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建立空間直角坐標系，找點坐標
考向一
題中有三條兩兩垂直的直線——直接建系
1、如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.
請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
[解]　分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
則P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)
，A(0，0，0)，B(1，0，0)
2、如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當的坐標系求向量，，的坐標．
[解]　由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C?xyz，如圖所示．B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
3、已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別為棱BB1，DC的中點，如圖所示建立空間直角坐標系．
(1)寫出各頂點的坐標；
(2)寫出向量，，的坐標．
[解]　(1)由題圖知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，
(2)因為E，F分別為棱BB1，DC的中點，
由中點坐標公式，得E(2，2，1)，F(0，1，0)．所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1)．
考向二
側棱垂直于底面——做輔助線建系
1、如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD=2，M為AE的中點.
請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
[證明]　建立如圖所示的空間直角坐標系C?xyz，
C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，M
．
2、如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F為PC的中點.請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
[解]　如圖，連接BD交AC于O，因為BC＝CD，即△BCD為等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O為坐標原點，分別以，，為正交基底建立空間直角坐標系O?xyz.
因為OC＝CDcos
＝1，AC＝4，所以AO＝AC－OC＝3，又OB＝OD＝CDsin
＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，P(0，－3，2)
，F（0，-1,1）。
3、　如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz.
由題意知P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，A(0，0，0)，D(0，3，0),B(,-1，0)
4如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD=2．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
【解析】由題設知，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
考向三
側面垂直于底面——做輔助線建系
1、如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．
請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
【解析】如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.
因為在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中點O1，以O為原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，C(-1，0，0),
C1(-1，2，0).
2、已知正三棱柱ABC?A1B1C1，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是邊AC，A1C1的中點，AB1=2，請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標
[解]　(1)如圖建立空間直角坐標系，
由題意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0,2)，C1(0，1，2)，
3、如圖，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．
[解]　建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，B1(0，3，).
考向四
正棱錐——作輔助線建系
1、如圖，在正四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，O是AC與BD的交點，PO＝1，M是PC的中點．
在如圖的空間直角坐標系中，求的坐標；還可以怎么建系？
[解]　＝(1，0，0)，＝(0，1，0)．
∵A(0，0，0)，O，P，∴＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1，0，0)＋(0，1，0)＋＝.法二建系：以點O為原點，OA,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系
2、已知在正四面體A?BCD中，E為棱AD的中點，AB＝2，請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．
解析：作AO⊥平面BCD于點O，則O是△BCD的中心，以O為坐標原點，直線OD為y軸，直線OA為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則O(0，0，0)，A，C，E，B,-

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