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等差數(shù)列知識點
一、定義
數(shù)列若從第二項開始，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，則稱是等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為的公差，通常用表示.
即：若(，d為常數(shù))數(shù)列為等差數(shù)列.
等差中項
如果成等差數(shù)列，那么b叫做與c的等差中項，即.
（1）等差中項的性質(zhì)：若為的等差中項，則有即
（2）如果為等差數(shù)列，則，均為的等差中項
（3）如果為等差數(shù)列，則
注：①一般情況下，等式左右所參與項的個數(shù)可以是多個，但要求兩邊參與項的個數(shù)相等。
比如，則不一定成立
②
利用這個性質(zhì)可利用序數(shù)和與項數(shù)的特點求出某項。例如：，可得，即可得到，這種做法可稱為“多項合一”
【注】兩個數(shù)的等差中項就是兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，三個數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是.
三、通項公式
1、等差數(shù)列的通項公式
首相為，公差為的等差數(shù)列的通項公式為：（）
推導(dǎo)過程：
（1）歸納法：
根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，
∴，
，
，
……
當(dāng)n=1時，上式也成立
∴歸納得出等差數(shù)列的通項公式為：（）.
（2）疊加法：
根據(jù)等差數(shù)列定義，有：
，
，
，
…
把這個等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，
∴.
(3)迭代法：
∴.
2、等差數(shù)列通項公式的推廣
已知等差數(shù)列中，第項為，公差為，則：（從第m項開始為等差）
證明：∵，
∴
∴
由上可知，等差數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公差來表示，公式可以看成是時的特殊情況.
三、等差數(shù)列的性質(zhì)
等差數(shù)列中，公差為，則
（1）若，且,則，
特別地，①當(dāng)時，.
②若，則．
（2）下標成公差為的等差數(shù)列的項,,,…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為.
（3）若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，，（k,b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.
（4）若，則．
（5）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為；若四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為.
（6）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).
注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究.
四、等差數(shù)列的前項和公式
公式一：
【證明】：
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
公式變形：
（1）由可得：，作用：在求等差數(shù)列前項和時，不一定必須已知，只需已知序數(shù)和為的兩項即可；
（2）由通項公式代入可得公式二：
要點詮釋：
①倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一.
②上面兩個公式均為等差數(shù)列的求和公式，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素.只要已知這5個元素中的任意3個，通過解方程組便可求出其余2個，即知3求2.
五、等差數(shù)列的前n項和的有關(guān)性質(zhì)
（1）若為等差數(shù)列的前n項和，則數(shù)列也為等差數(shù)列.
（2）連續(xù)項的和依然成等差數(shù)列，即,,，…成等差數(shù)列，且公差為.
（3）若項數(shù)為2n，則，，，
（4）若項數(shù)為2n-1，則，，，，
（5）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則，.（會推導(dǎo)）
（6），此性質(zhì)對任何一種數(shù)列都適用.
（7）等差數(shù)列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N
，且m≠n，p≠q），則.
六、等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系
1、等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))
等差數(shù)列中，，令,則：（,是常數(shù)且為公差）
（1）當(dāng)時，為常數(shù)函數(shù)，為常數(shù)列；圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點.
（2）當(dāng)時，是的一次函數(shù)；圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點.
①當(dāng)時，一次函數(shù)單調(diào)增，為遞增數(shù)列；
②當(dāng)＜0時，一次函數(shù)單調(diào)減，為遞減數(shù)列.
（3）（d,b是常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件.
2、等差數(shù)列的前項和公式是關(guān)于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）
由，令，，則：（,為常數(shù)）
（1）當(dāng)即時，，是關(guān)于的一個一次函數(shù)；它的圖象是在直線上的一群孤立的點.
（2）當(dāng)即時，是關(guān)于的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線上的一群孤立的點.
（3）(其中A,B為常數(shù))是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件.
（4）若數(shù)列的前n項和，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列不是等差數(shù)列．21教
七：等差數(shù)列前n項和的最值問題
1．二次函數(shù)法：為等差數(shù)列（是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)），的最值可求二次函數(shù)的最值：求出對稱軸，再求出距離對稱軸最近的正整數(shù)k，當(dāng)
時，為最值，是最大或最小，通過的開口來判斷．但應(yīng)注意，最接近k的正整數(shù)有1個或2個．
注意：自變量n為正整數(shù)這一隱含條件.
2．通項公式法：求使()成立時最大的n值即可．
一般地，等差數(shù)列中，若，且，則
①若為偶數(shù)，則當(dāng)時，最大；
②若為奇數(shù)，則當(dāng)或時，最大．
不等式法：求出中的正、負分界項，即：當(dāng)，解不等式組可得達到最大值時的n值；當(dāng)，由可得達到最小值時的n值.
八、等差數(shù)列的判定與證明
定義法：或是等差數(shù)列；
等差中項法：為等差數(shù)列；或；
通項公式法：通項公式形如為常數(shù)為等差數(shù)列；
即：通項公式為n的一次函數(shù)，公差，首項.（可用于選擇填空快速判斷）
前n項和公式法：為常數(shù)為等差數(shù)列．
即：關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)（可用于選擇填空快速判斷）
【注意】：（1）若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項，使得即可；
如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法．
九、遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列的常見題型
（1）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；
（2）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則（c可以為0）是等差數(shù)列；
（3）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；
（4）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則是等差數(shù)列；
（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則（c可以為0）是等差數(shù)列．
十、應(yīng)用問題
利率單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：（等差數(shù)列問題）.
十一、典型例題：
例1：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則_________
思路：由可得：，即。而，所以不是各項為0的常數(shù)列，考慮，所以
【注】關(guān)于等差數(shù)列前項和還有這樣兩個結(jié)論：
（1）若，則（本題也可用此結(jié)論：，從而利用奇數(shù)項和與中間項的關(guān)系可得）
（2）若，則有
例2：已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則_______
解：為等差數(shù)列，也為等差數(shù)列，
例3：設(shè)為等差數(shù)列的前項和，，則________
思路一：解：
思路二：已知，從而聯(lián)想到可用表示，即，所以等式變?yōu)椋海钥傻谩?br/>例4：在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則的值等于_______
思路：由觀察到的特點，所以考慮數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列前
項和特征可得，從而可判定為等差數(shù)列，且可得公差，所以，所以，即
例5：已知為等差數(shù)列，且前項和分別為，若，則_____
思路：，所求可發(fā)現(xiàn)分子分母的項序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前項和的比值。考慮利用中間項與前項和的關(guān)系，有：
，將項的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入即可求值：
【注】等差數(shù)列中的項與以該項為中間項的前項和可搭建橋梁：，這個橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項之間的相互轉(zhuǎn)化。
例6：已知等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前項和等于_______
思路：求前30項和，聯(lián)想到公式，則只需。由條件可得：，所以，所以
例7：已知等差數(shù)列中，，則的值為___________
思路：條件為相鄰4項和，從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：，可得：
，解得，
考慮，
所以
例8：等差數(shù)列有兩項，滿足，則該數(shù)列前項之和為_________
解：，
,
例9：在等差數(shù)列中，，若其前項和為，且，那么當(dāng)取最大值時，的值為______.
思路一：考慮從的項出發(fā)，由可得，可得，因為，所以，從而最大
思路二：也可從的圖像出發(fā)，由可得圖像中是對稱軸，再由與可判斷數(shù)列的公差，所以為開口向下的拋物線，所以在處取得最大值
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