資源簡介

例析幾種常見的直線系方程
重點
理解直線系方程的概念；會求解各種直線系方程
難點
直線系方程的應用
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等

核心知識點一：直線系方程形式
（1）與直線false平行的直線系方程為false（false為參數）。
（2）與直線false垂直的直線系方程為false（false為參數）。
（3）過已知點false的直線系方程為false （k為參數），不含直線false。
（4）過兩直線false及false交點的直線系方程為
false（false，false是不全為零的實數）。
類型一：過定點直線系方程
例題1　直線kx－y＋1－3k＝0，當k變動時，所有直線都通過定點________。
【思路分析】直線化為點斜式，從而看出當斜率變化時，直線所過的點是始終不變的。
【解析】方程kx－y＋1－3k＝0可化為y－1＝k（x－3），故過定點（3，1）。
【總結提升】直線的點斜式方程
類型二：平行或垂直的直線系方程
例題2　求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點（1，2）的直線l的方程。
【思路分析】先設與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由其他條件求C1。
【解析】依題意，設所求直線方程為3x＋4y＋C1＝0（C1≠1），因為直線過點（1，2），
所以3×1＋4×2＋C1＝0，解得C1＝－11。
因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0。
【總結提升】由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數與常數項有必然的聯系，可以利用平行直線系方程的設法。

類型三：過交點的直線系方程
例題3 已知λ∈R，求證直線l：（2λ＋1）x＋（3λ＋1）y－7λ－3＝0恒過定點，并求出該定點坐標。
【思路分析】可把方程轉化為兩直線交點的直線系方程，求交點，然后根據條件求解所需要的方程。
【解析】將（2λ＋1）x＋（3λ＋1）y－7λ－3＝0化成（2x＋3y－7）λ＋（x＋y－3）＝0。
要使直線恒過定點，必需false解得false
即直線l恒過定點（2，1）。
【總結提升】直線Ax＋By＋C＝0恒過定點問題實際上是直線系方程問題。將問題轉化為兩直線的交點，即將Ax＋By＋C＝0化為（a1x＋b1y＋c1）λ＋（a2x＋b2y＋c2）＝0。 通過方程組false，即可求出直線恒過的定點。

常見易錯問題剖析
若三條直線l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能圍成三角形，求m的取值。
【錯解】當三條直線false中至少有兩條平行時，三直線不能圍成三角形。顯然false與false不平行，只可能false或false。當false時，m=4；當false時，m=-1。（分類討論不徹底）
【錯因分析】錯解討論了當存在兩條直線平行時，不能構成三角形，而忽略了三線共點時也滿足“不能構成三角形”這一條件。此時，只需先求出兩直線交點的坐標，同時滿足第三條直線的方程即可。
【正解】同錯解得當false或false時不能構成三角形，此時對應的m值分別為m=4,m=-1;當直線false經過同一點時，也不能構成三角形。
由false得false。代入false的方程得-m+1=0，即m=1。
綜上可知m=4或-1或1。

1. 本節課我們學習過哪些知識內容?
①直線系方程求解中的設法問題，怎么使求解簡單易行。
②各種形式的直線系方程
2. 你認為直線系方程應用的關鍵是什么？
運用直線系方程求解直線方程時一定要注意題目的條件，不要漏掉解也不要出現解的增加。


（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關于M點對稱的直線方程為（　　）
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x－3y－12＝0
C. 2x－3y＋12＝0 D. 2x＋3y＋12＝0
2. 兩條平行線l1，l2分別過點P（－1，2），Q（2，－3），它們分別繞P，Q旋轉，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是（　?。?
A. （5，＋∞） B. （0，false]
C. （false，＋∞） D. （0，5]
3. 若點P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為false，則點P的坐標為（　?。?
A. （1，2） B. （2，1）
C. （1，2）或（2，－1） D. （2，1）或（－1，2）
二、填空題
4. l1，l2是分別經過A（1，1），B（0，－1）兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是________。
5. 直線系6x－4y+m=0中任一條直線與直線系2x+3y+n=0中的任一條直線的位置關系是_________。
6. 對任何實數k，直線（3＋k）x＋（1－2k）y＋1＋5k＝0恒過定點A，那么點A的坐標是________。
三、解答題
7. 求經過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程。
8. 正方形的中心為點C（－1，0），一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程。
**9. 已知直線l經過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點P。
（1）點A（5，0）到直線l的距離為3，求直線l的方程；
（2）求點A（5，0）到直線l的距離的最大值。


1.【答案】D
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得a（x＋3）＋（y－1）＝0，令false可得x＝－3，y＝1，所以M（－3，1），M不在直線2x＋3y－6＝0上，設直線2x＋3y－6＝0關于M點對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0（c≠－6），則false＝false，解得c＝12或c＝－6（舍去），所以所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D。
2.【答案】B
【解析】當直線PQ與平行線l1，l2垂直時，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為false＝false，所以l1，l2之間距離的取值范圍是（0，false]。故選B。
3.【答案】C
【解析】設P（x，5－3x），則d＝false＝false，化簡得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P（1，2）或（2，－1）。故選C。
4.【答案】x＋2y－3＝0
【解析】當兩條平行直線與A，B兩點連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大。又kAB＝false＝2，所以兩條平行直線的斜率為k＝－false，所以直線l1的方程是y－1＝－false（x－1），即x＋2y－3＝0。
5.【答案】垂直
6.【答案】（－1，2）
【解析】k＝－3時，7y－14＝0，y＝2，k＝false時，falsex＋false＝0，∴x＝－1，∴A（－1，2）。
7. 解：法一：將直線l1，l2的方程聯立，得false
解得false即直線l1，l2的交點為（－1，2）。
由題意得直線l3的斜率為false，又直線l⊥l3，所以直線l的斜率為－false，
則直線l的方程是y－2＝－false（x＋1），
即5x＋3y－1＝0。
法二：由于l⊥l3，所以可設直線l的方程是5x＋3y＋C＝0，將直線l1，l2的方程聯立，得false解得false即直線l1，l2的交點為（－1，2），則點（－1，2）在直線l上，所以5×（－1）＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直線l的方程為5x＋3y－1＝0。
法三：設直線l的方程為3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0，
整理得（3＋5λ）x＋（2＋2λ）y＋（－1＋λ）＝0。
由于l⊥l3，所以3（3＋5λ）－5（2＋2λ）＝0，解得λ＝false，
所以直線l的方程為5x＋3y－1＝0。
8. 解：點C到直線x＋3y－5＝0的距離d＝false＝false。
設與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0（m≠－5），
則點C到直線x＋3y＋m＝0的距離
d＝false＝false，
解得m＝－5（舍去）或m＝7，
所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0。
設與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0，
則點C到直線3x－y＋n＝0的距離
d＝false＝false，
解得n＝－3或n＝9，
所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0。
9. 解：（1）因為經過兩已知直線交點的直線系方程為
（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
所以false＝3，解得λ＝false或λ＝2。
所以直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0。

（2）由false
解得交點P（2，1），如圖，過P作任一直線l，設d為點A到直線l的距離，
則d≤|PA|（當l⊥PA時等號成立）。
所以dmax＝|PA|＝。

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