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高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料
（文）
第一章 集合
一 定義
集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說明。某些確定的且不同的對(duì)象集在一起就成為集合。組成集合的對(duì)象叫做元素。
二 集合的抽象表示形式
用大寫字母A，B，C……表示集合；用小寫字母a，b，c……表示元素。
三 元素與集合的關(guān)系
有屬于，不屬于關(guān)系兩種。元素a屬于集合A，記作；元素a不屬于集合A，記作。
四 幾種集合的命名
有限集：含有有限個(gè)元素的集合；
無限集：含有無限個(gè)元素的集合；
空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；
自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；
有理數(shù)集：Q；實(shí)數(shù)集：R。
五 集合的表示方法
(一) 列舉法：把元素一一列舉在大括號(hào)內(nèi)的表示方法，
例如：{a,b,c}。
注意：凡是以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。
(二) 描述法：有以下兩種描述方式
1．代號(hào)描述：【例】方程的所有解組成的集合，可表示為{x|x2-3x+2=0}。x是集合中元素的代號(hào)，豎線也可以寫成冒號(hào)或者分號(hào)，豎線后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。
2．文字描述：將說明元素性質(zhì)的一句話寫在大括號(hào)內(nèi)。【例】{大于2小于5的整數(shù)}；描述法表示的集合一旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就說要判斷元素到底是什么。
(三) 韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個(gè)集合之間的所有關(guān)系。
1．子集：如果屬于A的所有元素都屬于B，那么A就叫做B的子集，記作：，如圖1-1所示。 圖1-1
子集有兩種極限情況：(1)當(dāng)A成為空集時(shí)，A仍為B的子集；
(2)當(dāng)A和B相等時(shí)，A仍為B的子集。
真子集：如果所有屬于A的元素都屬于B，而且Ｂ中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么A叫做B的真子集，記作或。
真子集也是子集，和子集的區(qū)別之處在于。對(duì)于同一個(gè)集合，其真子集的個(gè)數(shù)比子集少一個(gè)。
(1)求子集或真子集的個(gè)數(shù)，由n各元素組成的集合，
有2n個(gè)子集，有2n -1個(gè)真子集；
(2)空集的考查：凡是提到一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，作為子集的集合首先可以是空集，的等價(jià)形式主要有：。
2．交集：由兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個(gè)集合的交集，記作，讀作A交B，如圖1-2所示。
圖1-2 圖1-3 圖1-4
3．并集：由兩個(gè)集合所有元素組成的集合，叫做這兩個(gè)集合的并集，記作，讀作A并B，如圖1-3所示。
4．補(bǔ)集：由所有不屬于Ａ的元素組成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的補(bǔ)集，記作，讀作A補(bǔ)，如圖1-4所示。
德摩根公式 ：
.
(四) 區(qū)間表示法：數(shù)軸上的一段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開區(qū)間和閉區(qū)間，開區(qū)間用小括號(hào)表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號(hào)表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．
第二章 函數(shù)
一 映射與函數(shù)的基本概念
(一) 映 射
A集合中的每個(gè)元素按照某種對(duì)應(yīng)法則在B集合中都能找到唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相應(yīng)元素叫做象。
在A到B的映射中，從A中元素到B中元素的對(duì)應(yīng)，可以多對(duì)一，不可以一對(duì)多。
圖2-1是映射 圖2-2是一一映射 圖2-3不是映射
(Ⅰ)求映射(或一一映射)的個(gè)數(shù)，m個(gè)元素的集合到n個(gè)元素的集合的映射的個(gè)數(shù)是nm。
(Ⅱ)判斷是映射或不是映射：可以多對(duì)一，不可以一對(duì)多。
(二) 函數(shù)的概念
定義域到值域的映射叫做函數(shù)。如圖2-4。高中階段，函數(shù)用f(x)來表示：即x按照對(duì)應(yīng)法則f對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f(x)．函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。偶爾也用表格表示函數(shù)。
函數(shù)三要素：定義域A：x取值范圍組成的集合。值域B：y取值范圍組成的集合。對(duì)應(yīng)法則f：y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系。有解析式和圖像和映射三種表示形式
函數(shù)與普通映射的區(qū)別在于：
(1)兩個(gè)集合必須是數(shù)集；
(2)不能有剩余的象，即每個(gè)函數(shù)值y都能找到相應(yīng)的自變量x與其對(duì)應(yīng)。
圖2-4
二 定義域題型
(一) 具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考查有兩種形式
直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 與中且，列不等式求解。
(二)抽象函數(shù)：只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同。
三 值域題型
(一) 常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段。
常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)號(hào)函數(shù)。
(二) 非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域。
解題步驟：(1)換元變形；
(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；
(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。
(三) 分式函數(shù)求值域 ：四種題型
(1) ：則且。
(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍。
(3)：
，
則且。
(4)求的值域，當(dāng)時(shí)，用判別式法
求值域。，
值域
(四) 不可變形的雜函數(shù)求值域： 利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢(shì)圖像，定區(qū)間，截段。
判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識(shí)講解。
(五) 原函數(shù)反函數(shù)對(duì)應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域。
(六) 已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?br/>四 函數(shù)運(yùn)算法則
（一） 指數(shù)運(yùn)算法則
① ②
③ ④
運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，一般從右往左變形。
（二） 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則
同底公式：①
②
③
④
運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，同底的情況，一般從右往左變形。
不同底公式：①
②
③
運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，不同底的情況，先變成同底。
五 函數(shù)解析式
(一) 換元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，
(設(shè)2x + 3=3-7t)。
(二) 構(gòu)造法：如，求f(x)。
(三) 待定系數(shù)法：通過圖像求出y=Asin(ωx +) + C中系數(shù)
(四) 遞推：需利用奇偶性、對(duì)稱性、周期性的定義式或運(yùn)算式遞推。
(五) 求原函數(shù)的反函數(shù)：先反表示，再x、y互換。
六 常規(guī)函數(shù)的圖像
常規(guī)函數(shù)圖像主要有：
指數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 對(duì)數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
底數(shù)越來越大 底數(shù)越來越小
冪函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來越大。其他象限圖象看函數(shù)奇偶性確定。
七 函數(shù)的單調(diào)性
(一) 定義：在給定區(qū)間范圍內(nèi)，如果x越大y越大，那么原函數(shù)為增函數(shù)；如果x越大y越小，那么原函數(shù)為減函數(shù)。
