資源簡介

兩條直線平行與垂直的判定
重點
理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件；
能根據(jù)已知條件判斷兩直線的平行與垂直。
難點
能應(yīng)用兩條直線平行或垂直進(jìn)行實際應(yīng)用
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等

核心知識點一：兩條直線平行的判定
對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率都存在且分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2；特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行。

核心知識點二：兩條直線垂直的判定
如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直。

類型一：兩直線平行與垂直的判定
例題1　已知下列命題：
（1）直線false經(jīng)過點false，false，直線false平行于false軸，則false∥false；
（2）已知false，false，false，false，則直線false與false垂直；
（3）過點false，false的直線與過false，false的直線平行，則false；
（4）已知直線false的斜率為3，false過點false，false，且false⊥false，則false。
其中，正確命題的個數(shù)為（ ）。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】C
【思路分析】（1）（3）中都是與直線的平行概念有關(guān)，而（2）（4）是與直線的垂直有關(guān)，故借助條件確定直線的斜率，即可用斜率關(guān)系說明結(jié)論是否成立。
【解析】（1）直線false的斜率false，因為直線false平行于false軸，直線false的斜率false，所以false∥false或者直線false與false重合，錯誤；
（2）直線AB的斜率false，直線CD的斜率false，因為false，所以直線AB與CD垂直，正確；
（3）直線PQ的斜率false，直線AB與PQ平行，所以false，即false，所以false，正確；
（4）由題意得：直線ｌ１的斜率為3，即false，所以false，正確。
故選C。
【總結(jié)提升】
false
false或其中一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在。
類型二：兩直線位置關(guān)系的應(yīng)用
例題2　已知false，false，false，若△ABC是直角三角形，則false的值為 。
【答案】－3或2或－2或1
【思路分析】因為△ABC是直角三角形，不知道哪一個角為直角，所以需要分三種情形進(jìn)行討論。
【解析】因為ΔABC為直角三角形，
當(dāng)∠A＝90°時，BA⊥AC，因為false斜率不存在，所以false，
所以y＝－3；
當(dāng)∠B＝90°時，AB⊥BC，因為false斜率不存在，所以false，所以y＝2；
當(dāng)∠C＝90°時，BC⊥AC，所以false，即false，解得y＝－2或y＝1。
綜上，y的值為－3或2或－2或1。
【總結(jié)提升】
當(dāng)題目條件中不明確哪個角為直角時，要分三種情況討論，注意結(jié)合圖形，分析可能的所有情形，避免漏解情況。

常見易錯問題剖析
已知A（-m-3，2），B（-2m-4，4），C（-m，m），D（3，3m+2），若直線AB⊥CD，則m的值為（ ）
A. 1 B. －1 C. 1或－1　　 D. 0或1
【錯解】A
由已知得falsefalse。
因為AB⊥CD，所以false，解得false。（忽視直線AB的斜率不存在的情況）
【錯因分析】兩條直線垂直falsefalse的前提條件是false，false均存在且不為0，錯解忽視了前提條件，對于這類問題的解決方式應(yīng)分斜率存在和不存在兩種情況討論。
【正解】C
因為A，B兩點縱坐標(biāo)不等，所以AB與false軸不平行。
因為AB⊥CD，所以CD與false軸不垂直，故false。
當(dāng)AB與false軸垂直時，false，解得false。而false時，C，D縱坐標(biāo)均為－1，所以CD∥false軸，此時AB⊥CD，滿足題意。
當(dāng)AB與false軸不垂直時，由斜率公式得falsefalse。
因為AB⊥CD，所以false，解得m＝1。綜上，ｍ的值為1或－1。選Ｃ。

1. 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識內(nèi)容?
false或false均不存在。
false或其中一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在。
2. 你認(rèn)為判斷兩直線平行或垂直的關(guān)鍵是什么？
利用斜率公式計算直線的斜率。
3. 用斜率判斷兩直線平行或垂直時注意些什么?
在應(yīng)用斜率公式求直線的斜率時，不能忽視直線斜率不存在的情況。


（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 已知過點A（－2，m）和B（m，4）的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值為（ ）
A. －8 B. 0 C. 2 D. 10
2. 已知l1⊥l2，直線l1的傾斜角為45°，則直線l2的傾斜角為（ ）
A. 45° B. 135° C. －45° D. 120°
3. 已知A（m，3），B（2m，m＋4），C（m＋1，2），D（1，0），且直線AB與直線CD平行，則m的值為（ ）
A. 1 B. 0 C. 0或2 D. 0或1
4. 順次連接A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）所構(gòu)成的圖形是（ ）
A. 平行四邊形 B. 直角梯形
C. 等腰梯形 D. 以上都不對
二、填空題
5. 直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根，若l1⊥l2，則b＝________；若l1∥l2，則b＝________。
6. 已知直線l1的傾斜角為60°，直線l2經(jīng)過點false，B（－2，－2），則直線l1，l2的位置關(guān)系是____________。
7. 已知△ABC的頂點B（2，1），C（－6，3），其垂心為H（－3，2），則其頂點A的坐標(biāo)為________。
三、解答題
8. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點坐標(biāo)按逆時針順序依次為O（0，0）、P（1，t）、Q（1－2t，2＋t）、R（－2t，2），其中t>0。試判斷四邊形OPQR的形狀。
9. 已知△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A（－2，－4），B（6，6），C（0，6），求此三角形三邊的高所在直線的斜率。
**10. 已知四邊形ABCD的頂點A（m，n），B（5，－1），C（4，2），D（2，2），求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形。



1.【答案】A
【解析】由題意可知false，解得false。
2.【答案】B
【解析】依題意可知false，因為false，所以false，即false，所以直線false的傾斜角為135°。
3.【答案】D
【解析】當(dāng)直線CD斜率不存在時，此時ｍ＝0，則A（0，3），B（0，4），
此時AB∥CD；
當(dāng)直線CD斜率存在時，由題意可得false，即false，解得ｍ＝1，
綜上，ｍ的值為0或1。
4.【答案】B
【解析】false，false，false，false，
所以false，
所以由四點A，B，C，D構(gòu)成的圖形是直角梯形。
5.【答案】2；false
【解析】依題意可知false，false，
若false，則false，解得若false；
若false，則false，則false，所以false，解得false。
6.【答案】平行或重合
【解析】false，false，所以false，所以false或false重合。
7.【答案】（－19，－62）
【解析】設(shè)頂點false，則false，
所以false
所以false，false，即
false，解得false，所以Ａ（－19，－62）。
8. 解：由斜率公式得
false，
所以false，
從而OP∥QR，OR∥PQ。
∴四邊形OPQR為平行四邊形。
又false，∴OP⊥OR，
故四邊形OPQR為矩形。
9. 解：由斜率公式可得false
由kBC＝0知直線BC∥x軸，
∴BC邊上的高線與x軸垂直，其斜率不存在。
設(shè)AB、AC邊上高線的斜率分別為k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
則false。
∴BC邊上的高所在直線的斜率不存在；
AB邊上的高所在直線的斜率為false；
AC邊上的高所在直線的斜率為false。
10. 解 ∵四邊形ABCD是直角梯形，
∴有2種情形：
（1）AB∥CD，AB⊥AD，
由圖可知：A（2，－1）。
（2）AD∥BC，AD⊥AB，
false，即false，解得false（舍）
綜上false。

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