資源簡介

巧用向量法求空間距離
重點(diǎn)
點(diǎn)到平面距離的求法
難點(diǎn)
理解各種距離之間的轉(zhuǎn)化思路
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等
核心知識點(diǎn)：點(diǎn)到平面距離的向量求法
如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，平面的法向量為false，過點(diǎn)P作平面的垂線PO，記PA和平面所成的角為，則點(diǎn)P到平面的距離
false
說明：（1）運(yùn)用向量法求解空間距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對應(yīng)的向量，然后計(jì)算這個(gè)向量的模。
（2）對空間中的兩種距離的認(rèn)識
a. 面面距。與兩平行平面同時(shí)垂直的直線叫做兩個(gè)平面的公垂線。公垂線夾在兩平行平面之間的部分叫兩個(gè)平面的公垂線段。兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面之間的距離。
b. 空間中兩條異面直線的距離、直線到平面的距離、兩個(gè)平面的距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。
類型一：求空間的兩點(diǎn)間距離
例題1 已知AB，BC，CD為兩兩垂直的三條線段，且它們的長都為2，則AD的長為（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. false
【答案】D
【解析】方法一：建立如圖所示的坐標(biāo)系，據(jù)題意知，A（2，0，0），D（0，2，2），
false
方法二：false
falsefalse
方法三：如圖所示，把AB，BC，CD看成為一個(gè)正方體的三條棱，由勾股定理得：
false
總結(jié)提升：求空間兩點(diǎn)間距離的方法
類型二：求空間點(diǎn)到直線距離
例題2 三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS=AB=AC=2，D是SA的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到BC的距離為____________。
【答案】false
【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則D（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），false
∴false在false上的投影長為false
故D到BC的距離為 false
總結(jié)提升：
1. 點(diǎn)到直線距離的求法
如圖，PB⊥l，垂足為B，則PB的長度即為P到l的距離，在不易確定垂足B的情況下，可在l上另取一點(diǎn)A，則AB為false在false上的投影，故false
在Rt△PAB中，有false即P到l的距離d=false
2. 因此求點(diǎn)P到直線l的距離可分以下幾步完成：
（1）在直線l上取一點(diǎn)A，同時(shí)確定直線l的方向向量false，并求false
（2）計(jì)算直線上點(diǎn)A與已知點(diǎn)P對應(yīng)的向量false
（3）計(jì)算false在false的投影
（4）由公式false 求距離。
類型三：求空間點(diǎn)、直線、平面到平面距離
例題3 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：
（1）求B1到面A1BE的距離；
（2）求D1C到面A1BE的距離；
（3）求面A1DB與面D1CB1的距離.
【解析】（1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），B1（1，1，1），false。
false，設(shè)false為面A1BE的法向量，則
false即false即false取x=1，得平面A1BE的一個(gè)法向量false。
falsefalse
false。
（2）∵D1C∥面A1BE，∴ D1到面A1BE的距離即為D1C到面A1BE的距離，
仿上法求得D1到平面A1BE的距離false。
（3）∵面D1CB1∥面A1BD，∴ D1到面A1BD的距離即為面D1CB1到面A1BD的距離。
易得平面A1BD的一法向量false，且false。D1到平面A1BD的距離
false。
總結(jié)提升：點(diǎn)到平面的距離的三種求法
（1）定義法：這是常規(guī)方法，首先過點(diǎn)向平面作垂線，確定垂足的位置，然后將該線段放到一個(gè)直角三角形中，最后通過解三角形求得點(diǎn)到平面的距離。
（2）等體積法：把點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐的高，利用三棱錐轉(zhuǎn)化底面求體積，從而求得點(diǎn)到平面的距離。
（3）向量法：這是我們常用的方法，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟為：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找到從該點(diǎn)出發(fā)到平面的任意一條斜線段所對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求得點(diǎn)到平面的距離。
1. 利用法向量來解決立體幾何題目，最大的優(yōu)點(diǎn)就是不用像在進(jìn)行幾何推理時(shí)那樣去確定垂足的位置，完全依靠計(jì)算就可以解決問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體幾何題目，關(guān)鍵就是得建立空間直角坐標(biāo)系，把向量通過坐標(biāo)形式表示出來，所以能用這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正（長）方體、直棱柱、正棱錐等。
2. 防范措施：（1）提高運(yùn)算能力
應(yīng)用向量法解題，計(jì)算結(jié)果的正確性至關(guān)重要，在向量的運(yùn)算，法向量的求解過程中，運(yùn)算的快捷準(zhǔn)確是解題的關(guān)鍵。
（2）轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用
在求空間的各種距離時(shí)，要有轉(zhuǎn)化的意識，求解的過程往往就是轉(zhuǎn)化的過程，如本例中利用向量法求點(diǎn)面距等均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。
（答題時(shí)間：30分鐘）
一、選擇題
1. 已知false 則點(diǎn)A與G之間的距離為（ ）
A. false B. false C. false D. false
2. 已知A（1，0，0），B（1，-2，3），C（-1，2，1），則點(diǎn)A到直線BC的距離為（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離是（ ）
A. false B. false C. false D. false

二、填空題
4. 已知直三棱柱的各棱長都是2，且AB⊥AC，則點(diǎn)A1到直線BC1的距離為______。
5. 空間四邊形ABCD的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，1，3），B（2，0，2），C（1，-1，2），D（-1，3，1），E，F(xiàn)分別是AB與CD的中點(diǎn)，則EF的長為______。
三、解答題
6. 四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點(diǎn)。
（1）證明：DE∥平面PFB；
（2）求點(diǎn)E到平面PFB的距離。
1. 答案：A
解析：false
false
2. 答案：B
解析：據(jù)條件知false
false在向量false方向上的投影為false
∴點(diǎn)A到直線BC的距離為false
3. 答案：D
解析：設(shè)所求距離為h。
因?yàn)閒alsefalse
在△B1EF中，EF邊上的高為false
false
而E到平面B1C1F的距離EB=1。
false
4. 答案：false
解析：建系如圖，則B（2，0，0），A1（0，0，2），C1（0，2，2）
false
false上的投影為false
∴點(diǎn)A1到直線false的距離為false

5. 答案：false
解析：易知false故false
6. 解：（1）以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則P（0，0，2），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1）。
false＝（－1，0，2），
false＝（1，2，0），false＝（0，1，1），
∴false＝falsefalse＋falsefalse，
∴false∥平面PFB。
又∵D?平面PFB，∴DE∥平面PFB。
（2）∵DE∥平面PFB，∴點(diǎn)E到平面PFB的距離等于點(diǎn)D到平面PFB的距離。
設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量false＝（x，y，z），
則false
令x＝2，得y＝－1，z＝1。
∴false＝（2，－1，1），false＝（－1，0，0），
∴點(diǎn)D到平面PFB的距離false，
∴點(diǎn)E到平面PFB的距離為false。

展開更多......

收起↑