資源簡介

直線的方程——兩點式、截距式與一般式
重點
1. 直線的兩點式、截距式方程的形式特點和適用范圍；
2. 會把直線方程的一般式化為斜截式，進而求斜率和截距。
難點
直線的兩點式、截距式方程的使用范圍，具體應用
考試要求
考試
題型 選擇 填空 解答
難度 中等

核心知識點一：直線的兩點式方程
1. 方程形式：其中（是直線兩點的坐標。
2. 方程特殊說明：
①這個方程由直線上兩點確定；
②當直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程。

核心知識點二：直線的截距式方程
1. 方程形式：，其中a，b分別為直線在x軸和y軸上截距。
2. 方程特殊說明：
①這一直線方程由直線在x軸和y軸上的截距確定，所以叫做直線方程的截距式；
②求直線在坐標軸上的截距的方法：
令x = 0得直線在y軸上的截距；令y= 0得直線在x軸上的截距。

核心知識點三：直線的一般式方程
方程的形式：
①直線的方程都是關于x，y的二元一次方程；
②關于x，y的二元一次方程都表示一條直線。
因此，關于x，y的二元一次方程是直線的方程，我們把方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）叫做直線的一般式方程。
類型一：直線的兩點式方程
例題1 已知三角形的頂點是A（－2，－1），B（－1，5），C（3，－3），求BC邊上中線所在直線的方程。
【思路分析】求出BC邊的中點，根據中點坐標及點A坐標，利用兩點式寫出所求中線的方程。
【解析】設線段BC的中點為D（x，y），則false即D（1，1）。
由兩點式得AD所在直線的方程為false＝false，整理可得2x－3y＋1＝0。
此即為BC邊上的中線所在直線的方程。
【總結提升】
已知兩點，求過這兩點的直線方程的步驟：
（1）設已知的兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），看是否滿足x1≠x2，y1≠y2，若滿足轉入②，否則不能寫出兩點式方程；
（2）代入兩點式方程公式：false＝false，即得所求直線方程。
注意：兩點式方程與兩點的順序無關。
類型二：直線的截距式方程
例題2 求過點（4，－3）且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程。
【思路分析】思路一，設直線方程的截距式，根據題目條件|a|=|b|，求解a，b的值，注意a=b=0的情況；思路二，設直線方程的點斜式，求出該直線與坐標值交點的坐標，再根據題意列方程，求解參數k的值。
【解析】設直線l在x軸，y軸上的截距分別為a，b。
①當a≠0，b≠0時，設l的方程為false＝1。
∵點（4，－3）在直線上，∴false＋false＝1，
若a＝b，則a＝b＝1，直線方程為x＋y＝1。
若a＝－b，則a＝7，b＝－7，
此時直線的方程為x－y＝7。
②當a＝b＝0時，直線過原點，且過點（4，－3），
∴直線的方程為3x＋4y＝0。
綜上所述，所求直線方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0。
【總結提升】用截距式求直線方程的步驟：
（1）由已知條件確定橫、縱截距；
（2）若兩截距為零，則直線過原點，直接寫出方程即可；若兩截距不為零，則代入公式false＝1中，可得所求的直線方程。
注意：a為橫截距，b為縱截距，一定要明確截距式方程的結構形式。

類型三：直線的一般式方程
例題3 直線Ax＋By＋C＝0經過第一、二、三象限，則（　　）
A. AB>0 B. AB<0
C. AB＝0 D. A與B的符號不確定
【思路分析】根據題目條件畫出草圖，結合圖形，判定直線的斜率k>0，縱截距b>0，再將所給直線的方程化為斜截式，列不等式組判斷A，B之間的關系。
【解析】由題意，知直線的傾斜角為銳角，則k＝－false>0，則AB<0。
【總結提升】直線的方程化為一般式方程，一般式方程化為斜截式方程和截距式方程 ，只要形式允許，直線的方程之間可以相互轉換。

