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把關提分類中考真題專練：第四章
圖形的相似
一．選擇題
1．（2020?畢節市）已知＝，則的值為（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020?云南）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點．則△DEO與△BCD的面積的比等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020?廣西）如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（　　）
A．15
B．20
C．25
D．30
4．（2020?昆明）在正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（　　）
A．4個
B．5個
C．6個
D．7個
5．（2020?永州）如圖，在△ABC中，EF∥BC，＝，四邊形BCFE的面積為21，則△ABC的面積是（　　）
A．
B．25
C．35
D．63
6．（2020?益陽）如圖，在矩形ABCD中，E是DC上的一點，△ABE是等邊三角形，AC交BE于點F，則下列結論不成立的是（　　）
A．∠DAE＝30°
B．∠BAC＝45°
C．
D．
7．（2020?海南）如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，若BG＝8，則△CEF的周長為（　　）
A．16
B．17
C．24
D．25
8．（2020?海南）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E、F在AD邊上，BF和CE交于點G，若EF＝AD，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．25
B．30
C．35
D．40
9．（2020?大慶）已知兩個直角三角形的三邊長分別為3，4，m和6，8，n，且這兩個直角三角形不相似，則m+n的值為（　　）
A．10+或5+2
B．15
C．10+
D．15+3
10．（2020?眉山）如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點H，連接DG．以下四個結論：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH?AC；
④DG⊥AC．
其中正確的個數為（　　）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
二．填空題
11．（2020?錦州）如圖，在△ABC中，D是AB中點，DE∥BC，若△ADE的周長為6，則△ABC的周長為　
　．
12．（2020?盤錦）如圖，△AOB三個頂點的坐標分別為A（5，0），O（0，0），B（3，6），以點O為位似中心，相似比為，將△AOB縮小，則點B的對應點B'的坐標是　
　．
13．（2020?大連）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E在邊AD上，CE與BD相交于點F．設DE＝x，BF＝y，當0≤x≤8時，y關于x的函數解析式為　
　．
14．（2020?山西）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為　
　．
15．（2020?鞍山）如圖，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點E，F分別在AD，CD上，且AE＝DF，AF與CE相交于點G，BG與AC相交于點H．下列結論：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH?BG；③若DF＝2CF，則CE＝7GF；④S四邊形ABCG＝BG2．其中正確的結論有　
　．（只填序號即可）
16．（2020?東營）如圖，P為平行四邊形ABCD邊BC上一點，E、F分別為PA、PD上的點，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別記為S、S1、S2．若S＝2，則S1+S2＝　
　．
三．解答題
17．（2020?朝陽）如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），請按如下要求畫圖：
（1）以坐標原點O為旋轉中心，將△ABC順時針旋轉90°，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）以坐標原點O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使它與△ABC的位似比為2：1．
18．（2020?南京）如圖，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分別是AB、A'B'上一點，＝．
（1）當＝＝時，求證△ABC∽△A'B'C'．
證明的途徑可以用下面的框圖表示，請填寫其中的空格．
（2）當＝＝時，判斷△ABC與△A'B'C′是否相似，并說明理由．
19．（2020?涼山州）如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？
20．（2020?泰州）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為BC邊上的動點（與B、C不重合），PD∥AB，交AC于點D，連接AP，設CP＝x，△ADP的面積為S．
（1）用含x的代數式表示AD的長；
（2）求S與x的函數表達式，并求當S隨x增大而減小時x的取值范圍．
21．（2020?濟寧）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P在BC上．
（1）求作：△PCD，使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若∠APC＝2∠ABC．求證：PD∥AB．
22．（2020?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求證：△BDE∽△EFC．
（2）設，
①若BC＝12，求線段BE的長；
②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．
23．（2020?杭州）如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長．
（2）連接EG，若EG⊥AF，
①求證：點G為CD邊的中點．
②求λ的值．
參考答案
一．選擇題（共10小題）
1．解：∵＝，
∴設a＝2x，b＝5x，
∴＝＝．
故選：C．
2．解：∵平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，
∴點O為線段BD的中點．
又∵點E是CD的中點，
∴線段OE為△DBC的中位線，
∴OE∥BC，OE＝BC，
∴△DOE∽△DBC，
∴＝（）2＝．
故選：B．
3．解：設正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，
∵四邊EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四邊形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故選：B．
4．解：如圖，
所以使得△ADE∽△ABC的格點三角形一共有6個．
故選：C．
5．解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
∵S四邊形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，
∴S△ABC＝25．
故選：B．
6．解：∵四邊形ABCD是矩形，△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠CBE＝30°，故選項A不合題意，
