資源簡介

重難點突破：不等式中最值問題全梳理
模塊一、題型梳理
基本不等式與函數相結合的最值問題
若方程有兩個不等的實根和，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由方程可得兩個實數根的關系，再利用不等式求解范圍.
【解析】因為兩個不等的實根是和，不妨令，
故可得，解得，則=，故選：C.
【小結】本題考查對數函數的性質，涉及均值不等式的使用，屬基礎題.
的最小值為（
）
A．2
B．16
C．8
D．12
【分析】利用將變為積為定值的形式后，根據基本不等式可求得最小值.
【解析】∵，∴
，當且僅當，時“=”成立，故的最小值為16.
【小結】本題考查了利用基本不等式求和的最小值，解題關鍵是變形為積為定值，才能用基本不等式求最值，屬于基礎題.
已知函數y＝loga
x＋1(a>0且a≠1)圖象恒過定點A，若點A在直線＋－4＝0(m>0，n>0)上，則
m＋n的最小值為________．
【解析】由題意可知函數y＝loga
x＋1的圖象恒過定點A(1,1)，∵點A在直線＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)＝≥＝1，當且僅當m＝n＝時等號成立，∴m＋n的最小值為1.
基本不等式與線性規劃相結合的最值問題
已知滿足約束條件，若目標函數的最大值為1（其中），則的最小值為（
）
A．3
B．1
C．2
D．
【分析】畫出可行域，根據目標函數最大值求關系式，再利用不等式求得最小值.
【解析】畫出可行域如下圖所示，由于，所以基準直線的斜率為負數，故目標函數在點處取得最大值，即，所以.
，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：D
【小結】本小題主要考查根據目標函數的最值求參數，考查基本不等式求最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.
基本不等式與數列相結合的最值問題
已知遞增等差數列中，，則的（
）
A．最大值為
B．最小值為4
C．最小值為
D．最大值為4或
【分析】根據等差數列的通項公式可用表示出.由數列單調遞增可得.用表示出,結合基本不等式即可求得最值.
【解析】因為，由等差數列通項公式,設公差為,可得，變形可得
因為數列為遞增數列,所以，即，而由等差數列通項公式可知
，由,結合基本不等式可得
，當且僅當時取得等號，所以的最小值為4。
【小結】本題考查了等差數列通項公式與單調性的應用,基本不等式在求最值中的用法,屬于中檔題.
已知a，b均為正數，且2是2a，b的等差中項，則的最小值為________．
【解析】由于2是2a，b的等差中項，故2a＋b＝4，又a，b均為正數，故2ab≤2＝4，
當且僅當2a＝b＝2，即a＝1，b＝2時取等號，所以的最小值為.
基本不等式與向量相結合的最值問題
如圖所示,已知點是的重心,過點作直線分別交，兩邊于，兩點，且，，則的最小值為______.
【分析】根據重心的性質有,再表達成的關系式,再根據,,三點共線可得系數和為1,再利用基本不等式求解即可.
【解析】根據條件：,,又,.
又,,三點共線,.,,.
的最小值為,當且僅當時“”成立.故答案為：.
【小結】本題主要考查了基底向量與向量的共線定理性質運用,同時也考查了基本不等式應用,屬于中等題型.
基本不等式與圓錐曲線相結合的最值問題
在平面直角坐標系中，
已知點，點在直線上，點滿足，，點的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動點，為C在點處的切線，求點到距離的最小值．
【解析】（Ⅰ）設，由已知得，．所以=，
=(0，)，
=(，-2).再由題意可知（+）??=0，
即（，）??(，－2)=0．
所以曲線C的方程式為．
（Ⅱ）設為曲線C：上一點，因為，所以的斜率為，
因此直線的方程為，即．
則點到的距離．又，所以
當=0時取等號，所以點到距離的最小值為2．
在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點使得直線：與圓O：
相交于不同的兩點，且面積最大？若存在，求出點坐標及相對應的面積；若不存在，請說明理由．
【解析】（Ⅰ）由，所以，設是橢圓上任意一點，
則，∴，
所以，當時，有最大值，可得，所以
故橢圓的方程為：
（Ⅱ）存在點滿足要求，使得面積最大．假設直線與圓
相交于不同兩點,則圓心到的距離，∴
①
因為在橢圓上，所以
②，由①②得：
∵所以，
由②得代入上式得，
當且僅當，∴，此時滿足要求的點有四個．
此時對應的的面積為．
基本不等式與圓相結合的最值問題
設，，若直線與圓相切，則取值范圍是（
）
A．
B．
C．　　　
D．
【解析】∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離
，所以，設，則，解得
.
基本不等式與不等式恒成立結合的最值問題
當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】將不等式恒成立轉化為最值問題，利用均值不等式求解即可.
【解析】當時，不等式恒成立，等價于在時恒成立
即等價于；而因為，故,當且僅當時取得最大值.故：。
【小結】本題考查二次函數在區間上的恒成立問題，分離參數，轉化為最值問題，是一般思路；本題中還涉及利用均值不等式求最值.屬綜合題.
已知，若不等式恒成立，則的最大值為（
）
A．9
B．12
C．16
D．20
【分析】可左右同乘，再結合基本不等式求解即可
【解析】，，
，當且僅當時，等號成立，故。
【小結】本題考查基本不等式求最值，屬于基礎題
基本不等式與立體幾何相結合的最值問題
如圖，三棱錐的四個頂點恰是長、寬、高分別是m，2，n的長方體的頂點，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據三棱錐的體積關系可得,根據三棱錐與長方體共外接球,長方體的對角線就是外接球的直徑可得,根據基本不等式可得半徑的最小值,進一步可得體積的最小值.
