資源簡介

立體幾何高考大題的類型與解法
立體幾何問題是近幾年高考的熱點問題之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是數學高考試卷，都必有一個立體幾何問題的12分大題和一到兩個立體幾何問題的5分小題。從題型上看是18或19題的12分大題和選擇題（也可能是填空題）的5分小題；難度為中，低檔題型，一般的考生都會拿到7到12分。縱觀近幾年高考試卷，歸結起來立體幾何大題主要包括：①直線垂直直線的證明問題；②直線垂直平面的證明問題；③平面垂直平面的證明問題；④直線平行平面的證明問題；⑤平面平行平面的證明問題等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答立體幾何問題大題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，E，F分別為AB，CD的中點，CD=2AB=2EF=4，M為DF中點，現將四邊形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如圖②所示的多面體，在圖②中（2019成都市高三二診）。
（1）證明：EF⊥MC；
（2）（理）求二面角M—AB—D的余弦值。（文）求三棱錐M—ABD的體積.
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤建立空間直角坐標系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦三棱錐的定義與性質；⑧求三棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（1）運用證明直線垂直平面的基本方法，結合問題條件證明直線EF⊥平面DCF，根據直線垂直平面的性質就可證明直線EF⊥MC；（2）（理）建立空間直角坐標系F—xyz,根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點M，A，B，D的坐標，從而得到,
,
，,根據求平面法向量的基本方法分別求出平面MAB，平面DAB的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角M—AB—D的余弦值。（文）根據證明直線垂直平面的基本方法證明直線CF⊥平面ADFE,從而證明直線BE⊥平面ADFE,求出的值，利用=就可求出三棱錐M—ABD的體積。
【詳細解答】（1）在等腰梯形ABCD中，AB//CD，E，F分別是AB，CD的中點，
EF⊥AB，EF⊥CD，
EF⊥DF，EF⊥CF，DF，CF平面DCF，DFCF=F，直線EF
⊥平面DCF，MC平面DCF，
EF⊥MC；（2）（理）平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC平面AEFD=EF，EF⊥DF，DF
平面ADFE，DF⊥平面EFCB，
CF⊥DF，
EF⊥CF，以F為原點，，，分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角直角坐標系F—xyz，
E，F分別為AB，CD的中點，CD=2AB=2EF=4，M為DF中點，M（1，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），D（2，0，0），=（0，0，2）,
=（-1，1，2）,
=（-1，0，2），=（-2，1，2）,設平面MAB的法向量=（x，y，z），⊥，⊥，2z=0①，-x+y+2z=0②,聯立①②解得x=1,y=1，z=0，=（1，1，0），設平面DAB的法向量=（，，），⊥，⊥，-+2=0③，-2++2=0④，聯立③④解得=2，=2，=1，=（2，2，1），設二面角M—AB—D為，cos===,二面角M—AB—D的余弦值為。（文）
E，F分別為AB，CD的中點，CD=2AB=2EF=4，M為DF中點，AM=2，DM=1,
=12=1,
平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC平面AEFD=EF，EF⊥DF，DF
平面ADFE，DF⊥平面EFCB，
CF⊥DF，
EF⊥CF，DF，EF平面DCF，DFEF=F，直線CF⊥平面ADFE，BE//CF，直線BE⊥平面ADFE，BE=1，==11=。
2、如圖①，在等腰梯形ABCD中，已知AB//CD，ABC=，CD=2，AB=4，點E為AB的中點；現將三角形BEC沿線段EC折起，形成直二面角P—EC—A，如圖②，連接PA，PD得四棱錐P—AECD，如圖③（2018成都市高三三診）。
（1）求證：PD⊥EC；
（2）（理）求平面PEC與平面PAD所成的銳二面角的余弦值。（文）求四棱錐P—AECD的體積。
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤建立空間直角坐標系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦四棱錐的定義與性質；⑧求四棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（1）連接DE，DB，DB與CE相交于點Q，運用證明直線垂直平面的基本方法，結合問題條件證明直線CE⊥平面PDQ，根據直線垂直平面的性質就可證明直線E⊥PD；（2）（理）建立空間直角坐標系Q—xyz,根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點C，A，E，D，P的坐標，從而得到,
,
，,根據求平面法向量的基本方法分別求出平面PAD，平面PCE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出平面PAD與平面PCE所成銳二面角的余弦值。（文）根據證明直線垂直平面的基本方法證明直
