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空間向量及其運算
考向一
空間向量的基本概念
1、　(1)給出下列命題：
①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；
②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；
③在正方體ABCD?A1B1C1D1中，＝；
④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.
其中正確命題的序號是________．
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量相等的向量有________；與向量相反的向量有________．(要求寫出所有適合條件的向量)
【答案】
(1)②③④　(2)，，　，，，　
2、下列關于空間向量的命題中，正確命題的個數是(　　)
①任一向量與它的相反向量不相等；
②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；
③平行且模相等的兩個向量是相等向量；
④若a≠b，則|a|≠|b|；
⑤兩個向量相等，則它們的起點與終點相同．
A．0
B．1　　　　
C．2　　　　
D．3
B　[因為零向量與它的相反向量相等，所以①不正確；根據向量的定義，知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量，②正確；平行且模相等的兩個向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正確；當a＝－b時，也有|a|＝|b|，④不正確；只要模相等、方向相同，兩個向量就是相等向量，與向量的起點與終點無關，⑤不正確．綜上可知只有②正確，故選B.]
3、下列命題是真命題的序號是________．
①在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與這兩個向量不是共線向量．
②若向量a與b平行，則a，b的方向相同或相反．
③若向量，滿足，且與同向，則>.
④若向量a＝b，則|a|＝|b|.
【答案】④
注：零向量與任何向量平行
4、如圖所示，以長方體ABCD?A1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中，
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解]　(1)與向量相等的向量有，，，，共3個；
(2)向量的相反向量為，，，，共4個；
(3)||2＝22＋22＋12＝9，所以||＝3.
考向二
空間向量的線性運算
1、如圖，在四面體中，設是的中點，則等于　　
A．
B．
C．
D．
【考點】
2、如圖所示的空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點，則－＋等于(　　)
A.　　　　
　
B．3
C．3　　　　
D．2
【答案】B
3、如圖，在四面體中，、分別是棱、的中點，則向量與、的關系是　　
A．
B．
C．
D．
【考點】愛
4、如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量的有(　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1個　　B．2個　　C．3個　　D．4個
【答案】(1)D　[對于①，(＋)＋＝＋＝，
對于②，(＋)＋＝＋＝，
對于③，(＋)＋＝＋＝，
對于④，(＋)＋＝＋＝.]
5、如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
①；
②；
③＋.
解：①∵點P是C1D1的中點，∴＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b，
②∵點N是BC的中點，∴＝＋＋
＝－＋＋＝－a＋b＋c，
③∵點M是AA1的中點，∴＋＝＋＋＋＋
＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c.
6、如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG＝2GN，設＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示向量.
[解]?。剑?br/>＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
考向三
共面向量
1、有4個命題：①若，則與、共面；②若與、共面，則；③若，則共面；④若共面，則.
其中真命題的個數是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
2、已知A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外的任意一點，若點P分別滿足下列關系：
(1)＋2＝6－3；
(2)＋＝4－.
試判斷點P是否與點A，B，C共面．
[解]　法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，
∴3＝＋2，即＝－2－3.
根據共面向量定理的推論知：點P與點A，B，C共面．
(2)設＝＋x＋y(x，y∈R)，則
＋x＋y＋＝4－，
∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－，
∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，
由題意知，，均為非零向量，所以x，y滿足：
顯然此方程組無解，故點P與點A，B，C不共面．
法二：(1)由題意，＝＋＋，
∵＋＋＝1，∴點P與點A，B，C共面．
(2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1，
∴點P與點A，B，C不共面．
3、已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由＝＋＋λ確定的一點P與A，B，C三點共面，則λ＝________．
　[根據P，A，B，C四點共面的條件，知存在實數x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.]
4、如圖所示，已知A，B，C三點不共線，P為平面ABC內一定點，O為平面ABC外任一點，則下列能表示向量的為(　　)
A.＋2＋2　
B.－3－2
C.＋3－2
D.＋2－3
C　[因為A，B，C，P四點共面，所以可設＝x＋y，即＝＋x＋y，
由圖可知x＝3，y＝－2，故選C.]
5、如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求證：向量，，共面．
思路探究：可通過證明＝x＋y求證．
[證明]　因為M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋＝＋＝＋.
又與不共線，根據向量共面的充要條件可知，，共面．
6、在長方體ABCD?A1B1C1D1中，M為DD1的中點，點N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：與，共面．
[證明]　∵＝－，
＝＋＝－，
＝＝(＋)，
∴＝－
＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋，
∴與，共面．
7、如圖所示，平行六面體中，、分別在和上，且，
（1）求證：、、、四點共面；
（2）若，求的值．
【答案】（1）證明：
、、、四點共面．
解：
，
，，，
8、證明空間任意無三點共線的四點、、、共面的充分必要條件是：對于空間任一點，存在實數、、且，使得．
【答案】（必要性）依題意知，、、三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點、、、共面
對空間任一點，存在實數、，使得
，取、、，則有，且．
（充分性）對于空間任一點，存在實數、、且，使得．所以得．
，即：，所以四點、、、共面．
所以，空間任意無三點共線的四點、、、共面的充分必要條件是：
對于空間任一點，存在實數、、且，使得．

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