資源簡介

用空間向量求線線角，線面角
考向一
用坐標法求異面直所成角
1、如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：選C　建立如圖所示的空間直角坐標系．設正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，
＝(1,0，－2)，
∴B1M與D1N所成角的余弦值為＝＝.
2、如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E，F分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是(　　)
A．30°　　　　　　　　
B．45°
C．60°
D．90°
解析：選C　以B為坐標原點，以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示．設AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∴＝(0，－1，1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，則EF和BC1所成的角是60°，故選C.
3、如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都相等，E，F，G分別為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：選A　設正三棱柱的棱長為2，取AC的中點D，連接DG，DB，分別以DA，DB，DG所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則B1，F(1,0,1)，
E，G(0,0,2)，
＝，＝，
＝(1,0，－1)．
設平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，
則即
取x＝1，則z＝1，y＝，
故n＝為平面GEF的一個法向量，
所以cos〈n，〉＝＝－，
所以B1F與平面GEF所成角的正弦值為.
4、若平行六面體的底面是邊長為2的菱形，且，⊥底面ABCD，，則異面直線與所成角的余弦值為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】連交于，交于，連，則，
⊥底面ABCD，底面ABCD，
底面是邊長為2的菱形，，
，
以點為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
5、在正方體中，P是側面上的動點，與垂直，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，則，設，其中，
則，
因為與垂直，所以，所以，
所以，
因為，所以當時，取得最大值，
此時取得最小值；
6.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求證：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值．
解：(1)證明：因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因為AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)設AC∩BD＝O.
因為∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如圖，以O為坐標原點，射線OB，OC分別為x軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標系O?xyz，
則P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，
所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．
設PB與AC所成角為θ，
則cos
θ＝＝＝.
即PB與AC所成角的余弦值為.
7、如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值．
【答案】見證明
【解析】(1)證明　如圖所示，連結BD，設BD∩AC＝G，連結EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨設GB＝1.
由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，AC，FG?平面AFC，
所以EG⊥平面AFC.
因為EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如圖，以G為坐標原點，分別以GB，GC所在直線為x軸、y軸，||為單位長度，建立空間直角坐標系G－xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，
所以＝(1，，)，＝.
故cos〈，〉＝＝－.所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為.
考向二
用坐標法求線面角
1、在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以點為坐標原點，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，
則,
為平面的一個法向量．
．
∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．
2、已知在正四面體A?BCD中，E為棱AD的中點，則CE與平面BCD的夾角的正弦值為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
B　[
作AO⊥平面BCD于點O，則O是△BCD的中心，以O為坐標原點，直線OD為y軸，直線OA為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．設AB＝2，則O(0，0，0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE與平面BCD的夾角的正弦值為.]
3、如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側棱AA1＝2，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.則A1B與平面ABD所成角的正弦值為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
A　[以C為坐標原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，CC1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
設CA＝CB＝a，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E，G，＝，＝(0，－a，1)．∵點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2，2)，∵⊥平面ABD，∴為平面ABD的一個法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B與平面ABD所成角的正弦值為.]
4、如圖，正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為________．
　[取BC的中點O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz.
設BC＝1，則A，B，C，D，所以＝，＝，＝.
設平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，則，所以，取x＝1，則y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.]
5、在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________．
解析：建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)．設平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，則有即令x＝2，得y＝1，z＝2，則n＝(2,1,2)．設D1C1與平面A1BC1所成角為θ，則sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為.
答案：
6、已知正四棱錐P-ABCD的側棱與底面所成角為60°，M為PA中點，連接DM，則DM與平面PAC所成角的大小是________．
【答案】45°
【解析】設底面正方形的邊長為a，由已知可得正四棱錐的高為a，
建立如圖所示空間直角坐標系，
則平面PAC的法向量為，D，，
P，M，＝，
所以＝＝，所以DM與平面PAC所成角為45°.
7、四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點．
(1)求證：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直線AE與平面BDM所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：連接AC交BD于點N，連接MN，
則N為AC的中點，
又M為AE的中點，∴MN∥EC.
∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，
∴MN∥平面EFC.
∵BF，DE都與平面ABCD垂直，∴BF∥DE.
∵BF＝DE，
∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD∥EF.
∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.
(2)∵DE⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，
∴DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系D?xyz.
設AB＝2，則DE＝4，從而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)，
設平面BDM的法向量為n＝(x，y，z)，
則得
令x＝2，則y＝－2，z＝－1，
從而n＝(2，－2，－1)為平面BDM的一個法向量．
∵＝(－2,0,4)，設直線AE與平面BDM所成的角為θ，
則sin
θ＝|cos
?n，＝，
∴直線AE與平面BDM所成角的正弦值為.
8、如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，，，，，為的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）若點在線段上，當直線與平面所成角的正弦值為時，求線段的長.
【答案】(1)見解析.(2)2.
【解析】
(1)證明：由題意易得，且，
在中，，
∴，∴，
在中，，
∴，又，
∴面，又∴面，
∴平面平面.
（2）由（1）可知面，所以以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，
設平面的一個法向量為，
由，則令，，，所以，
∴，
解得或（舍），故BN=2.

展開更多......

收起↑