2），
∴false·false＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3。
又|false|＝false，|false|＝false，
∴cos〈false，false〉＝false。
故A1B與B1C所成角的余弦值為false。
總結提升：在特殊的幾何體中建立空間直角坐標系時，要充分利用幾何體本身的特點，以使各點的坐標易求。利用向量解決幾何問題，可使復雜的線面關系的論證、角及距離的計算變得簡單。
1. 在解決已知向量夾角為銳角或鈍角求參數的范圍時，一定要注意兩向量共線的情況。
2. 運用向量坐標運算解決幾何問題的方法：
3. 若〈false，false〉＝α，兩條異面直線AB，CD所成角為θ，則cos θ＝|cos α|。
（答題時間：30分鐘）
一、選擇題
1. 已知false＝（1，1，0），false＝（0，1，1），false＝（1，0，1），false，false，則false＝（　　）
A. －1　　　　　　　　　 B. 1
C. 0 D. －2
2. 已知點A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則△ABC的形狀是（　?。?
A. 等腰三角形 B. 等邊三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知false＝（2，0，3），false＝（4，－2，1），false＝（－2，x，2），若（false－false）⊥false，則x等于（　　）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
4. 已知A（1，0，0），B（0，－1，1），O（0，0，0），false＋λfalse與false的夾角為120°，則λ的值為（　　）
A. ±false B. false
C. －false D. ±false
二、填空題
5. 已知向量false＝（0，－1，1），false＝（4，1，0），|λfalse＋false|＝false，且λ>0，則λ＝________。
6. 已知3false－2false＝（－2，0，4），false＝（－2，1，2），false·false＝2，|false|＝4，則cos〈false，false〉＝________。
三、解答題
7. 已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點Q在直線OP上運動（O為坐標原點）。當false·false取最小值時，求點Q的坐標。
1. 答案：A
解析：∵false＝（1，0，－1），
false＝（0，3，1），
∴false＝1×0＋0×3＋1×（－1）＝－1。
2. 答案：C
解析：false＝（3，4，－8），false＝（5，1，－7），
false＝（2，－3，1），
∴|false|＝false，
|false|＝false，
|false|＝false，
∴|false|2＋|false|2＝75＋14＝89＝|false|2。
∴△ABC為直角三角形。
3. 答案：B
解析：∵false－false＝（－2，2，2），又（false－false）⊥false，
（false－false）·false＝0，即4＋2x＋4＝0，∴x＝－4。
4. 答案：C
解析：∵false＝（1，0，0），false＝（0，－1，1），
∴false＋false＝（1，－λ，λ），
∴（false＋λfalse）false＝λ＋λ＝2λ，
|false＋λfalse|＝false，
|false|＝false。
∴cos 120°＝false，∴λ2＝false。
又false<0，∴λ＝－false。
5. 答案：3
解析：false＝（0，－1，1），false＝（4，1，0），
∴λfalse＋false＝（4，1－λ，λ）。
∵|λfalse＋false|＝false，∴16＋（1－λ）2＋λ2＝29。
∴λ2－λ－6＝0?！唳耍?或λ＝－2。
∵λ>0，∴λ＝3。
6. 答案：－false
解析：（3false－2false）·false＝（－2，0，4）·（－2，1，2）＝12，
即3false·false－2false·false＝12。
由false·false＝2，得false·false＝－3。
又∵|false|＝3，|false|＝4，
∴cos〈false，false〉false＝－false。
7. 解：false＝（1，1，2），因為點Q在直線OP上，所以false與false共線，
故可設false＝λfalse＝（λ，λ，2λ），其中λ為實數，
則Q（λ，λ，2λ），
所以false＝（1－λ，2－λ，3－2λ），
false＝（2－λ，1－λ，2－2λ），
所以false·false＝（1－λ）·（2－λ）＋（2－λ）·（1－λ）＋（3－2λ）·（2－2λ）
＝6λ2－16λ＋10＝6（λ－false）2－false。
所以當λ＝false時，false·false取最小值。
此時Q點坐標為（false，false，false）。

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