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用空間向量求解二面角，點面距
考向一
用坐標法求二面角
1、如圖，三棱錐的側棱長都相等，底面與側面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點，為直線上的動點，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】底面與側面都是以為斜邊的等腰直角三角形，
則，所以
設，
由為線段的中點，
則，
由，
所以，
以為原點，為軸，為軸，為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，設，
，，，，
設平面的一個法向量，
則，即，
令，則，，
所以.
設平面的一個法向量，
則，即，
解得，令，則，
所以，
平面與平面所成銳二面角的平面角為，
則，
將分子、分母同除以，可得
令，
當時，，
則的最大值為：.故選：D
2、如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB＝5，AC＝6，點E，F分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF位置，OD′＝.
(1)證明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B?D′A?C的余弦值．
[解]　(1)證明：由四邊形ABCD為菱形，得AC⊥BD.
由AE＝CF＝，得＝，所以EF∥AC.
因此EF⊥DH，從而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
則OD′2＝OH2＋D′H2，所以D′H⊥OH.
又OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.
(2)以H為坐標原點，HB，HF，HD′分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系H?xyz，如圖所示．
則B(5,0,0)，C(1,3,0)，D′(0,0,3)，A(1，－3,0)，
(由口訣“起點同”，我們先求出起點相同的3個向量．)
所以＝(4,3,0)，
＝(－1,3,3)，＝(0,6,0)．
(由口訣“棱排前”，我們用行列式求出兩個平面的法向量．)
由
可得平面ABD′的法向量n1＝(－3,4，－5)，
由
可得平面AD′C的法向量n2＝(－3,0，－1)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝.
所以二面角B?D′A?C的余弦值為.
3、如圖所示，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E為線段BD上的一點，且EB＝ED＝EC＝BC，連接CE并延長交AD于F.
(1)若G為PD的中點，求證：平面PAD⊥平面CGF；
(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B?CP?D的余弦值．
解：(1)證明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，
故∠BCD＝90°，∠CBE＝∠BEC＝60°.
∵△DAB≌△DCB，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABE＝∠CBE＝60°，∴∠FED＝∠BEC＝∠ABE＝60°.
∴AB∥EF，∴∠EFD＝∠BAD＝90°，
∴EF⊥AD，AF＝FD.
又PG＝GD，∴GF∥PA.
又PA⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴GF⊥AD.
又GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CGF.
又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面CGF.
(2)以A為坐標原點，射線AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，，0)，D(0,2，0)，P(0,0,3)，
故＝(－1，－，0)，
＝(－3，－，3)，＝(－3，，0)．
設平面BCP的一個法向量為n1＝(1，y1，z1)，
則即解得
即n1＝.
設平面DCP的一個法向量為n2＝(1，y2，z2)，
則即解得
即n2＝(1，，2)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
由圖知二面角B?CP?D為鈍角，
所以二面角B?CP?D的余弦值為－.
4、如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，，，．
(1)求的長；
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】因為多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，
所以平面平面，又平面平面,平面平面,
所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，
連結,交于，以為原點，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，，，，
所以，，
所以，所以,
所以的長為.
(2)根據題意可取平面的一個法向量為，
由(1)知，，設平面的法向量為，則
由，得，即，
令，則，，所以，
所以，
所以平面與底面所成銳二面角的余弦值為.
5、如圖，四棱錐中，平分...
（1）設E是的中點，求證：平面；
（2）設平面，若與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：，即能被平面內兩個不共線的向量表示，且平面，
平面；
（2）因為平面，且平面，故為與平面所成的角，故，從而.
不妨設，由已知可得，，，，到的距離為.以A坐標原點，，分別為y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.
.
∵平面，∴，又∵，∴平面
∴是平面的一個法向量.
設平面的一個法向量為，
由得即得.
設所求的角為，則為銳角，則，
即所求的二面角的余弦值為.
6、如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】（1）由題設可得，，從而
又是直角三角形，所以
取的中點，連結，
則
又由于是正三角形，故
所以為二面角的平面角
在中，
又，所以
，故
所以平面平面
（2）由題設及（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系，則
由題設知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點，得，故
設是平面的法向量，則同理可取
則
所以二面角的余弦值為
考向二
用坐標法求點面距
1、在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點，為棱上的一點，且，設點為的中點，則點到平面的距離為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，
則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
設平面D1EF的法向量＝（x，y，z），
則
，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴點M到平面D1EF的距離為：
d＝，N為EM中點，所以N到該面的距離為
，選D．
2、在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（bie
nao）.已知在鱉臑中，平面，，為的中點，則點到平面的距離為_____．
【答案】
【解析】以B為坐標原點，BA,BC所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，如圖，
則
,由為的中點可得;
,
.
設為平面的一個法向量，則,即，
令，可得，點到平面的距離為.
3、邊長為1的等邊三角形ABC中，沿BC邊高線AD折起，使得折后二面角B－AD－C為60°，點D到平面ABC的距離為________．
【答案】
【解析】如圖所示，AD⊥平面BCD，AD＝，
BD＝CD＝BC＝，
∴VA－BCD＝×AD×S△BCD.
又∵VA－BCD＝VD－ABC＝×h×S△ABC，
∴由等積法可解得h＝.
4、如圖所示，在長方體中，，，點在棱上移動．
（1）證明：；
（2）當為的中點時，求點到平面的距離；
【答案】如圖所示，以為坐標原點，直線、、分別為，軸，建立空間直角坐標系．設，則，，，．
⑴
證明：因，
則，即．
⑵
；
5、如圖：正三棱柱的底面邊長為，是延長線上一點，且，二面角的大小為；
（1）求點到平面的距離；
（2）若是線段上的一點
，且，在線段上是否存在一點，使直線平面？
若存在，請指出這一點的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；
（2）存在,當時，知平面.
【解析】（1）設為的中點，則，在正三棱柱中，平面,而平面，所以，而,因此平面，而平面，所以有
為二面角的平面角，
如下圖所示：
，,
側棱；
又
,知
點
到平面的距離
（2）由（1）可知，，，，當時，有
成立，而
平面
，所以
平面，故存在，當時，符合題意。

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