資源簡介

空間向量的數(shù)量積運算
考向一
公式直接運用
1、已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．
π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.
所以〈a，b〉＝π.]
2．設a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，則向量a＋b＋c的模是________．
　[因為|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)
＝1＋4＋9＋2＝17＋6，
所以|a＋b＋c|＝.]
3、已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
【答案】A　[由題意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.]
4、若|a|＝|b|＝4，＝60°，則|a－b|等于
(　　)
A．4　
B．8　
C．37　
D．13
【答案】A
5、已知△ABC，＝c，＝b，＝a，用向量a，b，c的數(shù)量積的形式表示△ABC為銳角三角形的充要條件是
(　　)
A．b·c>0，a·c>0
B．a(chǎn)·b>0，b·c>0，a·c>0
C．a(chǎn)·b>0
D．a(chǎn)·b>0，b·c>0，a·c<0
【答案】D
6、已知，，、的夾角為135°，，，則，則＝________.
【答案】
7、已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實數(shù)λ的取值范圍是________．
【答案】(－1－，－1＋)　[由題意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.]
考向二
幾何體中的數(shù)量積運算
1、已知邊長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則·的值為(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
C　[＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，則·＝(2＋2)＝1，故選C.]
2、如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
解：①·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos
60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③EF·＝·＝－·＝－×cos
60°＝－.
④·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos
60°－cos
60°＝0.
3、
(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則·＝________.
a2　[·＝·
＝(·＋·)＝(a2cos
60°＋a2cos
60°)＝a2.]
(2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則·(＋＋)＝________．
　[＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋.
∴·(＋＋)＝·(＋＋)
＝2＋2＋2
＝×22＋×32＋×12＝.]
考向三
幾何體中的平行與垂直證明
1、已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.
[解]　連接ON，設∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos
θ－|a|2·cos
θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
2、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點．求證：A1O⊥平面BDG.
[證明]　設＝a，＝b，＝c.
則a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可證⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
3、如圖，已知正方體ABCD?A′B′C′D′，CD′與DC′相交于點O，連接AO，求證：
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
[證明]　(1)因為＝＋＝＋(＋)，
因為＝－，所以·
＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.
(2)因為·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·，
可知·＝0，·＝0，
·＝0，·＝||2，
·＝－||2，·＝0，
所以·＝||2－||2＝0，
所以⊥，所以AC′⊥B′C.
同理可證，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′?平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.
考向四
幾何體中的模長與角的計算
1、正方體中，向量與的夾角是(　　)
A．30°　　　　　　　　　　
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
2、設是空間不共面的四點，且滿足，，，則是(　　)
A．鈍角三角形
B．銳角三角形
C．直角三角形
D．不確定
【答案】B
3、如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．
90°　[不妨設棱長為2，則1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.]
4、如圖所示，在一個直二面角α?AB?β的棱上有A，B兩點，AC，BD分別是這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為________．
2　[∵＝＋＋＝－＋，
∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.]
5、已知在正四面體D?ABC中，所有棱長都為1，△ABC的重心為G，則DG的長為________．
　
[如圖，連接AG并延長交BC于點M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋
cos
60°)＝6，∴||＝.]
6、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點．
(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．
[解]　(1)證明：設＝p，＝q，＝r.
由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60°.
＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos
60°＋a2cos
60°－a2)＝0.
∴⊥，即MN⊥AB.
同理可證MN⊥CD.
(2)設向量與的夾角為θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·＝
＝
＝＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cos
θ＝a×a×cos
θ＝.
∴cos
θ＝.
∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.

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