資源簡(jiǎn)介

巧用向量法處理平行、垂直問題
重點(diǎn)
1. 理解直線的方向向量與平面的法向量的意義；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量。
2. 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的垂直和平行關(guān)系。
3. 能用向量方法證明一些簡(jiǎn)單的空間線面的平行和垂直關(guān)系。
難點(diǎn)
法向量的求法
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等
核心知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量
1. 直線的方向向量
直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的向量。
2. 平面的法向量
直線l⊥α，取直線l的方向向量false，則false叫做平面α的法向量。
核心知識(shí)點(diǎn)二：空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系的向量表示
設(shè)直線l，m的方向向量分別為false，false，平面α，β的法向量分別為false，則
線線平行　l∥m?false?false，k∈R；
線面平行　l∥α?false?false＝0；
面面平行　α∥β?false?false（k∈R）。
線線垂直　l⊥m?false?false＝0；
線面垂直　l⊥α?false?false，k∈R；
面面垂直　α⊥β?false?false＝0。
注意：
1. 直線的方向向量不是唯一的，可以分為方向相同和相反兩類。解題時(shí)，可以選取坐標(biāo)最簡(jiǎn)的方向向量。
2. 一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取，一個(gè)平面的所有法向量共線。
3. 因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量可以確定直線和平面的位置，所以可以利用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)表示空間直線、平面間的平行、垂直等位置關(guān)系。
4. 用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系，因此求直線的方向向量及平面的法向量是解題關(guān)鍵。
類型一：用空間向量證明平行問題
例題1　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)。求證：平面AMN∥平面EFDB。
【解析】如圖，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，
則A（a，0，0），A1（a，0，a），
D1（0，0，a），B1（a，a，a），
B（a，a，0），C1（0，a，a）。
∴N（false，0，a），M（a，false，a），E（false，a，a），F(xiàn)（0，false，a），
∴false＝（－false，0，a），false＝（false，false，0），
false＝（a，a，0），false＝（0，false，a）。
設(shè)平面AMN與平面EFDB的法向量分別為
false＝（x1，y1，z1）和false＝（x2，y2，z2），
則false
∴false
∴y1＝－x1＝－2z1。取z1＝1，
∴平面AMN的一個(gè)法向量為false＝（2，－2，1）。
同理由false可得x2＝－y2，y2＝－2z2。
令z2＝1，
∴平面EFDB的一個(gè)法向量為false＝（2，－2，1）。
∵false＝false，∴false∥false，
∴平面AMN∥平面EFDB。
總結(jié)提升：證明面面平行問題可由以下方法去證明：
①轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行；②分別求出這兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量平行。本題采用的是方法②，解題過程雖復(fù)雜，但思路清晰，是證明平面平行的常用方法。
類型二：用空間向量證明垂直問題
例題2 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)。
求證：EF⊥平面B1AC。
【解析】法一：設(shè)false，false，false，
則falsefalse
falsefalse
∵false，
∴falsefalsefalse
false。
∴false⊥false，即EF⊥AB1。同理，EF⊥B1C。
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。
法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F(xiàn)（1，1，2）。
∴false＝（1，1，2）－（2，2，1）＝（－1，－1，1），
false＝（2，2，2）－（2，0，0）＝（0，2，2），
false＝（0，2，0）－（2，0，0）＝（－2，2，0）。
∴false·false＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
false·false＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
∴false⊥false，false⊥false，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC。
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC。
法三：同法二得false＝（0，2，2），false＝（－2，2，0），false＝（－1，－1，1）。
設(shè)平面B1AC的法向量false＝（x，y，z），
則false·false＝0，false·false＝0，
即false。取x＝1，則y＝1，z＝－1，∴false＝（1，1，－1），
∴false＝－false，
∴false∥false，
∴EF⊥平面B1AC。
總結(jié)提升：法一選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來(lái)，然后利用向量的計(jì)算來(lái)證明。法二、法三建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)（坐標(biāo)）的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的。
1. 利用向量法證明平行問題
（1）建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵。
（2）證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可。這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算。
2. 利用向量法證明垂直問題
（1）利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算。其中靈活建系是解題的關(guān)鍵。
（2）用向量法證明垂直的方法
a. 線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零。
b. 線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示。
c. 面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽?
（答題時(shí)間：40分鐘）
一、選擇題
1. 已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量false＝（2，3，1），false＝（5，6，4），則該平面的一個(gè)法向量為（　　）
A. （1，－1，1）　　　　　　　 B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
2. 設(shè)直線l1的方向向量為false＝（2，1，－2），直線l2的方向向量為false＝（2，2，m），若l1⊥l2，則m＝（ ）
A. 1 B. －2
C. －3 D. 3
3. 如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等。給出下列結(jié)論：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1。
這四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空題
4. 已知直線l的方向向量為false＝（2，0，－1），平面α的一個(gè)法向量為false＝（－2，1，－4），則l與α的位置關(guān)系為________。
5. 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)P（2cos x＋1，2cos x，0）和點(diǎn)Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為________。
6. 已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，且有false＝（2，－1，－4），false＝（4，2，0），false＝（－1，2，－1）。給出結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③false是平面ABCD的法向量；④false∥false。其中正確的是________。
三、解答題
7. 如圖，在正方體AC1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)。設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?
8. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD。
1. 答案：C
解析：顯然false與false不平行，設(shè)平面的法向量為false＝（x，y，z），
則有false?false
令z＝1，得x＝－2，y＝1。
∴false（－2，1，1）。
2. 答案：D
解析：l1⊥l2?false⊥false，
∴2×2＋1×2＋（－2）×m＝0，∴m＝3。
3. 答案：C
解析：∵false＝false＋false＝false＋falsefalse，
false＝false＋false＝false＋falsefalse，
∴false∥false，從而A1M∥D1P，可得①③④正確。
又B1Q與D1P不平行，故②不正確。
4. 答案：l∥α或l?α
解析：∵false＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，
∴false，∴l(xiāng)∥α或l?α。
5. 答案：false或false
解析：由題意得false⊥false。
∴cos x·（2cos x＋1）－2cos x＝0。
∴2cos2x－cos x＝0。∴cos x＝0或cos x＝false。
又x∈[0，π]，∴x＝false或x＝false。
6. 答案：①②③
解析：由false·false＝－2－2＋4＝0，知AP⊥AB，故①正確；
由false·false＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正確；
由①②知false是平面ABCD的法向量，故③正確，
false，顯然④不正確。
7. 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，
則O（1，1，0），A（2，0，0），P（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2）。
再設(shè)Q（0，2，c），
∴false＝（1，－1，0），
false＝（－1，－1，1），
false＝（－2，0，c），
false＝（－2，－2，2）。
設(shè)平面PAO的法向量為
false＝（x，y，z），
則false?false
令x＝1，則y＝1，z＝2。
∴平面PAO的一個(gè)法向量為false＝（1，1，2）。
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一個(gè)法向量。
∴false·false＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
這時(shí)false·false＝－2－2＋4＝0，
故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO。
8. 證明：如圖，取D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，
則O（1，1，0），A1（2，0，2），G（0，2，1），
B（2，2，0），D（0，0，0），
∴false＝（1，－1，2），false＝（1，1，0），false＝（－2，0，1）。
而false·false＝1－1＋0＝0，
false·false＝－2＋0＋2＝0，
∴false⊥false，false⊥false，即OA1⊥OB，OA1⊥BG。
而OB∩BG＝B，
∴OA1⊥平面GBD。

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