(二) 單調(diào)性題型：
1.求單調(diào)性區(qū)間：先找到最基本函數(shù)單元的單調(diào)區(qū)間，用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，從而確定單調(diào)區(qū)間。
復(fù)合函數(shù)法： ：
當(dāng)0 < x <1時(shí)，x↑，x2↑，- x2↓，↓，↑，↓
2.判斷單調(diào)性
(1).求導(dǎo)函數(shù)：為增函數(shù)，為減函數(shù)
(2).利用定義：設(shè)x1(3).原反函數(shù)：具有相同的單調(diào)性，一個(gè)函數(shù)具有反函數(shù)的前提條件是它具有嚴(yán)格的單調(diào)性。
3.利用函數(shù)單調(diào)性：
(1).求值域：利用單調(diào)性畫出圖像趨勢(shì)，定區(qū)間，截?cái)唷?br/>(2).比較函數(shù)值的大小：畫圖看
(3).解不等式：利用以下基本結(jié)論列不等式，解不等式。
增函數(shù)或
減函數(shù)或
(4).求系數(shù)：利用常規(guī)函數(shù)單調(diào)性結(jié)論，根據(jù)單調(diào)性求系數(shù)。
八 函數(shù)的奇偶性
(一)定義：如果,則為偶函數(shù)；如果,則 為奇函數(shù)。這兩個(gè)式子有意義的前提條件是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
(二)奇偶性題型：
1.判斷奇偶性 ：
(1).先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再比較f(x)與f(-x)正負(fù)
(2).看圖像對(duì)稱性：關(guān)于y軸對(duì)稱為偶，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為奇
(3).原、反函數(shù)：奇函數(shù)的反函數(shù)是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)。
2.利用奇偶性：
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，計(jì)算或求解析式
(2).利用復(fù)合函數(shù)奇偶性結(jié)論：
F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇
F(x)=f(x)+g(x)，當(dāng)f(x)為奇，g(x)為偶時(shí)，代入-x得：
F(-x)=-f(x)+g(x),兩式相加可以消去f(x),兩式相減可以消去g(x),從而解決問題。
3.奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性
偶函數(shù)：關(guān)于y軸對(duì)稱若 ，
則f(x)關(guān)于對(duì)稱
奇函數(shù)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若，
則f(x)關(guān)于點(diǎn)(，m) 對(duì)稱
九 函數(shù)的周期性
(一) 定義：
若，則為周期函數(shù)，為周期
(二) 周期性考點(diǎn)：
1.求周期：
(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =
(2).把所給函數(shù)化為y=Asin(ωx +ф) + C標(biāo)準(zhǔn)形式，直接讀出周期
2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)
(1).求解析式
(2).求函數(shù)值
十 函數(shù)圖像的對(duì)稱性
(一) 一個(gè)圖關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：
(Ⅰ)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m，則f(x)關(guān)于(，m)對(duì)稱
(二) 一個(gè)圖關(guān)于直線對(duì)稱：
(Ⅰ)偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱
(Ⅱ) ，則關(guān)于對(duì)稱
(三) 兩個(gè)圖關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
(Ⅰ)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)：x→-x，y→-y，
即-y=f(-x)
(Ⅱ)關(guān)于對(duì)稱的函數(shù)：
即
(四) 兩個(gè)圖關(guān)于線對(duì)稱
(Ⅰ)原函數(shù)與反函數(shù)：關(guān)于y=x對(duì)稱
(Ⅱ)y= f(x)關(guān)于y=x + c對(duì)稱的函數(shù):x→y-c，y→x+c，
即x+c= f(y-c)
(Ⅲ)y= f(x)關(guān)于y=-x+c對(duì)稱的函數(shù): x→-y+c,y→-x+c，
即-x+c= f(-y+c)
(Ⅳ)f(x)與f(-x)關(guān)于y軸對(duì)f(a+x)與f(b-x)關(guān)于
對(duì)稱
(Ⅴ)f(x)與-f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱
十一 原函數(shù)與反函數(shù)
反函數(shù)反映了兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系有兩方面考點(diǎn)：求反函數(shù)，利用原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)系解題。
（一） 求反函數(shù)：先反表示，再互換；或先互換再反表示。一個(gè)函數(shù)有反函數(shù)的前提條件是在整個(gè)定義域內(nèi)具有嚴(yán)格的單調(diào)性。
（二） 利用原函數(shù)反函數(shù)的關(guān)系解題：已知原函數(shù)或反函數(shù)情況求反函數(shù)或原函數(shù)情況時(shí)，往往不用求反函數(shù)可依據(jù)以下結(jié)論解題。
1．定義域、值域：
原函數(shù)自變量等價(jià)于反函數(shù)函數(shù)值，
原函數(shù)函數(shù)值等價(jià)于反函數(shù)自變量；
原函數(shù)定義域等價(jià)于反函數(shù)值域，
原函數(shù)值域等價(jià)于反函數(shù)定義域。
2．單調(diào)性：原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性
3．奇偶性：奇函數(shù)反函數(shù)是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)。
4．對(duì)稱性：原函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，原函數(shù)與反函數(shù)交點(diǎn)一定在上。
第三章 數(shù)列
第一部分 等差數(shù)列
一 定義式：
二 通項(xiàng)公式：
一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的等價(jià)條件：(a，b為常數(shù))，即是關(guān)于n的一次函數(shù)，因?yàn)椋躁P(guān)于n的圖像是一次函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。
三 前n項(xiàng)和公式：
………… ①
………… ②
…… ③
按照序號(hào)順序，使用公式。即首選①公式解題，再選②、③
一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的另一個(gè)充要條件：(a，b為常數(shù)，a≠0)，即是關(guān)于n的二次函數(shù)，因?yàn)椋躁P(guān)于n的圖像是二次函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。
四 性質(zhì)結(jié)論
(一)3或4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列求數(shù)值時(shí)應(yīng)按對(duì)稱性原則設(shè)置，
如：3個(gè)數(shù)a-d,a,a+d； 4個(gè)數(shù)a-3d,a-d,a+d,a+3d
(二)與的等差中項(xiàng)；
在等差數(shù)列中，若，則
；若，則；
(三)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則
；
若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，
(四)凡按一定規(guī)律和次序選出的一組一組的和仍然成等差數(shù)列。設(shè)，，
，則有；
(五),,則前(m+n為偶數(shù))或(m+n為奇數(shù))最大
第二部分 等比數(shù)列
一 定義：成等比數(shù)列。
二 通項(xiàng)公式：，
數(shù)列{an}是等比數(shù)列的一個(gè)等價(jià)條件是：
當(dāng)且時(shí)，關(guān)于n的圖像是指數(shù)函數(shù)圖像的分點(diǎn)表示形式。
三 前n項(xiàng)和：；
(注意對(duì)公比的討論)
四 性質(zhì)結(jié)論：
(一)與的等比中項(xiàng)(同號(hào))；
(二)在等比數(shù)列中，若，則；
若，則；
(三)設(shè)，，
， 則有
第三部分 求雜數(shù)列通項(xiàng)公式
一 構(gòu)造等比數(shù)列：凡是出現(xiàn)關(guān)于后項(xiàng)和前項(xiàng)的一次遞推式都可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式。
第一類：
是公比為的等比數(shù)列，從而求出。
第二類：
是公比為3的等比數(shù)列.
