資源簡介

巧用向量法求空間角
重點
1. 能借助空間幾何體內的位置關系求空間的夾角；
2. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。
難點
向量法在立體幾何中求空間的夾角的應用
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等
1. 空間角及向量求法
角的分類
向量求法
范圍
異面直線所成的角
設兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為false，則cos θ＝|cos〈false〉|false
false
直線與平面所成的角
設直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為false，平面α的法向量為false，則sin θ＝|cos〈false，false〉|false
false
二面角
設二面角α－l－β的平面角為θ，平面α、β的法向量為false，false，則
|cos θ|＝|cos〈false，false〉|false
[0，π]
類型一：求異面直線所成角
例題1 如圖，在三棱錐V－ABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A，B，V分別在x，y，z軸上，D是線段AB的中點，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ。當θ＝false時，求異面直線AC與VD所成角的余弦值。
【解析】AC＝BC＝2，D是AB的中點，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0）。
當θ＝false時，在Rt△VCD中，CD＝false，故V（0，0，false。
所以false＝（－2，0，0），false＝（1，1，false）。
所以cos〈false ，false 〉＝false
所以異面直線AC與VD所成角的余弦值為false。
總結提升：利用空間向量求兩條異面直線所成的角，可以避免復雜的幾何作圖和論證過程，只需通過相應的向量運算即可，但應注意：用向量法求兩條異面直線所成的角是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解的，而兩條異面直線所成角θ的取值范圍是（0，false]，兩向量的夾角α的取值范圍是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|。
類型二：求線面角
例題2 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為a，側棱長為false，求AC1與側面ABB1A1所成的角。
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，falsea），C1（－falsea，false，falsea）。
法一：取A1B1的中點M，則M（0，false，falsea）。連結AM，MC1，有false＝（－falsea，0，0），false＝（0，a，0），false＝（0，0，falsea）。
∴false·false＝0，false·false＝0，
∴false⊥false，false⊥false，
即MC1⊥AB，MC1⊥AA1。
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1。
∴∠C1AM是AC1與側面A1ABB1所成的角。
因為false＝（－falsea，false，falsea），false＝（0，false，falsea），
∴false·false＝0＋false＋2a2＝false，
|false|＝falsea，
|false|＝false＝falsea，
∴cos〈false，false〉＝false＝false。
∴〈false，false〉＝30°，
即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°。
法二：false＝（0，a，0），false＝（0，0，falsea），
false＝（－falsea，false，falsea）。
設側面ABB1A1的法向量false＝（λ，x，y），
∴false·false＝0且false·false＝0。
∴ax＝0且falseay＝0。
∴x＝y＝0。故false＝（λ，0，0）。
∵false＝（－falsea，false，falsea），
∴cos〈false，false〉＝false
∴|cos〈false，false〉|＝false。
∴AC1與側面ABB1A1所成的角為30°。
總結提升：求直線與平面的夾角的方法與步驟
思路一：找直線在平面內的射影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角（或夾角的某一三角函數值）。
思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量。利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟：
（1）建立空間直角坐標系；
（2）求直線的方向向量false；
（3）求平面的法向量false；
（4）計算：設線面角為θ，則sinθ＝|cos|
類型三：求二面角
例題3　PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝false。求二面角A－PB－C的余弦值。
【解析】法一：如圖，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（false，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴false＝（0，0，1），false＝（false，1，0）。
設平面PAB的法向量為false＝（x1，y1，z1），由false
得false
令x1＝1，則false＝（1，－false，0）。
false＝（0，－1，1），false＝（false，0，0）。
設平面PBC的法向量為false＝（x2，y2，z2），
由false，得false
令z2＝1，則false＝（0，1，1）。
∴cos〈false，false〉＝false＝false＝－false。
∵所求二面角為銳角，
∴二面角A－PB－C的余弦值為false。
法二：如圖所示，取PB的中點D，連結CD。
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC。
∴PC＝false＝false。
∵PC＝BC＝false，∴CD⊥PB。
作AE⊥PB于E，
那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于false與false的夾角θ。
∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC。
∴PB＝false＝2。
∴PD＝1，PE＝false＝false。
∴DE＝PD－PE＝false。
又∵AE＝false＝false，CD＝1，AC＝1，
false＝false＋false＋false，
且false⊥false，false⊥false，
∴|false|2＝|false|2＋|false|2＋|false|2＋2|false|·|false|·cos（π－θ），
即1＝false＋false＋1－2·false·1·cos θ，解得cos θ＝false，
故二面角A－PB－C的余弦值為false。
總結提升：利用向量法求二面角通常有以下兩種方法：
（1）若AB，CD分別是兩個平面α，β內與棱l垂直的異面直線，則兩個平面的夾角的大小就是向量false與false的夾角，如圖①。