線PQ⊥平面AECD,求出的值，利用求四棱錐體積的基本方法就可求出四棱錐P—
AECD的體積。
【詳細解答】（1）連接DE，DB，DB與CE相交于點Q，AB//CD，
CD=2，AB=4，點E為AB的中點，AECDBE，四邊形AECD是平行四邊形，四邊形EBCD是平行四邊形，AD=CE，AD=BC，CE=BC，ABC=，BE=CE，四邊形BEDC是菱形，BD⊥CE，PQ⊥CE，
DQ⊥CE，PQ,DQ平面PDQ，DQPQ=Q，直線CE⊥平面PDQ，PD平面PDQ，
PD⊥EC；（2）（理）PQ⊥CE，平面AECD
⊥平面PCE，平面AECD平面PCE=CE，
PQ平面PCE，PQ⊥平面AECD，PQ⊥CE，
PQ⊥DQ,
DQ⊥CE，如圖以Q為原點，,,分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系Q—xyz，C（1，0，0），E（-1，0，0），D（0，，0），P（0，0，），A（-2，，0），=（-2，，-）,
=（0，，-）,
=（1，0，-），=（-1，0，-）,設平面PAD的法向量為=（x，y，z），⊥，⊥，-2x+y-z=0①，y-z=0②,聯立①②解得x=0,y=1，z=1，=（0，1，1），設平面PCE的法向量為=（，，），⊥，⊥，-=0③，--=0④，聯立③④解得=0，=1，=0，=（0，1，0），設平面PAD與平面PCE所成的銳二面角為，cos=｜｜=｜｜=，平面PAD與平面PCE所成的銳二面角的余弦值為。（文）PQ⊥CE，平面AECD
⊥平面PCE，平面AECD平面PCE=CE，
PQ平面PCE，PQ⊥平面AECD，=22
=2,=2=2。
〖思考問題1〗
（1）【典例1】是直線垂直直線的證明問題，解答這類問題需要理解直線垂直直線，直線垂直平面的基本概念；掌握證明直線垂直平面，直線垂直直線的基本方法；
（2）證明直線垂直直線的基本方法是：①證明兩條直線中的一條直線垂直另一條直線所在的平面；②利用直線垂直平面的性質證明直線垂直直線。
[練習1]解答下列問題：
1、（理）如圖，在三棱柱ABC—中，已知BAC=，AB=AC=1，AB=。
（1）證明：ABC；
（2）若C=2，求二面角—C—A的余弦值。
（文）如圖，在三棱柱ABC—中，已知BAC=，AB=AC=1，B=2，AB
=。
（1）證明：ABC；
（2）若C=2，求三棱錐—CA的體積（2017成都市高三零珍）
（1題理科圖）
（1題文科圖）
（2題圖）
2、如圖三棱柱ABC—中，點A在平面ABC內的射影D在AC上，ACB=，
BC=1，AC=C=2。
（1）證明：A⊥B；
（2）設直線A與平面BC的距離為，求二面角—AB—C的大小（2014全國高考大綱卷）
【典例2】解答下列問題：
1、（理）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD為菱形，且ABC=，E為BC的中點。
（1）證明：BC⊥平面PAE；
（2）若AB=2，PA=1，求平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值。
（文）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD為菱形，且ABC=，E，F分別為BC，CD的中點。
（1）證明：BC⊥平面PAE；
（2）點Q在棱PB上，且=，證明：PD//平面QAF（2020成都市高三一診）
（理科圖）
（文科圖）
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平
面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤建立空間直角坐標系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦四棱錐的定義與性質；⑧求四棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線BC⊥AE，BC⊥AP，根據證明直線垂直平面的基本方法就可證明直線BC⊥平面PAE；（2）（理）建立空間直角坐標系P—xyz,根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點P，A，B，C，D的坐標，從而得到,
，，,根據求平面法向量的基本方法分別求出平面PAB，平面PCD的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值。（文）根據證明直線平行直線的基本方法證明直線MQ//PD，利用證明直線//平面的基本方法就可證明直線PD//平面QAF。
【詳細解答】（1）如圖，四邊形ABCD是菱形，ABC=，ABC
是正三角形，E是BC的中點，AEBC，AP平面PBC，BC平面PBC，PABC，PAAE=A，AE，AP平面APE，
BC平面APE；（2）（理）AP平面PBC，PB平面PBC，PAPB，AB=2，PA=1，PB=，由（1）知BC
平面APE，PE平面APE，BCPE，E是BC的中點，PB=PC=，BE=1，PE=，如圖，過P作PQ//BC，交CD于點Q，PE，PQ，PA兩兩互相垂直，以P為原點，，，分別為X，Y，Z軸的正方向
建立空間直角坐標系P-xyz，
P（0，0，0），A（0，0，1），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，1），=（0，0，1），=（，-1，0），=（，1，0），=
（0，2，1），設平面BAP的法向量為=（x，y，z），，，
.=0+0+z=0①，
.=x-y+0=0②，聯立①②解得
x=1，y=,
z=0，=（1，，0），設平面PCD的法向量為=（，，），，,.