第三類：，系數(shù)之比為1的時(shí)候用疊加法。
第四類：既有又有利用，將所有S換成a，或者將所有a換成S。
第五類：關(guān)于與的二次式，或者與的二次式，先因式分解成一次式，再構(gòu)造等比數(shù)列。
二 構(gòu)造等差數(shù)列：遞推式不能構(gòu)造等比時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列。
第一類：凡是出現(xiàn)分式遞推式都可以構(gòu)造等差數(shù)列來求通項(xiàng)公式，
例如：，
兩邊取倒數(shù)是公差為2的等差數(shù)列，從而求出。
第二類：
是公差為1的等差數(shù)列
三 遞推：即按照后項(xiàng)和前項(xiàng)的對(duì)應(yīng)規(guī)律，再往前項(xiàng)推寫對(duì)應(yīng)式。
例如
【注: 】
求通項(xiàng)公式的題，不能夠利用構(gòu)造等比或者構(gòu)造等差求的時(shí)候，一般通過遞推來求。
第四部分 求前n項(xiàng)和
一 裂項(xiàng)分組法：
、
二 錯(cuò)位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)用此方法，
求：
①
②
①減②得：
從而求出。
錯(cuò)位相減法的步驟：
(1)將要求和的雜數(shù)列前后各寫出三項(xiàng)，列出①式
(2)將①式左右兩邊都乘以公比q，得到②式
(3)用①②，錯(cuò)位相減
(4)化簡(jiǎn)計(jì)算
三 倒序相加法：前兩種方法不行時(shí)考慮倒序相加法
1：等差數(shù)列求和：
兩式相加可得：
2：設(shè).利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得
的值為_________.
①
②
①+②得
,
∴
第四章 三角函數(shù)
一 任意角的概念與弧度制
（一）角的概念的推廣
1、角概念的推廣：
在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)相反的方向，旋轉(zhuǎn)多少度角就是多少度角。按不同方向旋轉(zhuǎn)的角可分為正角和負(fù)角，其中逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角叫做正角，順時(shí)針方向的叫做負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們把它叫做零角。習(xí)慣上將平面直角坐標(biāo)系x軸正半軸作為角的起始邊，叫做角的始邊。射線旋轉(zhuǎn)停止時(shí)對(duì)應(yīng)的邊叫角的終邊。
2、特殊命名的角的定義：
(1)正角，負(fù)角，零角 ：見上文。
(2)象限角：角的終邊落在象限內(nèi)的角,根據(jù)角終邊所在的象限把象限角分為：第一象限角、第二象限角等
(3)軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上的角
終邊在x軸上的角的集合：
終邊在y軸上的角的集合：
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：
(4)終邊相同的角：與終邊相同的角
(5)與終邊反向的角：
終邊在y=x軸上的角的集合：
終邊在軸上的角的集合：
(6)若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：
(7)成特殊關(guān)系的兩角
若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：
若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：
若角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：
注：(1)角的集合表示形式不唯一.
(2)終邊相同的角不一定相等,相等的角終邊一定相同.
3、本節(jié)主要題型：
1.表示終邊位于指定區(qū)間的角.
1:寫出在到之間與的終邊相同的角.
2:若是第二象限的角,則是第幾象限的角 寫出它們的一般表達(dá)形式.
3:①寫出終邊在軸上的集合.
②寫出終邊和函數(shù)的圖像重合,試寫出角 的集合.
③在第二象限角,試確定所在的象限.
④角終邊與角終邊相同,求在內(nèi)與終邊相同的角.
（二）弧度制
1、弧度制的定義：
2、角度與弧度的換算公式：
360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.
一個(gè)式子中不能角度,弧度混用.
3、題型
（1）角度與弧度的互化
例:
（2），的應(yīng)用問題
1:已知扇形周長(zhǎng),面積,求中心角.
2:已知扇形弧度數(shù)為,半徑等于,求扇形的面積.
3:已知扇形周長(zhǎng),半徑和圓心角取多大時(shí),面積最大.
4:
a.求出弧度,象限.
b.用角度表示出,并在之間找出，他們有相同終邊的所有角.
二 任意角三角函數(shù)
（一）三角函數(shù)的定義
1、任意角的三角函數(shù)定義
2、三角函數(shù)的定義域：
三角函數(shù) 定義域
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
cscx
（二）單位圓與三角函數(shù)線
1、單位圓的三角函數(shù)線定義
如圖(1)PM表示角的正弦值，叫做正弦線。OM表示角的余弦值，叫做余弦線。
如圖(2)AT表示角的正切值，叫做正切線。表示角的余切值，叫做余切線。
注：線段長(zhǎng)度表示三角函數(shù)值大小，線段方向表示三角函數(shù)值正負(fù)
（三）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
同角三角函數(shù)關(guān)系式
(1)，，
(2)商數(shù)關(guān)系：
(3)平方關(guān)系：，，
（四）誘導(dǎo)公式
EMBED Equation.3
三 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
（一）基本圖像：
1．正弦函數(shù)
2．余弦函數(shù)
3．正切函數(shù)
4.余切函數(shù)
（二）、函數(shù)圖像的性質(zhì)
正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：
定義域 R R
值域 R R
周期
奇偶 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào) 上為增函數(shù) 上為減函數(shù)() 上為增函數(shù)上為減函數(shù)() 上為增函數(shù)() 上為減函數(shù)()
對(duì)稱 對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為， 對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為 無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為 無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為
（三）、常見結(jié)論：
1.與的周期是.
2.或()的周期.
3.的周期為2.
4.的對(duì)稱軸方程是()，對(duì)稱中心()；
的對(duì)稱軸方程是()，對(duì)稱中心()；
的對(duì)稱中心().
5.當(dāng)·；
·
6.函數(shù)在上為增函數(shù).(×) [只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增. 若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的.
