資源簡介

直線的交點坐標與距離公式
重點
求兩條直線的交點坐標，各種距離的求解
難點
距離的求解過程中直線的斜率問題的討論
考試要求
考試
題型 選擇題、填空題、解答題
難度 中等

核心知識點一：兩直線的交點
設l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，則兩條直線的交點坐標就是方程組
false的解。
（1）若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；
（2）若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行，反之，亦成立。
核心知識點二：三種距離
（1）點P1（x1，y1），P2（x2，y2）之間的距離|P1P2|=false
（2）點P0（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=false
（3）兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離false。
類型一：直線的交點坐標
例題1　求經(jīng)過兩條直線l1：x+y－4=0和l2：x－y+2=0的交點，且與直線2x－y－1=0垂直的直線方程為________。
【思路分析】先求解直線的交點，然后根據(jù)條件求解直線的方程。
【解析】由false 得false
所以l1與l2的交點坐標為（1，3）。
設與直線2x－y－1=0垂直的直線方程為x+2y+c=0，則1+2×3+c=0，所以c=－7。
所以所求直線方程為x+2y－7=0。
【總結提升】求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其它條件寫出直線方程。
類型二：與直線有關的距離
例題2 已知點P（4，a）到直線4x－3y－1=0的距離不大于3，則a的取值范圍是________。
【思路分析】由點P到直線4x－3y－1=0的距離想到點到直線的距離公式解題。
【解析】由題意得，點P到直線4x－3y－1=0的距離為false。
又false，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0，10]。
【總結提升】求解此類問題的關鍵就是直線方程形式的鑒別與化歸，特殊形式可以特殊處理，但一般情況下，直線方程總是化為一般式。

例題3　若兩條平行直線l1：x－2y+m=0（m>0）與l2：2x+ny－6=0之間的距離是5，則m+n=（　　）
A. 0 B. 1 C. －2 D. －1
【思路分析】首先利用兩條直線的平行關系求出n的值，然后再利用兩條平行線間的距離求得m的值。
【解析】由兩條直線平行得false，解得n=－4，則l2：x－2y－3=0。由兩平行線間的距離公式有false，解得m=2或m=－8（不合題意，舍去），所以m+n=－2，故選C。
【總結提升】（1）利用“化歸”思想將兩平行直線的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離。
（2）直接用公式false，但要注意兩直線方程中x，y的系數(shù)必須對應相等。

常見易錯問題剖析
直線l過點P（－1，2）且到點A（2，3）和點B（－4，5）的距離相等，則直線l的方程為________。
【錯解】答案：x+3y－5=0
設直線l的方程為y－2=k（x+1），即kx－y+k+2=0。
由題意知false=false，即|3k－1|=|－3k－3|，所以k=－false，
所以直線l的方程為y－2=－false（x+1），即x+3y－5=0。
【錯因分析】到兩點的距離相等的直線，在求解的過程中直接利用距離公式，從而默認了直線斜率的存在，沒有考慮直線的斜率不存在的情況，從而出現(xiàn)漏解的情況。
【正解】答案：x+3y－5=0或x=－1
方法1：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2=k（x+1），即kx－y+k+2=0。
由題意知false=false，即|3k－1|=|－3k－3|，所以k=－false，
所以直線l的方程為y－2=－false（x+1），即x+3y－5=0。
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=－1，也符合題意。
故所求直線l的方程為x+3y－5=0或x=－1。
方法2：當AB∥l時，有k=kAB=－false，
直線l的方程為y－2=－false（x+1），即x+3y－5=0。
當l過AB中點時，AB的中點為（－1，4），
所以直線l的方程為x=－1。
故所求直線l的方程為x+3y－5=0或x=－1。


1. 兩直線相交的判定方法：
（1）兩直線方程組成的方程組只有一組解，則兩直線相交；
（2）在兩直線斜率都存在的情況下，若斜率不相等，則兩直線相交。
2. 兩點間距離公式的特殊情況：
①原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離|OP|＝false。
②當P1P2與x軸平行時，y1＝y(tǒng)2，
從而|P1P2|＝|x2－x1|；當P1P2與y軸平行時，x1＝x2，
從而|P1P2|＝|y2－y1|。
3. 應用點到直線的距離公式應注意的問題
（1）直線方程應為一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式。例如求P（x0，y0）到直線y＝kx＋b的距離， 應先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝false。
（2）點P在直線l上時，點到直線的距離為零，公式仍然適用，故應用公式時不必判定點P與直線l的位置關系。
（3）直線方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0時，公式也成立，也可以用下列方法求點到直線的距離：
①P（x0，y0）到x＝a的距離d＝|a－x0|；
②P（x0，y0）到y(tǒng)＝b的距離d＝|b－y0|。
4. 對兩平行直線間的距離公式的理解
（1）求兩平行線間的距離可以轉化為求點到直線的距離，也可以利用公式。
（2）利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對應相等。
（3）當兩直線都與x軸（或y軸）垂直時，可利用數(shù)形結合來解決。
①兩直線都與x軸垂直時，l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；
②兩直線都與y軸垂直時，l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|。