=++0=0③，.=0+2+=0④，聯立③④解得=1，=-，=2，=（1，-，2），設平面BAP與平面PCD所成角為，
cos
=||=||=||=。平面BAP與平面PCD所成銳二面角的余弦值為。（文）連接BD交AF于點M，連接QM，F
是DC的中點，
==，=，
=，
=，MQ//PD，
MQ
平面AQF，PD平面AQF，直線PD//平面AQF。
2、（理）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，ABC
是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO=DO。
（1）證明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B—PC—E的余弦值。
（文）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，
ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，APC=（2020全國高考新課標I）。
（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P—ABC的體積。
（理科圖）
（文科圖）
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平
面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤證明平面垂直平面的基本方法；
⑥建立空間直角坐標系的基本方法；
⑦求二面角余弦值的基本方法；
⑧三棱錐的定義與性質；⑨求三棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（理）（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線PA⊥PB，PA⊥PC，根據證明直線垂直平面的基本方法就可證明直線PA⊥平面PBC；（2）建立空間直角坐標系O—xyz,設正ADE的邊長為1，根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點E，P，B，C的坐標，從而得到，，,根據求平面法向量的基本方法分別求出平面PBC，平面PCE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角B—PC—E的余弦值。（文）（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線PB⊥PA，PB⊥PC，從而根據證明直線垂直平面的基本方法證明直線PB⊥平面PAC，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明平面PAB⊥平面PAC；（2）根據圓錐的性質，結合問題條件分別求出圓錐底面半徑和母線的值，從而求出正ABC的面積，利用求三棱錐體積的基本方法就可求出三棱錐P—ABC的體積。
【詳細解答】（理）（1）如圖，
D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD，
P為DO上一點，
ADE是正三角形，設AE=1，
O是圓錐底面的圓心，P為DO上一點，PO=DO，DO=,BO=CO=,PO=,PC==,
PC=
=,ABC是正三角形，=2OAAB=,+
==,
PA⊥PB，同理可證PA⊥PC，PBPC=P，PB，PC平面PBC，
PA平面PBC；（2）過O作ON//BC交AB于點N，PO⊥平面ABC，OA，ON平面ABC，
PO⊥0A，
PO⊥ON，以O為原點，,,分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系O—xyz，E（-，0，0），P（0，0，），B（-，，0），C（-，-，0），=（-，，-），=（-，-，-），=（-，0，-），設平面PBC的法向量為=（x，y，z），，，
.=-x+y-z=0①，
.=-x-y-z
=0②，聯立①②解得
x=-，y=0,z=1,=（-，0，1），設平面PCE的法向量為=（，，），，,.