7.奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.(的定義域，則無此性質(zhì))
8. 不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)()；
是周期函數(shù)(如圖)；為周期函數(shù)()；
的周期為(如圖)，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：
四 和角公式
兩角和與差的公式
五 倍角公式和半角公式
（一）倍角與半角公式：
（二）萬能公式：
六 三角函數(shù)的積化和差與和差化積
公式
, ,
,
第五章 平面向量
一 向量的概念
向量的常識(shí)性概念
1．向量：既有大小又有方向的量
2．向量的表示：圖形表示，箭頭的方向表示向量的方向，線段的長(zhǎng)短表示向量的大小；字母表示，向量可以寫成,(手寫版)或 (印刷版)
3．零向量：大小為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
4．向量共線或平行：兩個(gè)向量方向相同或相反時(shí)，都可以稱作兩個(gè)向量共線或平行。與平行或共線的等價(jià)條件是：
圖9-1
二 向量的加減法運(yùn)算
（一）幾何運(yùn)算：五大運(yùn)算工具，凡是加減法幾何運(yùn)算，先從加法角度來理解，再利用加法交換律算減法
1.平行四邊形法則(如圖9-1)：兩個(gè)向量的和等于以
這兩個(gè)向量的臨邊的平行四邊形的對(duì)角線表示的向量 圖9-1
2.三角形法則(如圖9-2)： 首位相連的兩個(gè)向量之和
等于另一個(gè)向量(與前兩個(gè)不首尾相連) ， 圖9-2
3.多邊形法則(如圖9-3)：首尾相連的若干個(gè)向量之和等于另一個(gè)向量
4.中線法則(如圖9-4)：三角形底邊中線所表示的向量等于兩臨邊向量之和的一半。在向量圖形中提到中點(diǎn)，一定用中線 圖9-3
法則解題。 圖中 D 為 BC 中點(diǎn)。
圖9-4
(五)終邊在一條直線上的多向量運(yùn)算(如圖9-5)：起始點(diǎn)相同，終點(diǎn)落在同一條直線上的三個(gè)向量，其中任何一個(gè)可以用其他兩個(gè)乘以系數(shù)加和表示。兩個(gè)系數(shù)之和一定為1。凡在同一個(gè)圖中出現(xiàn)以下形式的三個(gè)向量，
一定用此結(jié)論解題。證明過程如下：
圖9-5
結(jié)論：
（二）坐標(biāo)運(yùn)算：基本運(yùn)算法則
已知， ，
，表示與大小相等方向相反的向量，叫的相反向量。
三 向量的乘法運(yùn)算
（一）坐標(biāo)運(yùn)算：
已知
注：向量的加減法結(jié)果得到的是向量，向量的乘法得到是數(shù)。
（二）向量的公式運(yùn)算：
1．乘法公式： 是與的夾角，
2．混合運(yùn)算公式：
(1)
(2)
(3) 即多個(gè)向量相乘除不能改變運(yùn)算順序。
四 向量運(yùn)算的應(yīng)用
（一）求向量的模：根據(jù)向量的乘法公式=
（二）求向量的夾角：根據(jù)向量的乘法公式，凡是提到向量夾角，一律列向量乘法公式解題。
（三）投影問題(如圖9-6 )：在上的投影就是，只有乘法運(yùn)算中才能出現(xiàn)這種形式，凡是提到一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，一定要列這兩個(gè)向量的
乘法公式解決問題。
圖9-6
（四）向量垂直：
（五）向量平行：
第六章 不等式
一 不等式的證明
證明不等式選擇方法的程序：
①做差：證明不等式首選不等式，做差的本質(zhì)是因式分解，能否使用做差法取決于做差后能否因式分解；
②作比：通過構(gòu)造同底或同指數(shù)合并作比結(jié)果，再利用指對(duì)數(shù)圖像判斷大于小于1；
③用公式：構(gòu)造公式形式；等價(jià)變形：左右兩邊n次方；
平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均(a、b為正數(shù))：
(當(dāng)a = b時(shí)取等)
，，
④等價(jià)變形：不能直接做差、做比、用公式的先等價(jià)變形在做差、做比、用公式證明，后面的方法都是特殊的等價(jià)變形方法；
⑤逆代：把數(shù)換成字母；
⑥換元：均值換元或三角換元；
⑦放縮：放大或縮小成一個(gè)恰好可以化簡(jiǎn)的形式；
⑧反證：條件比較復(fù)雜，結(jié)論比較簡(jiǎn)潔時(shí)，把結(jié)論的相反情況當(dāng)成條件反證；
⑨函數(shù)求值域：共有四種方法：見函數(shù)值域部分；
⑩幾何意義：斜率，截距，距離；數(shù)學(xué)歸納法:適合數(shù)列不等式。
二 不等式的解法
(一)有理不等式
1．一次不等式：
解一次不等式主要考察討論系數(shù)大于零小于零等于零的三種情況。
2．二次不等式：
兩根之內(nèi)或兩根之外，主要考查根與系數(shù)的關(guān)系。
3．高次不等式：序軸標(biāo)根法
(二)絕對(duì)值不等式、無理不等式、分式不等式
先變形成有理不等式，再求解。
絕對(duì)值不等式：
當(dāng)a> 0時(shí)，有
.
或.
無理不等式：
(1) .
(2).
(3)
(三)指數(shù)不等式 對(duì)數(shù)不等式
不等號(hào)兩邊同時(shí)取指數(shù)或同時(shí)取對(duì)數(shù)，變成相同的形式后，再換元成有理不等式求解。
(1)當(dāng)時(shí),
;
.
(2)當(dāng)時(shí),
;
三 線性規(guī)劃
線性規(guī)劃，出題現(xiàn)象如下：
設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ )
A.4 B.11 C.12 D.14
解題步驟：
（1）把不等式組中的一次式看成直線，在平面直角坐標(biāo)系中畫直線，
標(biāo)明直線序號(hào)
（2）依據(jù)以下結(jié)論確定平面區(qū)域：
是點(diǎn)在直線上方（包括直線）
是點(diǎn)在直線下方（包括直線）；
是點(diǎn)在直線上方（不包括直線）
是點(diǎn)在直線下方（不包括直線）
（3）確定目標(biāo)函數(shù)函數(shù)值的幾何意義
（4）若目標(biāo)函數(shù)值z(mì)表示截距，在已知區(qū)域內(nèi)平移目標(biāo)函數(shù)直線，找出使截距取最大值和最小值的端點(diǎn)，求出端點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得出z的最值。若目標(biāo)函數(shù)z表示距離或者距離的平方，精確作圖，在圖像中直接觀察距離的最大值與最小值相當(dāng)于是點(diǎn)與點(diǎn)的距離還是點(diǎn)與直線的距離，用距離公式直接求最值。若目標(biāo)函數(shù)z表示斜率，精確畫圖，利用求斜率取值范圍結(jié)論，求最值。
第七章 直線和圓的方程
一、直線方程.
1）. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.
注：①當(dāng)或時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率不存在.
②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.
2）. 直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.
特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(diǎn)，即直線在軸，軸上的截距分別為時(shí)，直線方程是：.
注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.
附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)為定植，變化時(shí)，它們表示過定點(diǎn)（0，）的直線束.②當(dāng)為定值，變化時(shí)，它們表示一組平行直線.
3）. ⑴兩條直線平行：
∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)“前提”都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.
（一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線，它們?cè)谳S上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）
推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥.
⑵兩條直線垂直：
兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要條件）
4）. 直線的交角：
⑴直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是，當(dāng)時(shí).
⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則有.
5). 過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)）
6）. 點(diǎn)到直線的距離：
⑴點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)，直線到的距離為，則有.
注：
兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.
特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：
定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則
特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。
直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:
過兩點(diǎn).
當(dāng)（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角＝，沒有斜率
⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.
注；直線系方程
1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m R, C≠m).
2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m R)
3. 過定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全為0)
4. 過直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ R） 注：該直線系不含l2.
7). 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱：
⑴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.
⑵關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.
若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.
⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程①），過兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱點(diǎn).
注：①曲線、直線關(guān)于一直線（）對(duì)稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x–2對(duì)稱曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圓的方程.
1. ⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的 與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：
①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.
②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).
那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.
⑵曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)是方程的解；反過來，滿足方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).
注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0
2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.
注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程
②與軸相切的圓方程
③與軸軸都相切的圓方程
3. 圓的一般方程： .
當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.
當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，方程無圖形（稱虛圓）.
注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.
②方程表示圓的充要條件是：且且.
③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.
4. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.
①在圓內(nèi)
②在圓上
③在圓外
5. 直線和圓的位置關(guān)系：
設(shè)圓圓：； 直線：；
圓心到直線的距離.
①時(shí)，與相切；
附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.
②時(shí)，與相交；
附：公共弦方程：設(shè)
有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為.
