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高中數(shù)學(xué) 不等式的解法高分策略
考綱解讀：
考點 考綱要求 題型 分值 考題預(yù)測
一元二次不等式、不等式性質(zhì) 1. 理解不等式的性質(zhì)，并會靈活運用
2. 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系。 選擇、填空 5分 高考對本節(jié)內(nèi)容很少單獨命題考查，對不等關(guān)系及一元二次不等式的考查常與集合結(jié)合在一起，有時與函數(shù)的定義域、充要條件、判斷命題真假、數(shù)或式的大小比較、不等式的恒成立及同解變形等問題結(jié)合在一起。
經(jīng)典題精析：
母題1 若a>b>0，cA. B. C. D.
思路分析：先利用倒數(shù)的性質(zhì)，再利用同向正數(shù)不等式的可乘性。
解析：因。
答案：B
方法總結(jié)：靈活運用不等式的性質(zhì)，同向正數(shù)不等式的可乘性、倒數(shù)的性質(zhì)。
變式1－1 已知aA. a3>b3 B. acb2 D.
思路分析：利用作差法比較每一個選項的兩個式子，即可找到答案。
解析：于A選項，a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2），因為aa－b<0，a2+ab+b2>0，所以a3對于B選項，ac－bc=（a－b）c，符號不確定。所以選項B錯誤。
對于C選項，a2－b2=（a+b）（a－b）>0，所以選項C正確。
對于D選項，，所以選項D錯誤。
答案：C
母題2 已知a∈R，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f（x）≤|x|恒成立，則a的取值范圍是__________。
思路分析：由題意分類討論x>0和x0兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果。
解析：分類討論：①當(dāng)x>0時，f（x）|x|即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知： ，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時，，則；
②當(dāng)時，即：x2+2x+a－2－x，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)x=－3或x=0時，（－x2－3x+2）min=2，則a2；
綜合①②可得的取值范圍是。
答案：。
方法總結(jié)：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）a≥f（x）恒成立?a≥f（x）max；（2）a≤f（x）恒成立?a≤f（x）min。有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析。
變式2－1 要使函數(shù)在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
思路分析：先用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)問題，再用分離參數(shù)法解決恒成立問題。
解析：令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，
分離參數(shù)有：，則，，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時， ，
即實數(shù)的取值范圍是。
答案：C
綜合練習(xí)：
（答題時間：30分鐘）
一、單選題
1. 若函數(shù)在（－，+）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A. B. [－1，] C. [－，－1] D. [－1，1]
2. 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時， ，則的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 函數(shù)， 的值域是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，若當(dāng)時， 恒成立，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題
5. 函數(shù)當(dāng)時有最小值，當(dāng)時有最大值，則的取值范圍是_______。
6. 函數(shù)y=cos2x+3 cosx+2的最小值為_________。
答案：
1. A
【解析】由題得
∵函數(shù)在（－，+）上單調(diào)遞增，
∴，。
設(shè)t=sinx，t∈[－1，1]，，
則在t∈[－1，1]恒成立，
∴，，
故選A。
2. A
【解析】由，
則，得，且 對稱軸的方程為，
當(dāng)時，在上函數(shù)單調(diào)遞減，而，
即，則與矛盾，即不存在；
當(dāng)時，對稱軸，而，且，
即，則，而，所以，故選A。
3. C
【解析】，對稱軸為，∴當(dāng)時， ，當(dāng)時，，∴值域為，故選C。
4. D
【解析】
設(shè)，則，
當(dāng)時， ，
，由為偶函數(shù)可得， ， ，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，
此時，
恒成立， ，故選D。
5.
【解析】令，則，
根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間[－1，1]位置關(guān)系得。
6. 0
【解析】令t=cosx，且t，則y，對稱軸為t=，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以t=－1時函數(shù)取到最小值0，故填0。

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