=---=0③，.=-+0-=0④，聯立③④解得=，=1，=-，=（，1，-），設二面角B—PC—E為，
cos
=｜｜=｜｜=|-|=。二面角B—PC—E的余弦值為。
（文）（1）如圖，O是圓錐底面的圓心，P為DO上一點，PA=PB=PC,
APC=PA⊥PC,
+=,
ABC是正三角形，AB=AC=BC，+=,+=，PB⊥PA,
PB⊥PC,PAPC=P，PA，PC平面PAC，
PB平面PBC,
PB平面PAB，平面PAB⊥平面PAC；（2）設圓錐底面圓的半徑為r，母線長為l，2+=①,
rl=②,
聯立①②解得r=1，l=，ABC是正三角形，
AB=AC=BC=，PA=PB=PC=,PO==，=
=，==。
3、如圖，在四棱錐P—ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，設平面PAD與平面PBC的交線為l。
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1,Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值（2020全國
高考新高考II）
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平
面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤證明直線平行平面的基本方法；
⑥建
立空間直角坐標系的基本方法；
⑦求直線與平面所成角正弦值的基本方法；
⑧求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線AD⊥PD，AD⊥CD，根據證明直線垂直平面的基本方法就可證明直線AD⊥平面PCD,根據證明直線平行平面的基本方法證明直線AD//平面PBC,從而得到AD//L就可證明直線l⊥平面PCD；（2）建立空間直角坐標系D—xyz,設點Q（a，0，1）,根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點D，C，B，P的坐標，從而得到，，,根據求平面法向量的基本方法求出平面QCD的法向量，由求直線與平面所成角正弦值的基本方法得到關于a的函數，利用求函數最值的基本方法就可求出直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值。
【詳細解答】（1）如圖，
PD⊥底面ABCD，DC平面ABCD,
AD⊥PD，四邊形ABCD是正方形，
AD⊥CD，PDCD=D，PD，CD平面PCD，
AD平面PCD,
AD//
BC,AD平面PBC，BC平面PBC，AD//平面PBC，AD平面PAD，平面PAD平面PBC=l，AD//l，l平面PCD；(2)
PD⊥底面ABCD，AD,DC平面ABCD,
PD⊥AD，PD⊥CD，四邊形ABCD是正方形，
AD⊥CD，以D為原點，,,分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系D—xyz，設點Q（a，0，1）,
D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），=（a，0，1）,=
（0，1，0）,
=
（1，1，-1）,
設平面QCD的法向量為=（x，y，z），，.=
a
x+
0+z=0①，
.=0+
y
+0=0②，聯立①②解得
x=1，y=0,z=-
a,=（1，0，-
a），設直線PB與平面QCD所成角為，sin===.=
.,當且僅當a=1時，等號成立，直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為。
〖思考問題2〗
（1）【典例2】是直線垂直平面的證明問題，解答這類問題需要理解直線垂直直線，直線
垂直平面的基本概念；掌握證明直線垂直平面，直線垂直直線的基本方法；
（2）證明直線垂直平面的基本方法有：
①直線垂直平面的判定定理；②運用平行線垂直平面的傳遞性；③運用平面垂直平面的性質1；④運用平面垂直平面的性質2；⑤
運用平面垂直平面的性質3；
（3）運用直線垂直平面的判定定理證明的基本方法是：①在平面內找兩條相交直線；②證明直線與這兩條相交直線分別垂直；③得出結論；
（4）運用平行線垂直平面的傳遞性證明直線垂直平面的基本方法是：①證明兩條直線平行，②證明其中一條直線垂直平面；③得出結論；
（5）運用平面平行平面的性質1證明直線垂直平面的基本方法是：①證明兩個平面平行；②證明直線與其中的一個平面垂直；③得出結論；
（6）運用平面垂直平面的性質定理2證明直線垂直平面的基本方法是：①證明兩個平面垂直；②在一個平面內找一條直線證明它與兩個平面的交線垂直；③得出結論；
（7）運用平面垂直平面的性質定理3證明直線垂直平面的基本方法是：①找到以直線為交線的兩個相交的平面；②分別證明這兩個平面與第三個平面垂直；③得出結論
[練習2]解答下列問題：
1、（理）如圖，在多面體ABCDE中，已知四邊形BCDE為平行四邊形，平面ABC⊥平面ACD，M為AD的中點，AC⊥BM,AC=BC=1,AD=4，CM=。
（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）求二面角D-BM-E的余弦值。
（文）如圖，在三棱錐A—BCD中，平面ABC⊥平面ACD，M為AD的中點，AC⊥BM，AC=BC=1，AD=4，CM=。
（1）求證：CM⊥平面ABC；
（2）求三棱錐A—BCD的體積（2019成都市高三零診）
（理科圖）
（文科圖）
（2題圖）
（3題圖）
2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分別是AD，CD的中點（2019成都市高三三診）。