③時(shí)，與相離.
附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程.
由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：
與相切；
與相交；
與相離.
注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.
6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓
上一點(diǎn)的切線方程為：.
①一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為.
②若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.
7. 求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程. 如圖：ABCD四類共圓. 已知的方程…① 又以ABCD為圓為方程為…②
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.
三、曲線和方程
1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
1） 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。
2.求曲線方程的方法：.
1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn); 2）參數(shù)法; 3）定義法， 4）待定系數(shù)法.
第八章 圓錐曲線
一 橢圓方程
（一） 橢圓的定義：
方程為橢圓；
無軌跡；
以為端點(diǎn)的線段。
（二） 橢圓的方程:
①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：.
ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.
②一般方程：.
③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為
（三）橢圓的幾何性質(zhì)：
①頂點(diǎn)：A,B,C和D.
②軸：對(duì)稱軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)=.
③焦點(diǎn)：,
④焦距：，.
⑤離心率：.
二 雙曲線方程
（一）雙曲線的定義：
（二）雙曲線的方程
①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：
i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：.
ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：
②一般方程：.
③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為
（三）雙曲線的幾何性質(zhì)
①i. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：；焦點(diǎn)：；
漸近線方程：或
ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：；焦點(diǎn)：；
漸近線方程：或，
②軸：為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a, 虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.
③離心率.
④ 參數(shù)關(guān)系.
（四）常見的特殊雙曲線：
①等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.
②共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.
③共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.
例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？
解：令雙曲線的方程為：，代入得.
（五）直線與雙曲線的位置關(guān)系：如下圖.
區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；
區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；
區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；
區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；
區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.
三 拋物線方程
設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：
圖形
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
范圍
對(duì)稱軸 軸 軸
頂點(diǎn) (0，0)
離心率
焦半徑
注：①頂點(diǎn).
②則焦點(diǎn)半徑
;則焦點(diǎn)半徑為.
③通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.
④(或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)).
第九章. 立體幾何
一、 平面.
1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.
注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).
2. 兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.
（①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交）
3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.
（①三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行）
[注]：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個(gè).
4. 三個(gè)平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個(gè)方向）
空間直線.
1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線—共面沒有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)
[注]：①可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等
②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交
③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).
④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).
⑤射影不一定只有直線，也可以是其他圖形
⑥并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段
⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.
2. 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）
3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.
（二面角的取值范圍）
（直線與直線所成角）
（斜線與平面成角）
（直線與平面所成角）
（向量與向量所成角
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
5. 兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）
直線與平面平行、直線與平面垂直.
1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).
2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）
[注]：①直線與平面外一條直線平行，則∥.
②直線與平面外一條直線相交，則與平面相交.
③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行.
④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面或在平面上
⑤平行于同一直線的兩個(gè)平面平行或相交
⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線相交或異面或平行
⑦直線與平面、所成角相等，則∥或與相交
3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）
4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.
若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），
得不出⊥. 因?yàn)椤停淮怪監(jiān)A.
三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.
推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.
[注]：①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行
②垂一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面
③垂直于同一平面的兩條直線平行
5. ⑴垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn).
⑵射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上
平面平行與平面垂直.
1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.
[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.
3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）
4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.
兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）
注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，
則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.
兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么
在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.
推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三
平面，則它們交線垂直于第三平面.
證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直
于，
因?yàn)?br/>則.
6. 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：
（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）
7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）
⑵最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）
簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.
棱錐、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長(zhǎng)，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.
②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.
⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.
{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.
⑶棱柱具有的性質(zhì)：
①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.
②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.
③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.
注：①直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖
②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.
⑷平行六面體：
定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.
[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).
定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.
推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.
推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.
[注]：①斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形
②應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行
③只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形
④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）
2. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.
[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.
②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.
⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.
[注]：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.
②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為）
③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）
附： 以知⊥，，為二面角.
則①，②，③ ①②③得.
注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.
⑵棱錐具有的性質(zhì)：
①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.
②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.
⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：
①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.
⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.
⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；
⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.
[注]：i.各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等
ii. 若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.
簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
則.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.
簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則為正方形.
3. 球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.
①球的表面積公式：.
②球的體積公式：.
⑵緯度、經(jīng)度：
①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).
②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
③錐形體積：（為底面積，為高）
4. ①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，，
得.
注：球內(nèi)切于四面體：
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.
六. 空間向量.
1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：①若與共線，與共線，則與共線.（×） [當(dāng)時(shí)，不成立]
②向量共面即它們所在直線可能異面
③若∥，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（×）[與不成立]
④若為非零向量，則.
（2）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量， ∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.
（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.
（4）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.
②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡(jiǎn)證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）
注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.
2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在
唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).
注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其
中Q是△BCD的重心，則向量用即證.
3. （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.
①令=(a1,a2,a3),，則
∥
(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)
②空間兩點(diǎn)的距離公式：.
（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.
②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.
③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.
II. 競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)
一、四面體.
1. 對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：
①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；
②四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；
③四面體的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3︰1；
④12個(gè)面角之和為720°，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180°.
2. 直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形. （在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.
3. 等腰四面體：對(duì)棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體.
（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有
①等腰四面體的體積可表示為；
②等腰四面體的外接球半徑可表示為；
③等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對(duì)面重心的連線段的長(zhǎng)相等，且可表示為；
④h = 4r.
二、空間正余弦定理.
空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D
空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D
立體幾何知識(shí)要點(diǎn)
一、知識(shí)提綱
（一）空間的直線與平面
⒈平面的基本性質(zhì) 　⑴三個(gè)公理及公理三的三個(gè)推論和它們的用途．　⑵斜二測(cè)畫法．
⒉空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線．
　⑴公理四（平行線的傳遞性）．等角定理．
　⑵異面直線的判定：判定定理、反證法．
　⑶異面直線所成的角：定義（求法）、范圍．
⒊直線和平面平行 　直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì)．
⒋直線和平面垂直
　⑴直線和平面垂直：定義、判定定理．
　⑵三垂線定理及逆定理．
5.平面和平面平行
兩個(gè)平面的位置關(guān)系、兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)．
6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理．
（二）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖）
（三）夾角與距離
7.直線和平面所成的角與二面角
　⑴平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平
　　面所成的角、直線和平面所成的角．
　⑵二面角：①定義、范圍、二面角的平面角、直二面角．
　　　　　　②互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理．
8.距離
　⑴點(diǎn)到平面的距離．
　⑵直線到與它平行平面的距離．
　⑶兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段．
　⑷異面直線的距離：異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段．
（四）簡(jiǎn)單多面體與球
9.棱柱與棱錐
　⑴多面體．
　⑵棱柱與它的性質(zhì)：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質(zhì)．
　⑶平行六面體與長(zhǎng)方體：平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體、正四棱柱、
　　正方體；平行六面體的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的性質(zhì)．
　⑷棱錐與它的性質(zhì)：棱錐、正棱錐、棱錐的性質(zhì)、正棱錐的性質(zhì)．
　⑸直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法．
10.多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)
　⑴簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式．
　⑵正多面體．
11.球
⑴球和它的性質(zhì)：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離．
　⑵球的體積公式和表面積公式．
二、常用結(jié)論、方法和公式
1.從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點(diǎn)A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則
3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，BC和AB的射影BA1成，設(shè)∠ABC=,則coscos=cos；
4.異面直線所成角的求法：
（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；
（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；
5.直線與平面所成的角
斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；
6.二面角的求法
（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；
（2）三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；
（4）射影法：利用面積射影公式S射＝S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；
特別:對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。
7.空間距離的求法
（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算；
（2）求點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；
（3）求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；
8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底；
9.已知:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;
10.正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng)；
11.歐拉公式：如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+F－E=2；并且棱數(shù)E＝各頂點(diǎn)連著的棱數(shù)和的一半＝各面邊數(shù)和的一半；
12.柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.
