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“兩邊夾”在數學解題中的應用
兩邊夾”在數學解題中的應用
所謂兩邊夾即:若a≤b≤a,則a
從集合角度理解:AcB,BcA,則A=B
推廣形式為:若a≤f(x)≤a,則f(x)=a
在解決某些數學問題時,
兩邊夾”,實現不等關系向等量
關系的轉化,由運動變化狀態向靜止狀態的轉化,運用數學化歸
的思想,進而達到簡化問題,求解問題的目的
求值
例1.(解方程)求方程組{x
的所有實數解
解:由①②及均值不等式得
x+y2≥
(x+y)2(3-z)2
整理得:z=1
同理:x=1,y
故原方程組有且只有一組實數解{y
變式:是否存在常數c,使不等式
對任意正數xy成立
2x+y
x+23
x+2
解:令2x+y=a,x+2
(a>0.b>0
2x+
x+2
當且僅當
即x=y時取
因為
≤c對任意正數x,y成立
2x+y
x+2y
所以(
即
同理可得
當且僅當
即
時取“=”公眾號:品數學
對任意正數x,y成立
所以c≤(
ttu,
tr
即
綜合①②得:c
二求函數解析式
例2.二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖像過點(-1,0),且
x≤∫(x)≤x2+恒成立,求函數y=f(x)的解析式
解:因為二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖像過點(-10)
所以a-b+c=0①
又x≤∫(x)≤x2+恒成立
所以1≤f(1)≤1
即f(1)=a+b+c=1②2
由①2得:b
所以f(x)=ax2+x+-a對vx∈R成立
即x≤ax2+-x+
對vx∈R成立
即
對x∈R成立
X-
所以
對x∈R成立
x+2a≥0
所以
解得
2a>0
所以f(x)
變式:已知函數f(x)=x2+bx+c,|x1,且f(x)n
求函數
f(x)的解析式
解:因為f(x)=x2+bx+c,x≤1,且f(x)
f(0
①
所以{f(1)≤即{-≤1+b+c≤②
f(-1)
由②+③得
又由①知
公眾號:品數
所以c=-1,代入②和③中得
l≤b≤0
所以b=0
所以f(x)=x2-,經驗證符合題意
比較大小
例3已知集合A={a1,a2,…,a(≥2)},其中a1∈Z(=1,2,…,k)
由A中的元素構成兩個相應集合
S={(a,b)|a∈A,b∈Aa+b∈A,T={(a,b)a∈A,b∈A,a-b∈A
其中(a,b)是有序實數對,集合S和T中的元素個數分別為m和n
若對于任意的a∈A,總有-agA,則稱集合A具有性質P試判
斷m和n的大小關系,并證明你的結論
解:m=n,證明如下
(1)對于(a,b)∈S,根據定義,a∈A,b∈A,a+b∈A
從而(a+b,b)∈T
如果(a,b)與(c,d)是S中的不同元素
那么a=c與b=d中至少有一個不成立
從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立
故(a+b,b)與(c+d,d)也是T的不同元素
所以S中元素的個數不多于T中元素的個數,即m≤n
(2)對于(a,b)∈T,根據定義,a∈A,b∈A,a-b∈A
從而(a-b,b)∈S
如果(a,b)與(c,d是T中的不同元素
那么a=c與b=d中至少有一個不成立
從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個不成立
故(a-b,b)與(c-d,d)也是S的不同元素
所以T中元素的個數不多于S中元素的個數,即n≤m
由(1)(2)可知m=n
四探究性問題
例4已知函數f()+2
R
(1)證明:f(x)≥g(x)
2)是否存在常數a,b,使得f(x)≥ax+b≥g(x)對任意的x>0恒成
立?若存在,求出a,b的值,若不存在,請說明理由

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