（1）證明：BD⊥平面PEF；
（2）（理）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。（文）若M是棱PB上一點，三棱錐M—PAD與三棱錐P—DEF的體積相等，求的值。
3、如圖，長方體ABCD—的底面ABCD是正方形，點E在棱A上，BEE。
（1）證明：BE平面E；
（2）（理）若AE=E，求二面角B—EC—的正弦值。（文）若AE=E，AB=3，求四
棱錐E—BC的體積（2019全國高考新課標II）
【典例3】解答下列問題：
1、（理）如圖，在四棱錐P-ABCD中，O是邊長為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E為BC的中點。
（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PE=3，求二面角D—PE—B的余弦值。
（文）如圖，在四棱錐P-ABCD中，O是邊長為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分別為AB，BC的中點。
（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PE=3，求三棱錐B—PEM的體積（2020成都市高三二診）。
（理科圖）
（文科圖）
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平
面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤證明平面垂直平面的基本方法；
⑥建立空間直角坐標系的基本方法；
⑦求二面角余弦值的基本方法；
⑧三棱錐的定義與性質；⑨求三棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（理）（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線BD⊥AC，BD⊥PO，從而根據證明直線垂直平面的基本方法證明直線BD⊥平面PAC,利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明平面PAC⊥平面PBD；（2）取AB的中點M，連接OM，OE，建立空間直角坐標系O—xyz,根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點B，D，P，E的坐標，從而得到，，根據求平面法向量的基本方法分別求出平面PBE，平面PDE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角D—PE—B的余弦值。（文）（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線AC⊥BD，AC⊥PD，從而根據證明直線垂直平面的基本方法證明直線AC⊥平面PBD，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明平面PAC⊥平面PBD；（2）根據正方形的性質，結合問題條件分別求出PO,
的值，利用求三棱錐體積的基本方法就可求出三棱錐B—PME的體積。
【詳細解答】（1）如圖，
PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD,
BD⊥PO，
O是邊長為4的正方形ABCD的中心，
BD⊥AC，P0AC=O，PO，AC平面PAC，
BD平面PAC,
BD平面PBD，平面PBD⊥平面PAC；(2)
（理）
取AB的中點M，連接OM，OE，
PO⊥平面ABCD，OM，OE平面ABCD,
PO⊥OM，
PO⊥OE，M，E分別是正方形ABCD邊AB，BC的中點，
OM⊥OE，以O為原點，
，
，分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系O—xyz,
PE=3，B(2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，
)，E(0，2，0)，=(-2，0，0)，=(0，2，-)，=(2，4，0)，設平面PBE
的法向量為=（x，y，z），，，
.=-2x+0+0=0①，.
=0+2y-z
=0②，聯立①②解得
x=0，y=,z=1,=（0，，1），設平面PDE的法向量為=（，，），，,.=2+4+0=0③，.
=0+2-=0④，聯立③④解得=-2，=1，=，=（-2，1，），設二面角D—PE—B為，
cos
=-=-=-=-，二面角D—PE—B的余弦值為-。(文)連接OE，
O是邊長為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，PE=3，PO==，
M，E分別為AB，BC的中點，
=22=2，==2=,三棱錐B—PEM的體積為。
2、（理）如圖四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF。
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值。
（文）如圖在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，ACM=，以AC為折痕把ACM折起，
使點M到達點D的位置，且AB⊥DA（2018全國高考新課標I卷）。
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=DA，求三棱錐Q—ABP的體積。
（理科圖）
（文科圖）
【解析】
【考點】①直線垂直直線的定義與性質；②直線垂直平面的定義與性質；③證明直線垂直平