13.直棱柱的側(cè)面積和全面積
S直棱柱側(cè)= c (c表示底面周長(zhǎng)，表示側(cè)棱長(zhǎng))
S棱柱全=S底+S側(cè)
14．棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。
15.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點(diǎn)A、B間的距離求法：（1）計(jì)算線段AB的長(zhǎng)，（2）計(jì)算球心角∠AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)；
第十章 排列組合二項(xiàng)定理
一、兩個(gè)原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重復(fù)元素的排列.
從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）
二、排列.
1. ⑴對(duì)排列定義的理解.
定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
⑵相同排列.
如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.
⑶排列數(shù).
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.
⑷排列數(shù)公式：
注意： 規(guī)定0! = 1
規(guī)定
2. 含有可重元素的排列問題.
對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于.
例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù).
三、組合.
1. ⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
⑵組合數(shù)公式：
⑶兩個(gè)公式：① ②
①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.
（或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）
②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有.
⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.
聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.
區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.
⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式
②常用的證明組合等式方法例.
i. 裂項(xiàng)求和法. 如：（利用）
ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學(xué)歸納法. iv. 倒序求和法.
v. 遞推法（即用遞推）如：.
vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如：
證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為
，而右邊
四、排列、組合綜合.
1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：
①直接法. ②排除法.
③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某個(gè)元素必相鄰的排列有個(gè).其中是一個(gè)“整體排列”，而則是“局部排列”.
又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為.
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.
注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不確定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.
例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？（插空法），當(dāng)n – m+1≥m, 即m≤時(shí)有意義.
⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.
⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.
例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.
⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有.
例如：從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？
（）
注意：分組與插空綜合. 例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當(dāng)n – m+1 ≥m, 即m≤時(shí)有意義.
⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.
例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖
所示）故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).
注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .
⑨定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有.
例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？
固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置，然后再?gòu)膎-1個(gè)元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）
⑩指定元素排列組合問題.
i. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi) 。先C后A策略，排列；組合.
ii. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合.
iii 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略，排列；組合.
II. 排列組合常見解題策略：
①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；
⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.
2. 組合問題中分組問題和分配問題.
①均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（其中A為非均勻不編號(hào)分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.
例：10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為
②非均勻編號(hào)分組: n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為
例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：種.
若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有種
③均勻編號(hào)分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.
例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為
④非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為…
例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為若從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為.
五、二項(xiàng)式定理.
1. ⑴二項(xiàng)式定理：.
展開式具有以下特點(diǎn)：
項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)；
系數(shù)：依次為組合數(shù)
每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.
⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).
展開式中的第項(xiàng)為：.
⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).
①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；
②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.
I. 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
II. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大.
③系數(shù)和：
附：一般來說為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當(dāng)時(shí)，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對(duì)值）的辦法來求解.
⑷如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項(xiàng)式，先找出含有的項(xiàng)，另一方面在中含有的項(xiàng)為，故在中含的項(xiàng)為.其系數(shù)為.
2. 近似計(jì)算的處理方法.
當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分很小，可以忽略不計(jì)。類似地，有但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對(duì)計(jì)算精確度的要求.
第十一章 概率
一 事件
（一）、在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做確定性現(xiàn)象
（二）、在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做隨機(jī)現(xiàn)象
（三）、必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件；肯定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件
二 概率
在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來刻畫該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，而將頻率作為其近似值。
1.概率： 一般地，如果隨機(jī)事件在次試驗(yàn)中發(fā)生了次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很大時(shí)，我們可以將發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生的概率的近似值，即
2．概率的性質(zhì)：
①隨機(jī)事件的概率為，
②必然事件和不可能事件看作隨機(jī)事件的兩個(gè)特例，分別用和表示，必然事件的概率為，不可能事件的概率為，即，;
3.（1）頻率的穩(wěn)定性 即大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，任何結(jié)果（事件）出現(xiàn)的頻率盡管是隨機(jī)的，卻“穩(wěn)定”在某一個(gè)常數(shù)附近，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與這個(gè)常數(shù)的偏差大的可能性越小，這一常數(shù)就成為該事件的概率;
（2）“頻率”和“概率”這兩個(gè)概念的區(qū)別是：頻率具有隨機(jī)性，它反映的是某一隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它反映的是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性；概率是一個(gè)客觀常數(shù)，它反映了隨機(jī)事件的屬性.
1.隨機(jī)事件的概率：
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)用概率表示一個(gè)事件在一次試驗(yàn)或觀測(cè)中發(fā)生的可能性的大小，它是在～之間的一個(gè)數(shù)，將這個(gè)事件記為，用表示事件發(fā)生的概率.
三 古典概型
1、基本事件： 一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件．
2、等可能基本事件：若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件。
3、如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：
（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；
（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的；
那么，我們稱這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．
4、古典概型的概率：
如果一次試驗(yàn)的等可能事件有個(gè)，那么，每個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是；如果某個(gè)事件包含了其中個(gè)等可能基本事件，那么事件發(fā)生的概率為．
5、古典概型解題步驟：
⑴閱讀題目，搜集信息；
⑵判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；
⑶求出基本事件總數(shù)和事件所包含的結(jié)果數(shù)；
⑷用公式求出概率并下結(jié)論.