（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. 已知點M（0，－1），點N在直線x－y+1=0上，若直線MN垂直于直線x+2y－3=0， 則點N的坐標是（　　）
A. （－2，－1）　 　 B. （2，3）　 C. （2，1）　 D. （－2，1）
2. 直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點坐標是（　　）
A. （4，1）　　　　　　　　 B. （1，4）
C. false D. false
3. 已知點A（3，－1），B（5，－2），點P在直線x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，則P點坐標是（　　）
A. （1，－1） B. （－1，1）
C. false D. （－2，2）

二、填空題
4. 在直線x－y＋4＝0上求一點P，使它到點M（－2，－4），N（4，6）的距離相等，則點P的坐標為 。
5. 若兩平行直線3x－2y－1=0，6x+ay+c=0之間的距離為false，則c的值是________。
6. 若直線l：y＝kx－false與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是 。
三、解答題
7. 已知兩條直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試分別確定m，n的值，滿足下列條件：
（1）l1與l2相交于一點P（m，1）；
（2）l1∥l2且l1過點（3，－1）；
（3）l1⊥l2且l1在y軸上的截距為－1。
**8. 已知△ABC的一個頂點A（2，－4），且∠B，∠C的角平分線所在直線的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三邊所在直線的方程。



1.【答案】B
【解析】因為點N在直線x－y+1=0上，所以可設點N坐標為（x0，x0+1）。
根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，得kMN=false=false。
因為直線MN垂直于直線x+2y－3=0，直線x+2y－3=0的斜率k=－false，
所以kMN×false=－1，即false=2，解得x0=2。因此點N的坐標是（2，3），故選B。
2.【答案】C
【解析】由方程組false得false即直線x＋2y－2＝0與直線2x＋y－3＝0的交點坐標是false。故選C。
3.【答案】C
【解析】點A（3，－1）關于直線x＋y＝0的對稱點為A′（1，－3），直線A′B的方程為y＝falsex－false，與x＋y＝0聯(lián)立方程組解得false所以點Pfalse。故選C。
4.【答案】false
【解析】設P點的坐標是（a，a＋4），
由題意可知|PM|＝|PN|，
即false＝false，
解得a＝－false，故P點的坐標是false。
5.【答案】2或－6
【解析】直線6x+ay+c=0可化為3x－2y+false=0，又兩平行線之間的距離為false，所以false=false，解得c=2或－6。
6.【答案】false
【解析】解法一：由題意知直線l過定點P（0，－false），
直線2x＋3y－6＝0與x，y軸的交點分別為A（3，0），B（0，2），
如圖所示，要使兩直線的交點在第一象限，

則直線l在直線AP與BP之間，
而kAP＝false＝false，∴k>false。
解法二：解方程組false得
由題意知x＝false>0且y＝false>0。
由false>0可得3k＋2>0，即false，
∴6k－2false>0，解得k>false。
綜上，k的取值范圍為false。
7. 解：（1）把P（m，1）的坐標分別代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0，2m＋m－1＝0，
解得m＝false，n＝－false。
（2）顯然m≠0。 ∵l1∥l2且l1過點（3，－1），
∴false解得false或false
（3）由l1⊥l2且l1在y軸上的截距為－1。 當m＝0時，l1的方程為8y＋n＝0，l2的方程為2x－1＝0。 ∴－8＋n＝0，解得n＝8。 ∴m＝0，n＝8。
而m≠0時，直線l1與l2不垂直。
綜上可知，m＝0，n＝8。
8. 解：如圖，BE，CF分別為∠ABC，∠ACB的角平分線，由角平分線的性質，知點A關于直線BE，CF的對稱點A′，A″均在直線BC上。

∵直線BE的方程為x＋y－2＝0，
∴A′（6，0）。
∵直線CF的方程為x－3y－6＝0，∴A″false。
∴直線A′A″的方程是y＝false（x－6），
即x＋7y－6＝0，這也是BC所在直線的方程。
由false得Bfalse，
由false得C（6，0），
∴AB所在直線的方程是7x＋y－10＝0，AC所在直線方程是x－y－6＝0。

展開更多......

收起↑