面的基本方法；④證明直線垂直直線的基本方法；⑤證明平面垂直平面的基本方法；
⑥建
立空間直角坐標系的基本方法；
⑦求直線與平面所成角正弦值的基本方法；
⑧三棱錐的定
義與性質；⑨求三棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（理）（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線BF⊥EF，BF⊥PF，從而根據證明直線垂直平面的基本方法證明直線BF⊥平面PEF,利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明平面平面PEF⊥平面ABFD；（2）過P作PO⊥EF于點O，過O作OM//AD交AB于點M，建立空間直角坐標系O—xyz,設AB=2，根據確定點的坐標的基本方法，結合問題條件分別得到點D，P的坐標，從而得到，根據求平面法向量的基本方法求出平面ABDF的法向量，利用求直線與平面所成角正弦值的基本方法就可求出直線DP與平面ABFD所成角的正弦值。（文）（1）運用證明直線垂直直線的基本方法，結合問題條件證明直線AB⊥AC，AB⊥AD，從而根據證明直線垂直平面的基本方法證明直線AB⊥平面ACD，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明平面ACD⊥平面ABC；（2）根據正方形的性質，結合問題條件分別求出PO,
的值，利用求三棱錐體積的基本方法就可求出三棱錐B—PME的體積。
【詳細解答】（理）（1）如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F分別是邊AD，BC的中點，
BF⊥EF，BF⊥PF，PFEF=F，PF，EF平面PEF，
BF平面PEF,
BF平面ABFD，平面PEF⊥平面ABFD；(2)
過P作PO⊥EF于點O，過O作OM//BC交AB于點M，平面PEF⊥平面ABFD,
平面PEF平面ABFD=EF，PO⊥EF，PO平面PEF，
PO平面ABFD,
POOF
，POOM，OM//BC，
EF⊥BC，
OFOM，以O為原點，，
，
分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系O—xyz，設AB=2，點O（0，0，0），D（-1，-，0），P（0，0，），=（1，，），=（0，
0，），設直線DP與平面ABFD所成角為，sin==
=，直線DP與平面ABFD所成角的正弦值為。
（文）(1)
四邊形ABCM是平行四邊形，ACM=，
AB⊥AC，AB⊥AD，ACAD=A，AC，AD平面ACD，
AB平面ACD,
AB平面ABC，平面ACD⊥平面ABC；
(2)
AB=AC=3，ACM=，BC=AM=3，
BP=DQ=DA=2，
CD⊥AB，
CD⊥AC，ABAC=A，AB，AC平面ABC，
CD平面ABC,
==
33=3,=33=1，三棱錐Q—ABP的體積為1。
〖思考問題3〗
（1）【典例3】是平面垂直平面的證明問題，解答這類問題需要理解直線垂直直線，直線
垂直平面，平面垂直平面的基本概念；掌握證明直線垂直直線，直線垂直平面，平面垂直平面的基本方法；
（2）證明平面垂直平面的基本方法是：
①運用證明直線垂直直線的基本方法證明直線垂直直線；②運用證明直線垂直平面的基本方法證明直線垂直平面；③運用證明平面垂直平面的基本方法證明平面垂直平面。
[練習3]解答下列問題：
1、（理）如圖邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD弧上異于C，D的點。
（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）當三棱錐M—ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值。
（文）如圖矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD弧上異于C，D的點。
（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC//平面PBD？說明理由（2018全國高考新課標III卷）
（1題理科圖）
（1題文科圖）
（2題理科圖）
（2題文科圖）
2、（理）如圖（1）在邊長為5的菱形ABCD中，AC=6，現沿對角線AC把ADC翻折到APC的位置得到四面體P—ABC，如圖（2）所示，已知PB=4。
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若Q是線段AP上的點，且=，求二面角Q—BC—A的余弦值。
（文）如圖在四面體P—ABC中，PA=PC=AB=BC=5，AC=6，PB=4，線段AC，AP的中點分別為O，Q。
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求四面體P—OBQ的體積（2018成都市高三一診）
【典例4】解答下列問題：
1、如圖，在多面體ABCDEF中，ADEF為矩形，ABCD為等腰梯形，BC//AD，BC=2，AD=4，且AB⊥BD，平面ADEF⊥平面ABCD，M，N分別為EF，CD的中點（2020成都市高三三診）。
（1）求證：MN//平面ACF；
（2）（理）若直線FC與平面ADEF所成角的正弦值為，求多面體ABCDEF的體積。（文）若DE=2，求多面體ABCDEF的體積。
（理科圖）
（文科圖）
【解析】
【考點】①直線平行直線的定義與性質；②直線平行平面的定義與性質；③平面平行平面的定義與性質；
④證明直線平行直線的基本方法；
⑤證明直線平行平面的基本方法；
⑥建立空間直角坐標系的基本方法；⑦多面體體積的定義與性質；⑧求多面體體積的基本方法。
