資源簡介

第二十一章
一元二次方程
一、一元二次方程
1．概念：
只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.
一般形式
其中，
是二次項，是二次項系數；
是一次項，b
是一次項系數；c是常數項。
3.
一元二次方程的解（根）
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。
二、一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思路是“降次”，通過“降次”將一元二次方程化為一元一次方程．
(1)
直接開平方法：
若，則x叫做a的平方根，表示為x=
：這種解一元二沃方程的方法，叫做直接開平方法。
直接開平方法解一元二次方程的步驟是：
①
移項；②
使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為
1；③
兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
(2)
配方法
通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。其理論依據：完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法解一元二次方程的步驟：
一移、二除、三配、四解。
即：1）把常數項移到等號的右邊；
2）方程兩邊都除以二次項系數；
3）方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；
4）若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。
①公式法：
一般地，對于一元二次方程
，如果
，那么方程的兩個根為
，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a、b、c
的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。
②
因式分解法：
將一元二次方程先因式分解使方程化為兩個因式的乘積等于0的形式，再使這兩個因式分別等于0，從而實現降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法解一元二次方程的步驟：
1）
移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；
2）
把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
3）
令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；
4）
解一元一次方程即可得到原方程的解。
三、一元二次方程根的判別式
ax2+bx+c=0（a≠0）
△=b2-4ac＞0
△=b2-4ac=0
△=b2-4ac＜0
方程有兩個不相等的實數根
方程有兩個相等的實數根
方程無實數根
四、一元二次方程根與系數的關系
若xl，x2是一元二次方程ax2
+bx+c=0(a≠0)的兩個根，則有
,
。
第二十二章
二次函數
一、二次函數及其圖象
1．二次函數的定義
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數a≠0）的函數，叫做二次函數，其中x是自變量，a、b、c分別是函數表達式的二次項系數，-一項系數和常數項。
2．二次函數y=ax2（a≠0）的圖象與性質
函數
y=ax2（a＞0）
y=ax2（a＜0）
圖象
開口方向
向上
向下
頂點坐標
（0，0）
（0，0）
對稱軸
y軸（直線x=0）
y軸（直線x=0）
增減性
x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減小
x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，y隨x的增大而增大
最值
當x=0時，y最小值=0
當x=0時，y最大值=0
3.
二次函數y=a（x-h）2（a≠0）的圖象與性質
函數
y=a(x-h)2
(a>0)
y=a(x-h)2
(a<0)
圖象
頂點坐標
（h，0）
對稱軸
直線x=h
頂點位置
當h＞0時，頂點在y軸的右側；當h＜0時，頂點在y軸的左側。
增減性
在對稱軸的左側，隨的增大而減小；在對稱軸的右側，隨的增大而增大
在對稱軸的左側，隨的增大而增大；在對稱軸的右側，隨的增大而減小
開口方向
向上
向下
最值
當x=h時，y最小值=0
當x=h時，y最大值=0
4.
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質
函數
y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
圖象
開口方向
向上
向下
對稱軸
直線
直線
頂點坐標
增減性
當，隨的增大而減小；當，隨的增大而增大
當，隨的增大而增大；當，隨的增大而減小
最值
當時，y有最小值，y最小值
=
當時，y有大值，y最大值
=
5．二次函數解析式的求法——待定系數法
形式
內容
適用條件
一般式
y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），解析式的右邊是二次三項式的一般式
當已知拋物線上任意三點坐標時，通常設函數的解析式為一般式，然后列出關于a、b、c的三元一次方程組求解
頂點式
y=a(x-h)2+k
(a，h，k為常數，且a≠0)，由解析式的右邊可知，拋物線的頂點的坐標為（h，k）
當已知拋物線的頂點坐標或對稱軸或最大（小）值時，通常設函數的解析式為頂點式，然后代入另一點的坐標，解關于a的一元一次方程
交點式
y=a（x-x1）（x-x2）
（a，x1，x2為常數，且a≠0），其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標
當已知拋物線與x軸的兩交點坐標時，通常設函數的解析式為交點式
二、用函數觀點看一元二次方程
一元二次方程ax2
+bx+c=0(a≠0)與二次函數y=
ax2
+bx+c
(a≠0)的關系（以a＞0為例）
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
一元二次方程ax2
+bx+c=0(a＞0)
有兩個不等實根
有兩個相等實根
沒有實根
二次函數y=
ax2
+bx+c
(a＞0)的圖象
拋物線與x軸交點的個數
有兩個交點（x1，0），（x2，0）
只有一個交點（，0）
無交點
第二十三章旋轉
一、圖形的旋轉
1．旋轉及其相關概念
圖形
旋轉
相關概念
在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點O
轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉。
點O
叫做旋轉中心，
轉動的角叫做旋轉角。如果圖形上的點P經過旋轉變為P/，，那么這兩個點叫做這個旋轉點的對應點。
2．旋轉的性質
(1)
對應點到旋轉中心的距離相等
(2)
對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；
(3)
旋轉前后的圖形全等。
理解以下幾點：
(1)
圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。
(2)
對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。
(3)
圖形的大小和形狀都沒有發生改變，只改變了圖形的位置。
二、中心對稱
1.
概念：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。
2.