四 幾何概型
１．幾何概型的概念：　　　　　
對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等．用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型．
２．幾何概型的基本特點(diǎn)：
（１）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；
（２）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
３．幾何概型的概率：
一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件＂該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)＂為事件，則事件發(fā)生的概率．
說明：（１）的測(cè)度不為；
（２）其中＂測(cè)度＂的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的＂測(cè)度＂分別是長(zhǎng)度，面積和體積．
（３）區(qū)域?yàn)椋㈤_區(qū)域＂；
（４）區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無關(guān)．
（選）第一章 統(tǒng)計(jì)
第一部分 抽樣方法
一 總體、個(gè)體、容量
一般地，我們把所考查對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合看做總體，構(gòu)成總體的對(duì)象作為個(gè)體，從總體中抽出一部分對(duì)象所組成的集合叫做樣本，樣本中對(duì)象的個(gè)數(shù)稱為樣本的容量。
二 簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣
1.一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。
2.最簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣方法有兩種：抽簽法(抓鬮法)和隨機(jī)數(shù)表法。
3.從一個(gè)總體為N的個(gè)體中，抽出容量為n的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為。
三 系統(tǒng)抽樣
1.當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本．這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣。
2.系統(tǒng)抽樣的四個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：“編號(hào)----分段—--確定起始的個(gè)體號(hào)——抽取樣本”四步。
3.在系統(tǒng)抽樣中，如果總體容量N能被樣本容量n整除，則用它們的比值作為分段間隔．如果不是整數(shù)，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除．然后再編號(hào)、分段，確定第一段的起始號(hào)．繼而確定整個(gè)樣本。
四 分層抽樣
當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，才常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例筋洗凈抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其所分成的各個(gè)部分叫做層。
利用分層抽樣抽取樣本，每一層按照它在總體中所占的比例進(jìn)行抽取。
注意
（1）分層抽樣適用于差異明顯的幾部分組成的情況；（2）在每一層進(jìn)行抽樣時(shí)，在采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣；（3）分層抽樣充分利用已掌握的信息，使樣具有良好的代表性；（4）分層抽樣也是等概率抽樣，而且在每層抽樣時(shí)，可以根據(jù)具體情況采用不同的抽樣方法，因此應(yīng)用較為廣泛。
五 三種抽樣方法的比較
（1）列表比較：
類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 抽樣過程種每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)均等 從總體中逐個(gè)抽取 總體種的個(gè)體數(shù)較少
系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體種的個(gè)體數(shù)較多
分層抽樣 將總體分成幾層，分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同特點(diǎn)是在抽樣過程中每一個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，體現(xiàn)了這些方法的客觀性和公平性，其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單和最基本的抽樣方法，在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣和分層抽樣時(shí)都要用到簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，抽樣方法經(jīng)常交叉應(yīng)用，對(duì)于個(gè)體數(shù)量很大的總體，可采用系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)中的每一均衡部分，又可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。
六 抽樣方法的選擇
(1)通過比較三種抽樣方法，可以發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系密切，無論采取哪一種方法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是一樣的。
(2)對(duì)于系統(tǒng)抽樣和分層抽樣．如果不是整數(shù)，可采用剔除法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率不變，如從1003個(gè)總體中抽出容量為l0的樣本，那么每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為
(3)通過分析總體特點(diǎn)，靈活選擇抽樣方法。
(4)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是抽樣方法的基礎(chǔ)，是一種等機(jī)會(huì)抽樣，它有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①它要求被抽取樣
本的總體個(gè)數(shù)是有限的；②它是從總體中逐個(gè)地抽取；③它是一種不放回抽樣。
(5)系統(tǒng)抽樣是在總體個(gè)數(shù)比較多時(shí)采用的抽樣方法。當(dāng)總體個(gè)數(shù)N不能被樣本容量 整除時(shí)，應(yīng)注意如何從總體中剔除一些個(gè)體．
（6）分層抽樣適用于總體是由差異明顯的幾部分個(gè)體組成時(shí)的抽樣方法。具體步驟是：①分層；②按比例確定各層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；③各層抽樣；④匯合成樣本。
第二部分 用樣本估計(jì)總體
一 用樣本估計(jì)總體
(1)頻率分布
樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率和樣本容量的比就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布表，頻率分布折線圖．莖葉圖，頻率分布直方圖來表示．
(2)頻率分布折線圖
連結(jié)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就可以得到頻率分布折線圖。
(3)總體密度曲線
①如果樣本容量越大，所分組數(shù)越多，圖中表示頻率分布就越接近于總體在各個(gè)小組內(nèi)所取值的個(gè)數(shù)與總數(shù)比值的大小．設(shè)想如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實(shí)際上是越來越接近于總體的分布，它可以用一條光滑曲線來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線。
②總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律．產(chǎn)品尺寸落在(a，b)內(nèi)的百分率就是下圖中帶斜線部分的面積．對(duì)本題來說，總體密度曲線呈中間高兩邊低的“鐘”形分布，總體的數(shù)據(jù)大致呈對(duì)稱分布，并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi)。
(4)莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突的優(yōu)點(diǎn)
其一是統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)的損失，所有信息可以從這個(gè)莖葉圖中得到，其二是在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄于表示。
二 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差
(1) 一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
(2)一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
(3)如果有幾個(gè)數(shù)那么叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。
如果在幾個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，（這里)，那么
叫做這幾個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差
考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。
設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則，其中表示方差而s表示標(biāo)準(zhǔn)差。
三 頻率分布圖(表)和頻率分布直方圖
(1)頻數(shù)分布圖(表)能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)；而頻率分布圖(表)則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律．它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布。
(2)作頻率分布直方圖的步驟：
①求極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差。
②決定組距與組數(shù)．將數(shù)據(jù)分組時(shí)，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚的呈現(xiàn)出來。這時(shí)應(yīng)注意：a．一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；b．為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；c．當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5組～l2組．
③將數(shù)據(jù)分組．
④計(jì)算各小組的頻率，作頻率分布表。
．
⑤畫頻率分布直方圖。
(3)總體密度曲線是頻率分布折線的一條極限曲線，隨著樣本容量不斷增加，分組的不斷加密，頻率分布折線就會(huì)越來越光滑，最終形成總體密度曲線．總體密度曲線反映的是總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，實(shí)際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但只能用樣本的頻率分布對(duì)它估計(jì)，一般來說，樣本容量越大，這種估計(jì)就越準(zhǔn)確．
四 莖葉圖的應(yīng)用
(1)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．
(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．
莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)。
在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就閑的不太方便了。
五 標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系及計(jì)算
(1)標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，即
（2）方差的計(jì)算
①基本公式
②簡(jiǎn)化計(jì)算公式，
或?qū)懗伞＜捶讲畹扔跀?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均是的平方。
③簡(jiǎn)化計(jì)算公式
當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時(shí)，可仿照簡(jiǎn)化平均是的據(jù)算方法，將每個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)與它們的平均是接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)那么
也可以寫成
。
即方差等于新數(shù)據(jù)的平方平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。
④原數(shù)據(jù)的方差與新數(shù)據(jù)
的方差相等。
即的方差
等于原數(shù)據(jù)的方差。
（3）方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常數(shù)來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。方差較大的波動(dòng)較大，方差較小的波動(dòng)較小，方差的單位是原數(shù)據(jù)的單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫單位。
（選）第二章 導(dǎo)數(shù)
一 導(dǎo)數(shù)的概念
（一）導(dǎo)數(shù)的定義
1.導(dǎo)數(shù)的原始定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，如果時(shí)，與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即
2導(dǎo)函數(shù)的定義：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。
（二）導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義：
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
是曲線上點(diǎn)()處的切線的斜率因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)()處的切線方程為
2.導(dǎo)數(shù)的物理意義：
導(dǎo)數(shù)是物體變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，也叫做瞬時(shí)變化率。
（三）概念部分題型：
1.利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
主要有三個(gè)步驟：
(1)求函數(shù)的改變量
(2)求平均變化率
(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)＝
2.利用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義解題
主要有兩種：求切線方程和瞬時(shí)速度，考試重點(diǎn)為求切線方程。
二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
（一）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
（二）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算
1．和差：
2．積：
3．商：
（三）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
1．運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則為：
2． ( http: / / www. / wxc / )復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法和步驟：
求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定要抓住“中間變量”這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，然后應(yīng)用法則，由外向里一層層求導(dǎo)，注意不要漏層。
求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟：
(1)分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量 ( http: / / www. / wxc / )
(2)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意分清每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù) ( http: / / www. / wxc / )
(3)根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù) ( http: / / www. / wxc / )
三 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
（一）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求解單調(diào)區(qū)間。