【解析】根據長方體的結構特征可知三棱錐的高為,所以,所以,又該三棱錐的外接球就是長方體的外接球,該外接球的直徑是長方體的對角線,設外接球的半徑為,所以,
所以,當且僅當時,等號成立,，所以,所以該三棱錐外接球體積為.故選:C
【小結】本題考查了三棱錐的體積公式,球的體積公式,長方體的對角線長定理,基本不等式,屬于中檔題.
基本不等式與解三角形相結合的最值問題
在中，內角的對邊另別是，已知，則的最大值為（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知可得，結合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.
【解析】,由正弦定理得，
由余弦定理得，，
，當且僅當時，等號成立，，
所以的最大值為.
【小結】本題考查三角函數的最值，考查正、余弦定理解三角形，應用基本不等式求最值，屬于中檔題.
的內角所對的邊分別為．
（I）若成等差數列，證明：；
（II）若成等比數列，求的最小值．
【解析】（1）成等差數列，，由正弦定理得
，
（2）成等比數列，，由余弦定理得
（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立）
（當且僅當時等號成立），即，所以的最小值為
模塊二、真題賞析
【2019年高考天津卷文數】設，則的最小值為__________.
【解析】.因為，
所以，即，當且僅當時取等號成立.
又因為所以的最小值為.
【小結】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立.
【2019年高考天津理數】已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
【解析】當時，恒成立；當時，恒成立，令，則
，當，即時取等號，
∴，則.當時，，即恒成立，令，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，則時，取得最小值，∴，綜上可知，的取值范圍是.
【小結】本題考查分段函數的最值問題，分別利用基本不等式和求導的方法研究函數的最值，然后解決恒成立問題.
(2018全國卷Ⅰ)已知函數，則的最小值是_____．
【解析】因為，
所以
，當且僅當，
即時取等號，所以，所以的最小值為．
(2018天津)已知，且，則的最小值為
．
【解析】由，得，所以，
當且僅當，即時等號成立．
（2017新課標Ⅰ）已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為
A．16
B．14
C．12
D．10
【解析】由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設為，的斜率為，由題意有設，，，，此時直線方程為，
取方程，得，∴
同理得，由拋物線定義可知
，當且僅當（或）時，取得等號．
（2017天津）若，，則的最小值為___________．
【解析】，當且僅當，且，即時取等號．
（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則的值是
．
【解析】總費用為，當且僅當，即時等號成立．
（2017浙江）已知，函數在區間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是
．
【解析】∵，∴
①當時，，
所以的最大值，即（舍去）
②當時，，此時命題成立．
③當時，，則
或，解得或，
綜上可得，實數的取值范圍是．
模塊三、模擬題匯編
1．（2020·武漢市第一中學高三）已知正實數，滿足，則的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】∵，∴，當且僅當時，等號成立，
∴，即的最小值是．
2.（2020陜西高三）設，，若，，，則下列關系式中正確的是
A．
B．
C．
D．
【解析】∵，∴，又在上單調遞增，故，
即，∵，∴．
3．（2020·山西實驗中學高三月考）已知函數，若對任意的正數，滿足，則的最小值為（
）
A．6
B．8
C．12
D．24
【分析】先確定奇偶性與單調性，再根據奇偶性與單調性化簡方程得，最后基本不等式求最值.
【解析】因為所以定義域為，因為，所以為減函數因為，,所以為奇函數，因為，所以，即，
所以，因為，所以（當且僅當，時，等號成立），選C.
【小結】本題考查函數奇偶性與單調性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
4.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1)
D．(－2－1,2－1)
【解析】由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2
，所以k＋1<2，即k<2－1。故選B。
5．若直線ax＋by－1＝0(a>0，b>0)過曲線y＝1＋sin
πx(0A.＋1
B．4
C．3＋2
D．6
【解析】本題考查三角函數的性質與基本不等式．注意到曲線y＝1＋sin
πx(06.設＝1，－2，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O為坐標原點)，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是(　　)
A．4
B.
C．8
D．9
【解析】∵＝－＝a－1，1，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三點共線，則有∥，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2
＝9，當且僅當即a＝b＝時等號成立．
7.（2020·天水市第一中學高三月考）實數滿足條件.當目標函數在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先將目標函數化為，由題中約束條件作出可行域，結合圖像，由題意得到，再由，結合基本不等式，即可求出結果.
【解析】由得，因為，所以直線的斜率為，
作出不等式對應的平面區域如下：
由圖像可得：當直線經過點時，直線在軸截距最小，此時最小。
由解得，即，此時目標函數的最小值為，
即，所以.
當且僅當，即時，等號成立.故選：D
【小結】本題主要考查簡單線性規劃與基本不等式的綜合，熟記基本不等式，會求解簡單的線性規劃問題即可，屬于常考題型.
8．（2020·天津市寧河區蘆臺第一中學高三）已知a，b均為正數，且，的最小值為________.
【分析】本題首先可以根據將化簡為，然后根據基本不等式即可求出最小值.
【解析】因為，所以，
當且僅當，即、時取等號，故答案為：.
9.(2020年重慶高三)設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且=2,則直線的斜率的最大值為
A．
B．
C．
D．1
【解析】設（不妨設），則，∵，
∴，∴∴
∴，故選C．
10.已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．
（Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程．
【解析】
（Ⅱ）
．
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