資源簡介

22.3
實際問題與二次函數（解答題專練）（二）
基礎練習（一）：
1．某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500㎏，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10㎏，針對這種水產品，請解答以下問題：
（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量與月銷售利潤．
（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式；
（3）當銷售單價為多少時，月銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（4）商店想在銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤剛好達到8000元，銷售單價應為多少？
2．某文化用品商店新進一批畢業紀念冊，該紀念冊每本進價10元，售價定為每本18元，該商店計劃出臺一下的促銷方案：凡一次購買紀念冊6本以上的（不含6本），每多買一本，所購買的每本紀念冊的售價就降低0.2元，但是每本紀念冊的最低售價不低于13元．
（1）問一次購買該紀念冊至少多少本時才能用最低價購買？
（2）求當一次夠買該紀念冊x本時，商店所獲利潤W（元）與購買量x（本）之間的函數關系式；
（3）在研討促銷方案過程中，店員發現了一個奇怪的現象：“如果商店一次售出30本紀念冊所獲得利潤，比一次售出26本紀念冊所獲得利潤低．”請你解釋其中的道理，并根據其中的道理替該商店修改一下促銷方案，使賣得紀念冊越多所獲利潤越大．
3．在校際運動會上，身高1.8米的李夢晨（AB）同學，把鉛球拋到離腳底（B）9米遠的P點，李夢晨同學所拋的鉛球在到達最大高度時，距其腳底（B）4米，聰明的你，請你參照圖示，幫助李夢晨同學求出此鉛球運動的軌跡方程．
4．某商場銷售一種進貨成本價為每件60元的新產品，根據物價部門規定，銷售該產品的毛利潤率（毛利潤率＝）應在10%～50%之間（包括10%與50%）．在銷售過程中發現，當銷售單價70元時，每月銷售量為350件，而每提高銷售單價5元，則每月銷售量減少25件；
（1）寫出每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式及x的取值范圍；
（2）在銷售該產品中，設每月獲得利潤為W（元），
①寫出W與x的函數關系式；
②當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
5．商場銷售一批襯衫，每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售減少庫存，決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果一件襯衫每降價1元，每天可多售出2件．
①設每件降價x元，每天盈利y元，列出y與x之間的函數關系式．
②若商場每天要盈利1200元，每件襯衫降價多少元？
③每件降價多少元時，商場每天的盈利達到最大？盈利最大是多少元？
基礎練習（二）：
6．綜合應用與探究
超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）（x≥30）存在如圖所示的一次函數關系式．
（1）試求出y與x的函數關系式；
（2）設超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據市場調查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現該超市經理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出答案）．
7．某商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件．設每件商品的售價為x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？
（3）當售價的范圍是多少時，使得每件商品的利潤率不超過80%且每個月的利潤不低于2250元？
8．現在互聯網越來越普及，網上購物的人也越來越多，訂購的商品往往通過快遞送達．當當網上某“四皇冠”級店鋪率先與“青蛙王子”童裝廠取得聯系，經營該廠家某種型號的童裝．根據第一周的銷售記錄，該型號服裝每天的售價x（元/件）與當日的銷售量y（件）的相關數據如下表：
每件的銷售價x（元/件）
200
190
180
170
160
150
140
每天的銷售量y（件）
80
90
100
110
120
130
140