（2）設false，false分別是平面α，β的法向量，則向量false與false的夾角（或其補角）就是兩個平面夾角的大小，如圖②。
此方法的解題步驟如下：
①建系：依據幾何條件建立適當的空間直角坐標系；
②求法向量：在建立的坐標系下求兩個平面的法向量false，false；
③計算：求false與false所成銳角θ，false；
④定值：若二面角為銳角，則為角 θ；若二面角為鈍角，則為π-θ
1. 兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負值，而對應的方向向量的夾角可能為鈍角。
2. 直線的方向向量為false，平面的法向量為false，直線與平面所成角為θ，則sin θ＝|cos〈false，false〉|，不要漏了絕對值符號。
3. 利用兩平面的法向量false求出cos〈false〉后，要根據圖形判斷二面角是銳角還是鈍角。
（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于（　　）
A. 120°　　　　　　　　　　 B. 60°
C. 30° D. 60°或30°
2. 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，則AC與BD1所成角的余弦值為（　　）
A. 0 B. false
C. －false D. false
3. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中點，則直線BE與平面B1BD所成的角的正弦值為（　　）
A. －false B. false
C. －false D. false

二、填空題
4. 平面α的法向量為（1，0，－1），平面β的法向量為（0，－1，1），則平面α與平面β所成二面角的大小為________。
5. 已知在棱長為a的正方體ABCD?A′B′C′D′中，E是BC的中點。則直線A′C與DE所成角的余弦值為________。

三、解答題
6.

如圖所示，已知點P在正方體ABCD?A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA＝60°。
（1）求DP與CC′所成角的大小；
（2）求DP與平面AA′D′D所成角的大小。
1. 答案：C
解析：由題意得直線l與平面α的法向量所在直線的夾角為60°，∴直線l與平面α所成的角為90°－60°＝30°。
2. 答案：A
解析：

建立如圖坐標系，則D1（0，0，3），B（2，2，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），
∴false＝（－2，－2，3），
false＝（－2，2，0）。
∴cos〈false，false〉＝false＝0。
∴〈false，false〉＝90°，其余弦值為0。
3. 答案：B
解析：

建立如圖空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）。
∴false＝（－2，－2，0），false＝（0，0，2），false＝（－2，0，1）。
設平面B1BD的法向量為false＝（x，y，z）。
∵false⊥false，false⊥false，
∴false∴false
令y＝1，則false＝（－1，1，0）。
∴cos〈false，false〉＝false＝false，設直線BE與平面B1BD所成角為θ，則
sin θ＝|cos〈false，false〉|＝false。
4. 答案：4false
解析：false＝（4，5，3），點P到平面α的距離為false＝false＝false＝4false。
5. 答案：false或false
解析：設false＝（1，0，－1），false＝（0，－1，1），
則cos θ＝±|cos〈false，false〉|＝±|false|＝±false。
∴θ＝false或false。
6. 答案：false
解析：

如圖所示建立空間直角坐標系，則A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），Efalse，false＝（a，a，－a），false＝false，∴false
10. 解：

如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體棱長為1，
則false＝（1，0，0），false＝（0，0，1），連接BD、B′D′。
在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H。
設false＝（m，m，1）（m>0），由已知〈false，false〉＝60°，
又由false·false＝|false||false|cos〈false，false〉，可得2m＝false，解得m＝false。所以false＝（false，false，1）。
（1）因為cos〈false，false〉＝false＝false，
所以〈false，false〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°。
（2）平面AA′D′D的一個法向量是false＝（0，1，0）。
因為cos〈false，false〉＝false＝false。
所以〈false，false〉＝60°，
可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°。

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