【解題思路】（1）取AD的中點O，連接OM，ON，運用證明直線平行直線的基本方法，結合問題條件證明直線ON//AC，從而根據證明直線平行平面的基本方法證明直線ON//平面ACF，同理可證直線OM//平面ACF，利用證明平面平行平面的基本方法證明平面ONM//平面ACF，由平面平行平面的性質就可證明直線MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中點T，連接OT，OB，運用建立空間直角坐標系的基本方法建立空間直角坐標系O—xyz，根據求點坐標的基本方法求出點C，F的坐標，從而得到和平面ADEF的法向量，利用直線與平面所成角的正弦值，結合問題條件求出AF的值，由求多面體體積的基本方法通過運算就可求出多面體ABCDEF的體積。（文）過C作CH⊥AD于H，連接OB，OC，BE，運用證明直線垂直平面的基本方法證明直線CH⊥平面ADEF，直線DE⊥平面ABCD，結合問題條件求出OB，OC，CH的值，利用求多面體體積的基本方法通過運算就可求出多面體ABCDEF的體積。
【詳細解答】（1）取AD的中點O，連接OM，ON，O，N分別是AD，CD的中點，ON//AC，
AC平面ACF，ON平面ACF，
ON//平面ACF，同理可證OM//平面ACF，
ON，OM平面OMN，ONOM=O，平面
OMN//平面ACF，
MN平面OMN，
MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中點T，連接OT，OB，BE，四邊形ABCD是等腰梯形，O為AD的中點，OT⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，OT平面ABCD，OT⊥平面ADEF，
OT⊥OM
，OT⊥OD，四邊形ADEF是矩形，M，O分別是EF，AD的中點，OM⊥OD，以O為原點，，，分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系O—xyz，設AF=h，直線FC與平面ADEF所成角為，
BC=2，AD=4，AB⊥BD，C（，1，0），F（0，-2，h），=（，3，-h），=（，0，0），sin====，h=2，
=+=+=42+22=+=。（文）如圖，過C作CH⊥AD于H，連接OB，OC，BE，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，CH平面ABCD，CH⊥平面ADEF，同理可證DE⊥平面ABCD，
BC=2，AD=4，AB⊥BD，OB=OC=AD=2，CH==，=
+=+=42+22=+=。
2、如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，ABC=，PA⊥平面ABCD，點M是棱PC的中點（2019成都市高三一診）。
（1）證明：PA//平面BMD；
（2）（理）當PA=時，求直線AM與平面PBC所成角的正弦值。（文）當PA=時，
求三棱錐M—PAD的體積。
【解析】
【考點】①四棱錐的定義與性質；②證明直線平行直線的基本方法；③證明直線平行平面的基本方法；④建立空間直角坐標系的基本方法；⑤求直線與平面所成角正弦值的基本方法；⑥三棱錐的定義與性質；⑦求三棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（1）連接AC交BD于點O，連接OM，運用證明直線平行直線的基本方法，結合問題條件證明直線PA//OM，從而根據證明直線平行平面的基本方法就可證明直線PA//平面BMD；（2）（理）過A作AH⊥AD于A交BC于點H，運用建立空間直角坐標系的基本方法建立空間直角坐標系A—xyz，得到點A，B，C，P，M的坐標，從而求出，，，根據求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，利用求直線與平面所成角正弦值的基本方法就可求出直線AM與平面PBC所成角的正弦值。（文）由PA平面ABCD，四邊形ABCD是菱形可證明BD平面PAC，從而證明DO平面PAM，根據菱形ABCD的棱長為2，ABC=，利用三棱錐的體積計算公式求出三棱錐M-PAD的體積。
【詳細解答】（1）如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，四邊形ABCD是菱形，O是AC的中點，M是PC的中點，MO//PA，PABMD內，MO平面BMD，
PA//平面BMD；（2）（理）如圖，過A作AE
AD于A，交BC于點E，PA
平面ABCD，AD，AE平面ABCD，PAAD，PAAE，以A為原點，，，分別為X，Y，Z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz，菱形ABCD的邊長為2，ABC=，AP=，A(0，0，0)，P（0，0，），B（，-1，0），C（，1，0），M（，，），=（，，），=（，-1，-），=（，1，-），設平面PBC的法向量為=（x，y，z），由，x-y-z=0，x=1，y=0，
，
x+y-z=0，z=1，
=（1，0，1），設直線AM與平面PBC所
成角為，sin=|cos<>|=||
=||=。（文）如圖，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，ABCD是菱形，BDAC，PA
AC=A，PA，AC平面PAC，BD平面PAC
，DO平面PACM，菱形ABCD
的邊長為2，ABC=，AP=DO=2=，PC===，==2=，
===。
3、如圖，直四棱柱ABCD—的底面是菱形，A=4，AB=2，BAD=，E，M，N分別是BC，B，D的中點（2019全國高考新課標I）。
（1）證明：MN//平面DE
；