已知該型號童裝每件的進價是70元，同時為吸引顧客，該店鋪承諾，每件服裝的快遞費10元由賣家承擔．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，求第一周銷售中，y與x的函數關系式；
（2）設第一周每天的贏利為w元，求w關于x的函數關系式，并求出每天的售價為多少元時，每天的贏利最大？最大贏利是多少？
（3）從第二周起，該店鋪一直按第（2）中的最大日盈利的售價進行銷售．但進入第三周后，網上其他購物店也陸續推出該型號童裝，因此第三、四周該店鋪每天的售價都比第二周下降了m%，銷售量也比第二周下降了0.5m%（m＜20）；第五周開始，廠家給予該店鋪優惠，每件的進價降低了16元；該店鋪在維持第三、四周的銷售價和銷售量的基礎上，同時決定每件童裝的快遞費由買家自付，這樣，第五周的贏利相比第二周的贏利增加了2%，請估算整數m的值．
（參考數據：，）
9．如圖，要設計一個矩形的花壇，花壇長60m，寬40m，有兩條縱向甬道和一條橫向甬道，橫向甬道的兩側有兩個半圓環形甬道，半圓環形甬道的內半圓的半徑為10m，橫向甬道的寬度是其它各甬道寬度的2倍．設橫向甬道的寬為2x
m．（π的值取3）
（1）用含x的式子表示兩個半圓環形甬道的面積之和；
（2）當所有甬道的面積之和比矩形面積的多36m2時，求x的值；
（3）根據設計的要求，x的值不能超過3m．如果修建甬道的總費用（萬元）與x（m）成正比例關系，比例系數是7.59，花壇其余部分的綠化費用為0.03萬元/m2，那么x為何值時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？
10．冠豸旅館客房部有20套房間供游客居住，當每套房間的定價為每天120元時，房間可以住滿．當每套房間每天的定價每增加10元時，就會有一套房間空閑．對有游客入住的房間，客棧需對每套房間每天支出20元的各種費用．設每套房間每天的定價增加x元．求：
（1）房間每天的入住量y（套）關于x（元）的函數關系式；
（2）該客棧每天的房間收費總額z（元）關于x（元）的函數關系式；
（3）該客?？头坎棵刻斓睦麧橶（元）關于x（元）的函數關系式；當每套房間的定價為每天多少元時，W有最大值？最大值是多少？
參考答案
1．解：（1）500﹣10（55﹣50）＝450，450×（55﹣40）＝6750，
答：當銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為450kg，月銷售利潤為6750元．
（2）由題意得
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
即y＝﹣10x2+1400x﹣40000，
（3）由（2）得y＝﹣10（x2﹣140x）﹣40000，
＝﹣10（x﹣70）2+9000；
∴當月銷售單價為每千克70元時，月銷售利潤最大，最大利潤為9000元．
（4）當y＝8000時，由（3）得
8000＝﹣10（x2﹣140x）﹣40000，
整理得（x﹣70）2＝100，
解之得x1＝60，x2＝80，
又由銷售成本不超過10000元得40[500﹣10（x﹣50）]≤10000，
解之得x≥75，
故x1＝60應舍去，則x＝80；
答：銷售單價應定為每千克80元．
2．解：（1）設購買紀念冊m本，
∴18﹣0.2（m﹣6）≥13，解得m≤31，
∴至少買31本才能用最低價購買；
（2）①當x≤6時，
W＝（18﹣10）x＝8x（x為整數）；
②當6＜x≤31時，
W＝x[18﹣0.2（x﹣6）﹣10]
＝x（9.2﹣0.2x）
＝﹣0.2x2+9.2x（
x為整數）；
③當x＞31時，
W＝（13﹣10）x＝3x（x為整數）；
（3）由②中W＝﹣0.2x2+9.2x，
∵a＝﹣0.2＜0，x＝﹣＝23，
∴當23≤x≤31時，W隨x的增大而減小．
∴商店一次售出30本紀念冊所獲的利潤，比一次售出26本紀念冊所獲的利潤低，
又∵當x＝23時，紀念冊的售價為18﹣0.2×（23﹣6）＝14.6（元），
∴商店把促銷方案中：“紀念冊的最低售價不低于13元”改為“紀念冊的最低售價不低于14.6元”，這樣三個函數在個自變量范圍都為增函數，于是可以使賣的紀念冊越多商店所獲的利潤越大．
3．解：如圖，P點坐標為（9，0），A點坐標為（0，1.8），對稱軸為直線x＝4，
設鉛球運動的軌跡為拋物線y＝ax2+bx+c
（a≠0），
∴，解得，
∴此鉛球運動的軌跡方程為：y＝﹣x2+x+（0≤x≤9）．
4．解：（1）∵當銷售單價70元時，每月銷售量為350件，而每提高銷售單價5元，則每月銷售量減少25件，
銷售單價為x（元），
∴每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）的函數關系式為：
y＝350﹣25（x﹣70）÷5＝700﹣5x；
