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空間向量的基本定理以及坐標(biāo)表示
考向一
空間向量的基底
1、給出下列命題
①已知，則；
②、、、為空間四點，若不構(gòu)成空間的一個基底，則、、、共面；
③已知，則與任何向量不構(gòu)成空間的一個基底；
④已知，，是空間的一個基底，則基向量可以與向量構(gòu)成空間另一個基底．其中所有正確命題的序號為　
　．
【答案】①②④
2、　(1)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間一個基底的向量組有(　　)
A．1個
B．2個　　　　
C．3個　　　　
D．4個
(2)已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底．
(1)C　[如圖所示，令a＝，b＝，c＝，
則x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四點不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故選C.
]
(2)解：假設(shè)，，共面，由向量共面的充要條件知，存在實數(shù)x，y
使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
∴此方程組無解．
即不存在實數(shù)x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．
所以{，，}能作為空間的一個基底．
3、若{a，b，c}是空間的一個基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為空間的一個基底．
[解]　假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實數(shù)λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空間的一個基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程組無解．
即不存在實數(shù)λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作為空間的一個基底．
4、若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，則α，β，γ的值分別為(　　)
A.
B．
C.
D．
【答案】A
考向二
空間向量分解系數(shù)求解
1、如圖，四棱錐P?OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，試用a，b，c表示：，，，.
[解]　連接BO，則＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋
(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
2、點P是矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點，且＝，＝，則滿足＝x＋y＋z的實數(shù)x，y，z的值分別為(　　)
A．－，，　　
B.，－，
C．－，，－
D．－，－，
D　[如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則＝－＝
－(－)＝－
＝－
＝－－(－＋＋)＝－－＋，比較知x＝－，y＝－，z＝，故選D.]
3、如圖，在平行六面體中，，，且，，，試用，，表示向量．
【答案】解：根據(jù)向量的三角形法則得，連接，
4、在棱長為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個公共點，設(shè)，則　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
正方體中，，，，
，
，，，四點共面，，，，四點共面，
，解得，；
5、如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且PM
：MC＝2
：1，N為PD中點，求滿足＝x＋y＋z的實數(shù)x、y、z的值．
【答案】在PD上取一點F，使PFFD＝2?1，連結(jié)MF，則＝＋，
而＝－＝－
＝＝(－)，
＝＝＝－.
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
6、在平行六面體中，設(shè)，，分別是，的中點．
（1）用向量表示，；
（2）若，求實數(shù)的值．
【答案】（1）；
（2）.
考向三
空間向量的坐標(biāo)表示
1、已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
[解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
2、已知向量，，，，，，求，及．
【答案】解：，，，，，，
由模長公式可得，，
由向量的坐標(biāo)運算可得，，，，，，，
，，，，，4，
3、已知，，，，0，，，的夾角為，則　　．
【答案】
4、(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________．
(2)已知O是坐標(biāo)原點，且A，B，C三點的坐標(biāo)分別是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求適合下列條件的點P的坐標(biāo)；
①＝(－)；②＝(－)．
(1)2　[c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.]
(2)解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
①＝(－)＝(6，3，－4)＝，則點P的坐標(biāo)為.
②設(shè)P(x，y，z)，則＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵＝(－)＝，∴
解得x＝5，y＝，z＝0，則點P的坐標(biāo)為.
5、已知向量＝(2,－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標(biāo)為(0，，－)，則(x，y，z)＝(　　)
A．(－2，－4，－1)
B．(－2，－4，1)
C．(－2，4，－1)
D．(2，－4，－1)
【答案】A
【解析】由已知＝＋＝(2＋x，－1－y,3＋4z)＝2(0，，－)，
∴，∴x＝－2，y＝－4，z＝－1.故選A.
6、已知，，，若，則的坐標(biāo)是
.
【答案】
7、已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．設(shè)a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
[解]　(1)∵＝(－2，－1，2)且c∥，
∴設(shè)c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)∵a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
8、已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分別求λ與m的值；
(2)若|a|＝，且與c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解]　(1)由a∥b，得
(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
∴解得
∴實數(shù)λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化簡，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0，1，－2)．
9、已知，，，，4，，，5，，若，，三向量共面，則　　．
【答案】解：，，，，4，，，5，，
，，三向量共面三向量共面，存在，，使得，
，5，，，，
解得，，．故答案為：
10、空間四點A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置關(guān)系為(　　)
A．共線
B.共面
C．不共面
D．無法確定
解析：選C　＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在實數(shù)λ，使＝λ成立知，A，B，C不共線，故A，B，C，D不共線；假設(shè)A，B，C，D共面，則可設(shè)＝x＋y
(x，y為實數(shù))，即由于該方程組無解，故A，B，C，D不共面，故選C.
11、在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為　　
A．
B．
C．
D．
【答案】日期：2019/7/5
13:03點在直線上運動，存在實數(shù)使得，，，
，．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取得最小值，
12、在空間直角坐標(biāo)系中，，，為坐標(biāo)原點，滿足，，則下列結(jié)論中不正確的是　　
A．的最小值為
B．的最大值為10
C．最大值為
D．最小值為1
【解答】B在空間直角坐標(biāo)系中，
，，為坐標(biāo)原點，滿足，，
設(shè)，，，，
在中，
，
當(dāng)，，的最小值為，故正確；
在中，
，
，時，的最大值為8，故錯誤；
在中，，，，，，
，
時，的最大值為，故正確；
在中，
，
令，
則，
當(dāng)時取等號，
故取最小值1．故正確

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