資源簡介

直線的方程
——點斜式與斜截式
重點
直線的點斜式方程，斜截式方程的推導與求解
難點
直線的點斜式方程，斜截式方程的求解運算
考試要求
考試
題型 選擇 填空 解答
難度 中等

核心知識點一：直線的點斜式方程
1. 方程形式：y-y1 =k（ x-x1），其中false為直線上一點坐標，k為直線斜率。
2. 推導過程：若直線false經過點false，且斜率為k，求l方程。
設點false是直線false上任意一點，
根據經過兩點的直線的斜率公式，得
false，可化為false。
當x = x1時也滿足上述方程。
所以，直線l方程是false。
3. 方程特殊說明：
①這個方程是由直線上一點和斜率確定的；
②當直線l的傾斜角為0°時，直線方程為false；
③當直線傾斜角為90°時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示。這時直線方程為：false。
核心知識點二：直線的斜截式方程
1. 方程形式：y = kx + b，其中k為直線的斜率，b為直線在y軸上的截距。
2. 推導過程：此推導可以通過點斜式方程，當點P取y軸上的點時，可以得到直線的斜截式方程。
3. 方程特殊說明：
①b為直線l在y軸上截距；
②斜截式方程可由過點（0，b）的點斜式方程得到；
③當false時，斜截式方程就是一次函數的表示形式。

類型一：直線的點斜式方程
例題1 寫出下列直線的方程
（1）經過點（2，5），傾斜角為45°；
（2）經過點C（-1，-1），且與x軸平行；
（3）經過點D（1，1），且與x軸垂直。
（4）直線y=x+1繞著其上一點P（3，4）逆時針旋轉90°后得到直線false，求直線false的點斜式方程；
【思路分析】根據直線的點斜式方程，求出直線的斜率，代入公式即可。
【解析】（1）因為傾斜角為45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直線的方程為y－5＝x－2；
（2）由題意知，直線的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直線的點斜式方程為y－（－1）＝0，即y＝－1。
（3）由題意可知直線的斜率不存在，
所以直線的方程為x＝1，該直線沒有點斜式方程。
（4）直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°。
由題意知，直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的斜率k′＝tan 135°＝－1。
又點P（3，4）在直線l上，由點斜式方程知，
直線l的方程為y－4＝－（x－3）。
【總結提升】
求直線點斜式方程的步驟
類型二：直線的斜截式方程
例題2 根據條件寫出下列直線的斜截式方程。
（1）斜率為2，在y軸上的截距是5；
（2）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
（3）傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3。
【思路分析】根據直線的斜截式，寫出直線的斜率及縱截距，然后代入公式求解。
【解析】（1）由直線方程的斜截式方程可知，所求直線方程為y＝2x＋5。
（2）∵傾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝false。
由斜截式可得方程為y＝falsex－2。
（3）∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan 60°＝false，
∵直線與y軸的交點到原點的距離為3，
∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3。
∴所求直線方程為y＝x＋3或y＝x－3。
【總結提升】
1. 斜截式方程y＝kx＋b的特點——左端y的系數恒為1，右端x的系數k和常數項b均有明顯的幾何意義：k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距。
2. 已知直線的斜率和與y軸交點的坐標時，常用斜截式寫出直線的方程，較直線方程的點斜式更為方便。
常見易錯問題剖析
設直線l經過定點（1，2），且直線l的傾斜角是直線false傾斜角的一半，則直線l的方程為____________。
【錯解】設直線l的傾斜角為false，則直線3x+4y-5=0的傾斜角為false，所以false，解得false或false，則直線l的方程為false或false，即false或false。
【錯因分析】本題常見的錯解就是忽視直線傾斜角的范圍而忘記對多種結果的取舍。上述解答注意到了傾斜角間的倍角關系，卻忽視了false的取值范圍對false取值范圍的約束，造成多解。
【正解】因為false，所以false，則false，所以false。
則所求得的false不合題意，舍去。
所以直線l的方程為false，即false。
【總結提升】處理這類問題要注意傾斜角與斜率的對應關系：當斜率大于等于零時，傾斜角的范圍是false；當斜率小于零時，傾斜角的范圍是false；當斜率不存在時，傾斜角是false。

1. 直線的點斜式方程：false
2. 直線的斜截式方程：false

（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 經過點（－1，2），傾斜角是30°的直線的方程是（ ）
A. y＋2＝false（x－2） B. y＋2＝（x－1）
C. y－2＝false（x＋1） D. y－2＝（x＋1）
2. 已知直線l：y＝kx＋b經過第二、三、四象限，試判斷k和b的符號（ ）
A. k>0，b<0 B. k<0，b<0 C. k<0，b>0 D. k>0，b>0
3. 已知點M是直線l：2x-y-4=0與x軸的交點，將直線l繞點M按逆時針方向旋轉45°，得到的直線方程是（ ）
A. x+y-3=0 B. x-3y-2=0
C. 3x-y+6=0 D. 3x+y-6=0
二、填空題
4. 過點P（1，1）平行于x軸的直線方程為________，垂直于x軸的直線方程為________。
5. 直線false繞點（2，0）按順時針方向旋轉30°所得的直線方程是____________。
*6. 等邊△OAB，A（4，0），B在第四象限，則邊AB所在的直線方程為_____________。
三、解答題
*7. 已知直線l經過點P（4，1），且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點斜式方程。

1.【答案】C
【解析】直線的斜率k=tan30°=false，由直線的點斜式方程可得y－2＝false（x＋1），故選C。
2.【答案】B
【解析】如下圖所示

因為直線l與x軸的正方向的夾角是鈍角，與y軸交點位于y軸的負半軸上，所以k<0，b<0。
3.【答案】D
【解析】直線l：2x-y-4=0與x軸的交點為M（2，0）。設直線l的傾斜角為α，
則tan α=2，∴tan（α+45°）=false=-3，
∴把直線l繞點M按逆時針方向旋轉45°，得到的直線方程是y-0=-3（x-2），
即3x+y-6=0，故選D。
4.【答案】y＝1； x＝1
5.【答案】x－2＝0
【解析】直線false的傾斜角為120°，繞點（2，0）按順時針方向旋轉30°后，傾斜角為120°－30°＝90°，則所得直線方程是x＝2，即x－2＝0。
6.【答案】false
【解析】由題可知AB的傾斜角為60°，斜率為false，∴AB的方程為y－0＝false（x－4），即
false
7.【解析】設所求直線的點斜式方程為：y－1＝k（x－4）（k<0），
當x＝0時，y＝1－4k；當y＝0時，false，
由題意，得false
解得false。所以直線l的點斜式方程為false。

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