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用空間向量解決平行與垂直的證明
考向一
用坐標(biāo)法證明平行問(wèn)題
1、在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】法一　如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則即取x＝1，則y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．
法二?。剑剑?－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．
法三　＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用與線性表示，故與，是共面向量，故MN∥平面A1BD．
2、如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PB于點(diǎn)F.
求證：PA∥平面EDB；
[證明]　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.
設(shè)DC＝a.
(1)連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG.
依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E.
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，
所以G為AC的中點(diǎn)
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，
所以＝(a,0，－a)，＝，
則＝2，故PA∥EG.
而EG?平面EDB，PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
3、如圖，在四面體A?BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.
求證：PQ∥平面BCD.
證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz.
由題意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0,0)．
因?yàn)椋?，
所以Q.
因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M(0，，1)．
又P為BM的中點(diǎn)，故P，
所以＝.
又平面BCD的一個(gè)法向量為a＝(0,0,1)，
故·a＝0.
又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
4、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.
求證：EF∥平面PAB；
[證明]　以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F(xiàn)，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．
因?yàn)椋剑浴?，即EF∥AB.
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.
5、在如圖3?2?4所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.
圖3?2?4
[證明]　∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
設(shè)平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB?平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
考向二
用坐標(biāo)法證明垂直問(wèn)題
1、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．
求證：
B1D⊥平面ABD；
證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
2、如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥平面A1BD．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】法一：如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC．
因?yàn)樵谡庵鵄BC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因?yàn)椤ぃ?×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因?yàn)锽A1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同方法一．
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則，即
令x＝1得平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(1,2，－)，
又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n.
所以AB1⊥平面A1BD．
3、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.
求證：平面PAD⊥平面PDC.
[證明]　以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F(xiàn)，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．
因?yàn)椤ぃ?0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.
又AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因?yàn)镈C?平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC.
4、如圖，在三棱錐P?ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.
證明：(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OD為y軸正半軸，射線OP為z軸正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz.
則O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，＝(－8，0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，
所以＝＝，又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
則·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM，
又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.
5、如圖所示，已知四棱錐P?ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求證：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
證明：(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO，
∵△PBC為等邊三角形，∴PO⊥BC.
∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
不妨設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，PA?平面PAB，PB?平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
6、如圖1，在四棱錐中，底面是正方形，⊥底面，且，是的中點(diǎn)．求證：
（1）直線平面；
（2）平面平面．
圖1
圖2
【答案】見(jiàn)解析
【解析】如圖2，以A為原點(diǎn)，
AB，AD，AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)，則，，，，，
易得，
設(shè)平面的法向量為，則，即
取，可得平面的一個(gè)法向量為
又，所以，所以，所以直線平面
方法1：如圖2，連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
易得，，顯然，故，所以
又⊥底面，所以⊥底面
又平面，所以平面平面
方法2：易得，
設(shè)平面的法向量為，則，即
取，得，，所以平面的一個(gè)法向量為
⊥底面，可得是平面的一個(gè)法向量
因?yàn)?，所以，所以平面平?br/>考向三
用坐標(biāo)法解決探索性問(wèn)題
1、如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝AA1＝2，D為AC的中點(diǎn)．
(1)求證：AB1∥平面BDC1；
(2)設(shè)AB1的中點(diǎn)為G，問(wèn)：在矩形BCC1B1內(nèi)是否存在點(diǎn)H，使得GH⊥平面BDC1.若存在，求出點(diǎn)H的位置，若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)證明：連接B1C，設(shè)B1C∩BC1＝M，連接MD，
在△AB1C中，M為B1C中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，
∴DM∥AB1，
又∵AB1不在平面BDC1內(nèi)，DM在平面BDC1內(nèi)，
∴AB1∥平面BDC1.
(2)以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
依題意，得C1(0,0,0)，D(1,2,0)，B(0,2,2)，G(1,1,1)，假設(shè)存在H(0，m，n)，
＝(－1，m－1，n－1)，＝(1,2,0)，＝(－1,0,2)，
由GH⊥平面BC1D，得
⊥?(－1，m－1，n－1)·(1,2,0)＝0?m＝.
同理，由⊥得n＝，即在矩形BCC1B1內(nèi)存在點(diǎn)H，使得GH⊥平面BDC1.
此時(shí)點(diǎn)H到B1C1的距離為，到C1C的距離為.
2、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點(diǎn)，PA＝PD＝AD＝2.
(1)求證：EF∥平面PBC；
(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
　
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)證明：如圖所示，連接AC.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，AC與BD互相平分．F是BD中點(diǎn)，所以F是AC中點(diǎn)．在△PAC中，E是PA中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，所以EF∥PC.
又因?yàn)镋F?平面PBC，PC?平面PBC，所以EF∥平面PBC.
(2)取AD中點(diǎn)O，連接PO.在△PAD中，PA＝PD，所以PO⊥AD.
因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
因?yàn)镺F?平面ABCD，所以PO⊥OF.
又因?yàn)镕是AC中點(diǎn)，所以O(shè)F⊥AD.
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)镻A＝PD＝AD＝2，所以O(shè)P＝，則C(－1,2,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E，F(xiàn)(0,1,0)．
于是＝，＝(1,1,0)．
設(shè)平面EFD的法向量n＝(x0，y0，z0)．
因?yàn)樗约?br/>令x0＝1，則n＝(1，－1，－)．
假設(shè)在棱PC上存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面EDF.
設(shè)G(x1，y1，z1)，則＝(x1，y1－1，z1)．
因?yàn)镋DF的一個(gè)法向量n＝(1，－1，－)．
因?yàn)镚F⊥平面EDF，所以＝λn.
于是即
又因?yàn)辄c(diǎn)G在棱PC上，所以與共線．
因?yàn)椋?－1,2，－)，＝(x1＋1，y1－2，z1)，
所以＝＝，
即＝＝，無(wú)解．故在棱PC上不存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面EDF.

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