性質：
(1)
關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心所平分．
(2)
成中心對稱的兩個圖形是全等圖形．
3．確定對稱中心的方法
(1)
任意連接一對對稱點，取這條線段的中點，則該點為對稱中心．
(2)
任意連接兩對對稱點，這兩條線段的交點是對稱中心．
4．中心對稱圖形的概念
把一個圖形繞著某一個點旋轉1800，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。
中心對稱是兩個圖形，中心對稱圖形是一個．
5．關于原點對稱的點的坐標
(1)
規律：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為p/(-x，-y)．
(2)點P（x，y）在坐標系中的簡單對稱
①
P
(x，y)關于原點軸對稱P/（-x，y）
②
P
(x，y)關于x軸對稱p/（x，-y）
③
P
(x，y)關于
y軸對稱P/（-x，y）
④
P
(x，y)關于
y=x軸對稱P/（y，x）
⑤
P
(x，y)關于
y=-x軸對稱P/（-y，-x）
第二十四章
圓
一、圓
1．圓的定義
在平面內，線段OA
繞它固定的一個端點O
旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫作圓。固定的端點O
叫作圓心，線段OA
叫作半徑。以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
2．圓的有關概念
弦
連接圓上任意兩點的線段叫做弦，記作”弦AB””弦CD”等
直徑
經過圓心的弦叫作直徑.
記作”直徑AB””直徑CD”等
弧
圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
圓心角
頂點在圓心的角，叫做圓心角
圓周角
頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角
等圓
能夠重合的兩個圓叫做等圓
等弧
在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧
同心圓
圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓
二、圓的基本性質
1．圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，圓有無數條對稱軸，圓也是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。圓還具有旋轉不變性。
2.
垂徑定理
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB
是弦，且
CD⊥AB，
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
如上圖所示，直徑CD
與非直徑弦AB
相交于點M，
注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。
3．弧、圓心角、弦及弦心距關系定理
(1)弦心距：圓心到弦的距離．
(2)定理
①
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，
②
在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組相等，它們所對應的其余各組量也相等．
4．圓周角的性質
(1)
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
(2)
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
(3)
在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等．它們所對的弧一定相等。
5.
圓內接多邊形
定義：
如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。
性質：圓內接四邊形的對角互補，并且任意一個外角等于它的內對角。
三、與圓有關的位置關系
1.
點與圓的位置關系
設⊙O
的半徑是r，點P
到圓心O的距離為d
點和圓的位置關系
點p
在⊙O外
點p
在⊙O上
點p
在⊙O內
圖示
等價條件
d＞r
d=r
d＜r
2.
三角形的外接圓
(1)
經過不在同一條直線上的三個點可以作一個圓。
(2)
經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。
3.
直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系
圖示
圓心O到直線的距離d與關徑r的關系，
相
交
d
＜
r
相
切
d
=
r
相
離
d
＞
r
4.
圓的切線
(1)
切線的判定定理
經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
(2)
切線的性質定理
圓的切線垂直于過切點的半徑。
(3)
切線長及性質定理
①切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。
②切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
5.
三角形的內切圓
(1)
有關概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，也叫三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。
(2)
三角形內切圓的作法
①
確定圓心：三角形兩條角平分線的交點即為圓心。
②
確定半徑：交點到三角形任意一邊的距離即為內切圓的半徑。
6.
圓和圓的置關系（R，r分別為大、小圓半徑，d為圓心距）
關系
圖形
公共點個數
相離
外離
d＞R+r外離
無
內含
d＜R-r內含
d=0同心圓
相切
外切
d=R+r外切
1
內切
d=R-r內切
相
交
R-r＜d＜R+r相交
2
四、正多邊形和圓
1．圓內接正多邊形的有關概念
名稱
概念
圖形
中心
一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心
半徑
外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑
中心角
正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角
邊心距
中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距
2.
正多邊形的外接圓和圓的內切圓
把圓分成n（n
是大于2
的自然數）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形，這個圓就是這個正n邊形的外接圓。經過各分點作圓的切線，以相鄰兩切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形，圓是多邊形的內切圓。
五、弧長和扇形面積
1．弧長公式：在半徑是R的圓中，n°圓心角所對的弧長
2.
扇形面積公式：在半徑為R
的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積
，所以圓心角為n°的扇形的面積為。用弧長表示扇形的面積：，其中I表示扇形的弧長，R表示半徑。
3.
圓錐
(1)
軸、母線
圓錐的軸通過底面圓的圓心，并且垂直于底面；圓錐的母線長相等。
(2)
圓錐的側面展開圖及有關計算
圓錐的側面展開圖是一個扇形．設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑l,扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側面積為
，圓錐的全面積為
第二十五章
概率初步
一、隨機事件與概率
1．事件的分類
2．概率
(1)
定義：對于一個隨機事件A，把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記為P(A)．
(2)
事件與概率的關系圖
(3)
求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為P(A)=
。
(4)
取值范圍：0≤P(A)≤1．當A必然發生時，P(A)=1；當A不可能發生時，P(A)=0。
二、用列舉法求概率
1．用列舉法求概率的條件
(1)
一次試驗中，可能出現的結果只有有限個；
(2)
一次試驗中，各種結果發生的可能性相等。
2．具體方法
列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。
樹形圖法：當一次試驗要涉及3
個或更多的因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖。
三、用頻率估計概率
一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數P附近，那么這個常數P就叫做事件A的概率，記為P
(A)=P．
人教版九年級數學（上冊）通關寶典
第
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頁
共
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