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高考導數壓軸題各專題解法策略研究
mx≥e(-lnx)
公式關系清晰,一氣呵成!
方法四:
分析:欲證e·lnx+>1
ex
即證e(lnx+)>1即可.
由方法三,可得lnx+—≥0,當且僅當x=-取等號.
又∵e≥ex..①當且僅當x=1取等號
∴lnx+≥
ex
ex
∴由①和②可得:e(lnx+-)>1
這里關鍵是等號不能同時成立
∴f(x)>1
方法五:(與方法四證明類似)
,當且僅當x=-取等號
x
x-1
∠e
∴ex.lnx+
e≥x+1
∴e≥x,當且僅當x=1取等號
2e
由①、②可知ex.lnx+
(注意:兩個等號不能同時成立)
即f(x)>1
方法六:欲證ex.血nx+>1
即證xhnx-x.e>
主要還是等價變形
設g(x)=xlnx
則
g(e
ne=-x已
(這里關鍵是注意到g(x)=x·lnx與g(e)=-x.e2
之間隱含著復合函數的關系)
∴只需證明g(x)+g(e)>-
由方法一可知x∈(0,+0),g(x)≥--,
當且僅當x=-取等號
∴g(e)≥--,當且僅當x=1取等號.
∴g(x)+g(e)>--,(兩個等號不能同時成立)
∴f(x)>1
點評:這種方法實在很難想!
基于上述7種方法的思考:
看來我們有必要梳理一下,其中重要的不等式:
泰勒展開式及其變形.
∴e=1++一+…+一+
這個式子也叫麥克勞林公式
當0有1+xx
即1n(1+x)x<-ln(1-x),其中x用——替換
1+x
In(1
=l(1+x)③
1+x
+x
由②③得:還有,e≥x+1.(x∈R)⑤注意等號成立條件.
(x<1)⑥
加強④可得≤hn(+x)≤x,(x>-1)⑦
1+x
還有:lnxo)③
lnx≤x-1,(當且僅當x=1取等號)⑨
e≥x,e≥e,
lnx≥-一,x·hnx≥--等等,
基于上面的思考:
證法7:
≤-,當且僅當x=1取等號
xlnx2--,當且僅當,1
取等號,
xInx+i>x
I
x·e.lnx+一>x
e.Inx+
2e
>1成
是否很帥!
最后,關注以下函數,課下練習鞏固.
1、f(x)=x+e,f(x)=x-e
f(x)=xe,f(x)=-,f(x)=
2、f(x)=x+lnx,f(x)=x-lnx,f(x)=x·hnx,
In
x
In
3、f(x)=x"e,f(x)
f(r)
fo
d
列2.(2013全國2理科21)已知函數f(x)=e-ln(x+m)
(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論∫(x)的單調性;
(2)當m≤2時,證明f(x)>0
解:(()=ex十m
由x=0是∫(x)的極值點得∫(0)=0,所以m=1
于是f(x)=e-ln(x+1),定義域為(-1,+∞)
f(r)=e
函數f()=e"-1
在(一1,十∞)單調遞增,
x+1
且∫(0)=0,因此當x∈(-1,0)時,∫(x)<0;
當x∈(0,+∞)時,f(
所以∫(x)在(-1,0單調遞減,在(0,十∞)單調遞增
2)證明
方法一:
當m故只需證明當m=2時,f(x)>0.
當m=2時,函數∫(x)=e
在(一2,十∞)單調遞增
又f(-1)<0,f(0)>0
故∫(x)=0在(-2,十∞)有唯一實根x,且x0∈(-1,0).
當x∈(-2,xo)時,f(x)<0;當x∈(xo,+∞)時,f(x)>0,
從而當x=xo時,f(x)取得最小值
由∫(xo)=0得exo=
ln(xo+2)=-x0,
(x+1)
故fx)2f(x0)=-+
+2
十2
綜上,當m≤2時,fx)>0.

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