1.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：
(1)若(x)>0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，(x)>0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
(2)若(x)<0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是減函數(shù)，(x)<0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間。
2.利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟： ( http: / / www. / wxc / )
①確定的定義域；
②計(jì)算導(dǎo)數(shù)；
③求出的根；
④用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間,列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào),進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間： ( http: / / www. / wxc / )(x)>0，則f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；(x)<0，則f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間。
（二）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值與最值。
1.極值與最值的定義：
(1)極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)
(2)極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0) ( http: / / www. / wxc / )就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)
(3)函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值，分別對(duì)應(yīng)該區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。
2.極值的性質(zhì)：
(1)極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小
(2)函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)
(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。
(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)
3.判別f(x0)是極大、極小值的方法:
若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值
4.求函數(shù)f(x)的極值的步驟:
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格 ( http: / / www. / wxc / )檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f(x)在這個(gè)根處無極值
5.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:
⑴求在內(nèi)的極值；
⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值
（三）利用導(dǎo)數(shù)求解證明不等式：
主要方法為將不等式左右兩邊的多項(xiàng)式移到一邊，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，通過對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)的大小和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或證明。
四 定積分與微積分基本原理 (理科考查，文科不考查)
（一）曲邊梯形面積與定積分
1、定積分定義：設(shè)函數(shù)在上有界(通常指有最大值和最小值)，在與之間任意插入個(gè)分點(diǎn)，
，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，記每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 ，在上任取一點(diǎn)ζi,作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，并求和
記λ=max{；},如果當(dāng)λ->0時(shí),和s總是趨向于一個(gè)定值,則該定值便稱為函數(shù)在上的定積分,記為，即
其中, 稱為函數(shù)在區(qū)間的積分和.
2、定積分的幾何意義
定積分在幾何上,當(dāng)時(shí),表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)時(shí)，表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般情況下，表示介于曲線、兩條直線、與軸之間的個(gè)部分面積的代數(shù)和
（二）微積分基本定理
1、基本定理
若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在上可積，且 這稱為牛頓一萊布尼茨公式，它也常寫成
二、常用的不定積分公式：
1.
2. ()
3.
4. (，)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
12.
13.
14.
本節(jié)主要考察利用積分的公式熟練的計(jì)算。
（選）第三章. 復(fù) 數(shù)
1. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即.
⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：
復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中）；
實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；
虛數(shù)—當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；
純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.
復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）
復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.
⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：
.
⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.
注：①若為復(fù)數(shù)，則若，則.（×）[為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]
若，則.（√）
②若，則是的必要不充分條件.（當(dāng)，
時(shí)，上式成立）
2. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.
其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.
由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.
⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式：
①為圓心，r為半徑的圓的方程.
②表示線段的垂直平分線的方程.
③為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.
④表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.
⑶絕對(duì)值不等式：
設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則
①.
左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.
②.
左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.
注：.
3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：
，（a + bi）
（）
注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]
4 ⑴①?gòu)?fù)數(shù)的乘方：
②對(duì)任何，及有
③
注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如若由就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論.
②在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結(jié)論：
若是1的立方虛數(shù)根，即，則 .
5. ⑴復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：
①.
②若，是純虛數(shù).
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.
注：.
6. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式：.
輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.
注：①為零時(shí)，可取內(nèi)任意值.
②輻角是多值的，都相差2的整數(shù)倍.
③設(shè)則.
⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：
，，.
⑶幾類三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：
7. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：
在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意下述問題：
①當(dāng)時(shí)，若＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根；若=0，則有二相等實(shí)數(shù)根；若＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根（為共軛復(fù)數(shù)）.
②當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用方程根的情況.
③不論為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.
8. 復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：
棣莫弗定理：
（選）第四章 空間向量（理科）
一 空間向量的線性運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)
1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。
(2)空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。
2. 空間向量的運(yùn)算
定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如下圖)。
;;
運(yùn)算律：⑴加法交換律：
⑵加法結(jié)合律：
⑶數(shù)乘分配律：
二 空間向量的基本定理
知識(shí)點(diǎn)
1. 共線向量
(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。
當(dāng)我們說向量、共線(或//)時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。
(2)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、(≠)，//存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ。
深化：
(1)對(duì)于空間中的任意兩個(gè)向量來說都是共面的，但三個(gè)向量不一定共面．
(2)當(dāng)p、a、b都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另外兩直線確定的平面內(nèi)．
2. 共面向量
(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。
說明：空間任意的兩向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。
3. 空間向量基本定理：
如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。
若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。
推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使
。
深化：
(1)如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是｛p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R｝．這個(gè)集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們把｛a，b，c｝叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量．由上述定理可知，空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
(2)推論中，若x＋y＋z＝１，則根據(jù)共面向量定理得：P、
A、B、C四點(diǎn)共面．故可看成平面ABC的一個(gè)向量參數(shù)方程，其中x, y，z為參數(shù).
三 向量的數(shù)量積
(一)平面向量
(二) 空間向量
(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
(2)向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：。
(3)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。
(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：
①；②；③。
(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：
①；②(交換律)；③(分配律)。
四 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
1.空間直角坐標(biāo)系：
(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；
(2)在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量．通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；
(3)作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使(或)，；
(4)在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系
2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：
如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．
在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一
的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．如上圖
3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：
(1)如右圖：若，
，
則，
，
，
，
，
．
(2)若，，
則．
一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)如下圖。
（選）第五章 立體幾何
一 平行關(guān)系
（一） 線線平行(圖3-1)
1．如果兩條線都平行于第三條線，那么這兩條線相互平行.
2．如果一條線平行于另一個(gè)平面，那么這條線就平行于過這條線的 圖3-1
平面與已知平面的交線.
3．如果兩個(gè)平面平行，那么另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行.
4．如果兩條直線都和另一個(gè)平面垂直，那么這兩條直線平行.
5．在同一平面內(nèi)，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.
（二） 線面平行(圖3-2) 圖3-2
1．如果平面外一條直線平行于平面內(nèi)的一條
直線，那么直線與平面平行.
2．如果兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直 線平行于另一個(gè)平面
3．如果平面與平面外一條直線同時(shí)垂直于另一條直線，那么線面平行
4．如果平面與平面外一條直線同時(shí)垂直于另一個(gè)平面，那么線面平行
（三） 面面平行(圖3-3)
1.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么面面平行
2.如果兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，那么
這兩個(gè)平面平行 圖3-3
3.如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行
二 垂直關(guān)系
大部分都是通過垂直證垂直；不能證明的時(shí)候，平移到另一個(gè)位置證垂直。
（一） 線線垂直
如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線。
（二） 線面垂直
1．如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線

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