∴cos∠DAE＝＝，故選項D不合題意，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴DE＝CE＝CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，故選項C不合題意，
故選：B．
7．解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周長等于10+10+12＝32，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10＝1：2，
∴△CEF的周長為16．
故選：A．
8．解：過點G作GN⊥AD于N，延長NG交BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝AD，
∴EF＝BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝AB＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝×10×4＝20，
∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S陰影＝60﹣20﹣5＝35．
故選：C．
9．解：當3，4為直角邊，6，8也為直角邊時，此時兩三角形相似，不合題意；
當三邊分別為3，4，，和6，8，2，此時兩三角形相似，不合題意舍去
當3，4為直角邊，m＝5；則8為另一三角形的斜邊，其直角邊為：＝2，
故m+n＝5+2；
當6，8為直角邊，n＝10；則4為另一三角形的斜邊，其直角邊為：＝，
故m+n＝10+；
故選：A．
10．解：∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正確；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正確，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延長DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正確，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴AF2＝AH?AC，
∴2AE2＝AH?AC，故③正確，
故選：D．
二．填空題（共6小題）
11．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是AB的中點，
∴＝，
∴＝
∵△ADE的周長為6，
∴△ABC的周長為12，
故答案為：12．
12．解：如圖，
∵△OAB∽△OA′B′，相似比為3：2，B（3.6），
∴B′（2，4），根據對稱性可知，△OA″B″在第三象限時，B″（﹣2，﹣4），
∴滿足條件的點B′的坐標為（2，4）或（﹣2，﹣4）．
故答案為（2，4）或（﹣2，﹣4）．
13．解：在矩形
中，AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵BD＝＝10，BF＝y，DE＝x，
∴DF＝10﹣y，
∴，化簡得：，
∴y關于x的函數解析式為：，
故答案為：．
14．解：如圖，過點F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，設FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
故答案為．
15．解：∵ABCD為菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝DF，
∴DE＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，
∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正確；
過點F作FP∥AD，交CE于P點．
∵DF＝2CF，
∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，
∵DE＝CF，AD＝CD，
∴AE＝2DE，
∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，
∴AG＝6FG，
∴CE＝AF＝7GF，故③正確；
過點B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，
∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，
即∠AGC+∠ABC＝180°，
∴點A、B、C、G四點共圓，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，
∴∠AGB＝∠CGB＝60°，
∴BM＝BN，又AB＝BC，
∴△ABM≌△CBN（HL），
∴S四邊形ABCG＝S四邊形BMGN，
∵∠BGM＝60°，
∴GM＝BG，BM＝BG，
∴S四邊形BMGN＝2S△BMG＝2××＝BG2，故④正確；
∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，
∴△BCH∽△BGC，
∴，
則BG?BH＝BC2，
則BG?（BG﹣GH）＝BC2，
則BG2﹣BG?GH＝BC2，
則GH?BG＝BG2﹣BC2，
當∠BCG＝90°時，BG2﹣BC2＝CG2，此時GH?BG＝CG2，
而題中∠BCG未必等于90°，故②不成立，
故正確的結論有①③④，
故答案為：①③④．
16．解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S△PAD＝S平行四邊形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案為18．
三．解答題（共7小題）
17．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
18．（1）證明：∵＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案為：＝＝，∠A＝∠A′．
（2）如圖，過點D，D′分別作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
同理，＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
19．解：∵四邊形EGFH為正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
設正方形零件的邊長為x
mm，則KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝48．
答：正方形零件的邊長為48mm．
20．解：（1）∵PD∥AB，
∴，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣，
即AD＝；
（2）根據題意得，S＝，
∴當x≥2時，S隨x的增大而減小，
∵0＜x＜4，
∴當S隨x增大而減小時x的取值范圍為2≤x＜4．
21．解：（1）如圖：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；
（2）證明：如圖，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，
∴∠DPC＝∠ABC
∴PD∥AB．
22．（1）證明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
23．解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）①證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即點G為CD的中點；
②設CD＝2a，則CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝．

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