又∵x﹣60≤60×50%，且x﹣60≥60×10%，
∴x的取值范圍是66≤x≤90；
（2）①∵每件產品的利潤為：（x﹣60）元，
每月銷售量為：y＝700﹣5x；
∴W＝（x﹣60）（700﹣5x）＝﹣5x2+1000x﹣42000；
②當x＝﹣＝100時，不屬于66≤x≤90的取值范圍，
而當x≤100時，W隨著x的增大而增大，
∴當x＝90時，每月可獲得最大利潤，
此時，W最大＝（90﹣60）（700﹣5×90）＝7500元．
5．解：①y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
所以y與x之間的函數關系式為y＝﹣2x2+60x+800；
②令y＝1200，
∴﹣2x2+60x+800＝1200，
整理得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝10（舍去），x2＝20，
所以商場每天要盈利1200元，每件襯衫降價20元；
③y＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴當x＝15時，y有最大值，其最大值為1250，
所以每件降價15元時，商場每天的盈利達到最大，盈利最大是1250元．
6．解：（1）設y＝kx+b，由圖象可知，
（2分）
解之，得
∴y＝﹣20x+1000（30≤x≤50，不寫自變量取值范圍不扣分）．
（2）p＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣20x+1000）
＝﹣20x2+1400x﹣20000．
∵a＝﹣20＜0，
∴p有最大值．
當x＝﹣＝35時，p最大值＝4500．
即當銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元．
（3）31≤x≤34或36≤x≤39．
7．解：（1）由題意解得：
y＝[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110且x為正整數）
（2）y＝﹣2（x﹣75）2+2450，當x＝75時，y有最大值為2450元；
（3）當y＝2250時，﹣2（x﹣75）2+2450＝2250，解得x1＝65，x2＝85
∵a＝﹣2＜0，開口向下，當y≥2250時，65≤x≤85
∵每件商品的利潤率不超過80%，則≤80%，則x≤72則65≤x≤72．
答：當售價x的范圍是x≤72則65≤x≤72時，使得每件商品的利潤率不超過80%且每個月的利潤不低于2250元．
8．解：（1）設y＝kx+b
由題得：，解得，
∴y＝﹣x+280，
驗證：當x＝180時，y＝100；當x＝170時，y＝110；
其他各組值也滿足函數關系式；故y與x的函數關系式為y＝﹣x+280；
（2）w＝xy﹣70y﹣10y＝（x﹣80）（﹣x+280）＝﹣x2+360x﹣22400，
＝﹣（x﹣180）2+10000
因為﹣1＜0，所以拋物線開口向下，
所以當x＝180時，w最大為10000，
即每件的售價為180元時，每天的贏利最大為10000元；
（3）根據題意得：180（1﹣m%）?700（1﹣0.5m%）﹣54（1﹣0.5m%）×700＝7×10000×1.02，
設t＝m%，則原方程可化為：180（1﹣t）（1﹣0.5t）﹣54（1﹣0.5t）＝102
化簡得：30t2﹣81t+8＝0，△＝（﹣81）2﹣4×30×8＝5601
，
t2＝＝≈0.102，
所以m≈260或m≈10.2，
因為m＜20，所以m≈10．
答：m的整數值為10．
9．解：（1）兩個半圓環形甬道的面積＝π（10+x）2﹣π×102＝3x2+60x（m2）；
（2）依題意，得40×x×2+60×2x﹣2x2×2+3x2+60x＝×60×40+36，
整理，得x2﹣260x+516＝0，
解得x1＝2，x2＝258（不符合題意，舍去）．
∴x＝2；
（3）設建設花壇的總費用為y萬元，則
y＝0.03×[60×40﹣（﹣x2+260x）]+7.59x
＝0.03x2﹣0.21x+72．
∴當x＝﹣＝＝3.5時，y的值最小．
因為根據設計的要求，x的值不能超過3，
∴當x＝3時，總費用最少．
最少費用為y＝0.03×32﹣0.21×3+72＝71.64（萬元）．
10．解：（1）由題意得：
y＝20﹣，
（2）z＝（120+x）（20﹣），
＝﹣+8x+2400；
（3）w＝（120+x）（20﹣）﹣20×（20﹣），
＝﹣+10x+2000，
＝﹣（x﹣50）2+2250，
當x＝50時，w有最大值．
此時，x+120＝170，就是說，當每個房間的定價為每天170元時，w有最大值，且最大值是2250元．

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