常見易錯問題剖析
設直線l的方程為（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）。
（1）若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；
（2）是否存在實數a，使直線l不經過第二象限？若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由。
【錯解】（1）令x=0，解得y=a－2；令y=0，解得false，依題意可知
false，解得a=0，所以直線l的方程為x＋y＋2＝0。
（2）方程（a＋1）x＋y＋2－a＝0可化為y= －（a＋1）x＋a－2＝0，
則由題意可知：false，解得a≤－1。
【錯因分析】（1）在解方程中忽視a=2的情形；（2）忽視直線經過原點的情形。
【正解】（1）當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，即截距相等，
∴a＝2時滿足條件，此時l的方程為3x＋y＝0；
當a＝－1時，直線平行于x軸，在x軸無截距，不合題意；
當a≠－1，且a≠2時，由false＝a－2，
即a＋1＝1，即a＝0。
此時直線在x軸，y軸上的截距都為－2，l的方程為x＋y＋2＝0。
綜上，直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0時，l在兩坐標軸上的截距相等。
（2）假設存在實數a，使直線l不經過第二象限。將l的方程化為y＝－（a＋1）x＋a－2，
則有false解得a≤－1。
【總結提升】解答此類綜合問題，常采用分類討論（或數形結合）的思想求解。解題時應結合具體問題選好切入點，以防增（漏）解。

直線方程的幾種形式
名稱
已知條件
方程
適用范圍
點斜式
點false和斜率k
false
斜率存在，即適用于與x軸不垂直的直線
斜截式
斜率k和直線在y軸上的縱截距b
false

兩點式
點false和
點false
false
斜率存在且不為0，即適用于與兩坐標軸均不垂直的直線
截距式
直線在x軸上的截距a和直線在y軸上的截距b
false
斜率存在且不為0，直線不過原點，即適用于不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式

Ax+By+C=0（A，B不同時為0）


（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 過兩點（－2，1）和（1，4）的直線方程為（　　）
A. y＝－x＋3　　 　　 B. y＝x－3
C. y＝x＋3 D. y＝－x－3
2. 設A，B是x軸上的不同兩點，點P的橫坐標為2，|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為false，則直線PB的方程是（　　）
A. x＋y－5＝0 B. 2x－y－1＝0
C. 2y－x－4＝0 D. 2x＋y－7＝0
3. 已知a，b滿足a＋2b＝1，則直線ax＋3y＋b＝0必過定點（　　）
A. false B. false
C. false D. false
4. 已知兩直線的方程分別為l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它們在坐標系中的位置如圖所示，則（　　）

A. b>0，d<0，a0，d<0，a>c
C. b<0，d>0，a>c D. b<0，d>0，a二、填空題
5. 經過P（4，0），Q（0，－3）兩點的直線方程是________。
6. 已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c通過第________象限。
7. 已知直線的一般式方程為2x＋y－4＝0，且點（0，a）在直線上，則a＝__________。

三、解答題
8. 已知一個等腰三角形，兩腰長是5，底邊長是8，建立適當坐標系，求兩腰所在的直線的方程。




1.【答案】C
【解析】代入兩點式得直線方程false＝false，整理得y＝x＋3，故選C。
2.【答案】A
【解析】直線PA與x軸的交點為（－1，0），則由題意可知PB與x軸的交點為（5，0），且PB與PA的傾斜角互補，
又kPA＝1，∴kPB＝－1，
∴直線PB的方程為y＝－（x－5），
即x＋y－5＝0，故選A。
3.【答案】D
【解析】∵a＋2b＝1，b＝false，∴ax＋3y＋false＝0，
即afalse＋3y＋false＝0，
∴false∴x＝false，y＝－false。
故直線必過定點false，故選D。
4.【答案】C
【解析】由圖可知直線l1和l2的斜率都大于0，即k1＝－false>0，k2＝－false>0，且k1>k2，
即－false>－false，∴a<0，c<0且a>c。
又l1的縱截距－false<0，l2的縱截距－false>0，∴b<0，d>0。 故選C。
5.【答案】false－false＝1
【解析】因為由兩點坐標知直線在x軸，y軸上截距分別為4，－3，
所以直線方程為false＋false＝1。
6.【答案】一、三、四　
【解析】由ax＋by＝c，得y＝－falsex＋false，∵ab<0，∴直線的斜率k＝－false>0，直線在y軸上的截距false<0。由此可知直線通過第一、三、四象限。
7.【答案】4
【解析】把點（0，a）的坐標代入方程2x＋y－4＝0，得a－4＝0，所以a＝4。
8.【解析】如圖，以底邊BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，易知點B，C的坐標分別為（－4，0），（4，0）。
在Rt△AOC中，AC＝5，OC＝4，則OA＝3。所以點A的坐標為（0，3）。
由直線的截距式方程得腰AB所在的直線方程為：false＋false＝1，即3x－4y＋12＝0；腰AC所在的直線方程為false＋false＝1，即3x＋4y－12＝0。

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