（2）（理）求二面角A—M—N的正弦值。（文）求點C到平面DE的距離。
【解析】
【考點】①四棱柱的定義與性質；②證明直線平行直線的基本方法；③證明直線平行平面的基本方法；④建立空間直角坐標系的基本方法；⑤求二面角正弦值的基本方法；⑥點到平面距離的定義與性質；⑦求點到平面距離的基本方法。
【解題思路】（1）連接ME，C，運用證明直線平行直線的基本方法，結合問題條件證明直線MN//DE，從而根據證明直線平行平面的基本方法就可證明直線MN//平面DE；（2）（理）連接AC，BD相較于點O，連接，相較于點，連接O，取AB的中點F，連接DF，運用建立空間直角坐標系的基本方法建立空間直角坐標系O—xyz，得到點A，，M，N，D，F的坐標，從而求出，，，根據求平面法向量的基本方法求出平面MN的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角A—M—N的余弦值，從而求出二面角A—M—N的正弦值。（文）由PA平面ABCD，四邊形ABCD是菱形可證明BD平面PAC，從而證明DO平面PAM，根據菱形ABCD的棱長為2，ABC=，利用三棱錐的體積計算公式求出三棱錐M-PAD的體積。
【詳細解答】（1）如圖，連接ME，C，
M，E分別是B，BC的中點，ME//C，
ME=C，四邊形DC是平行四邊形，N是D的中點，ME//ND，ME=ND，四邊形MNDE是平行四邊形，MN//ED，MN平面BMD內，DE平面DE，
直線MN//平面DE；（2）（理）連接AC，BD相較于點O，連接，相較于點，連接O，取AB的中點F，連接DF，四邊形ABCD是菱形，ACBD，四棱柱ABCD—是直四棱柱，D//O，
O平面ABCD，
OOA
，OOC，以O為原點，，，
分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系O—xyz，A=4，AB=2，BAD=，E，M，N分別是BC，B，D的中點，
A（，0，0），（，0，4），M（0，1，2），N（，-，2），D（0，-1，0），F（，，0），=（，-1，2），=（，-，0），=（，，0），
A平面ABCD，DF平面ABCD，
ADF，
ABDF，ABA=A，AB，A平面AB，
DF平面AB,是平面AM的一個法向量，設平面MN的法向量為=（x，y，z），，，
.=x-y+2z=0①，.=x-y+0
=0②，聯立①②解得
x=，y=1，z=-1，=（，1，-1），
設二面角A—M—N為，cos===，sin
==，二面角A—M—N的正弦值為。（文）如圖，過C作CHE于H，C平面ABCD，DE平面ABCD，
CDE，
DEBC，BCC=C，BC，C平面BC，
DE平面BC,
DECH，
CHE，DEE=E，DE，E平面DE，
CH平面DE,
CH的長是點C到平面DE的距離，
A=4，AB=2，BAD=，E是BC的中點，E==，
CH==，點C到平面DE的距離為。
〖思考問題4〗
（1）【典例4】是直線平行平面的證明問題，解答這類問題需要理解直線平行直線，直線
平行平面，平面平行平面的基本概念；掌握證明直線平行直線，直線平行平面，平面平行平面的基本方法；
（2）證明直線平行平面的基本方法有：①運用直線平行平面的判定定理；②運用平面平行平面的性質定理；
（3）運用直線平行平面的判定定理證明，關鍵是在平面內找到與已知直線平行的直線，一般思路是：①考慮平面內有沒有這樣的直線，如果有，可直接證明它與已知直線平行；②如果平面內沒有這樣的直線，則需要通過作輔助線來確定，作輔助線的基本思路是：1》若圖形中涉及到中點，應考慮取線段的中點并結合三角形的中位線解決問題，2》若圖形中直角（或垂直）較多，應考慮作垂線來確定，并結合直角（或垂直）的特殊性質解決問題，3》若圖形中有等腰三角形（或等邊三角形）應考慮取底邊的中點，運用其三線合一的性質；
（4）運用平面平行平面的性質定理證明的基本方法是：①證明兩個平面平行；②運用平面平行平面的性質得到結論。
[練習4]解答下列問題：
1、在平行六面體ABCD—中，A=AB，A⊥。
（1）求證：AB//平面C；
（2）求證：平面AB⊥平面BC（2018全國高考江蘇卷）
2、（理）如圖，四棱錐P—ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=，E是PD的中點。
（1）證明：直線CE//平面PAB；
（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角M—AB—D的
余弦值。
（文）如圖，四棱錐P—ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，
BAD=ABC=。
（1）證明：直線BC//平面PAD；
（2）若PAD面積為2，求四棱錐P—ABCD的體積（2017全國高考新課標II卷）
3、如圖，已知梯形CDEF與ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB//CD//EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，連接BC，BF。
（理）（1）若G為AD邊上一點，DG=DA，求證：EG//平面BCF；
（2）求二面角E—BF—C的余弦值。
（文）（1）若G為AD邊上一點，DG=DA，求證：EG//平面BCF；
（2）求多面體ABCDEF的體積（2017成都市高三二診）
（1題圖）
（2題理科圖）
（2題文科圖）
（3題圖）
【典例5】解答下列問題：
1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分別為AD，PA的中點（2020成都市高三零診）。
（1）證明：平面BMN//平面PCD；
（2）（理）若AD=6，CD=，求平面BMN與平面BCP所成二面角的余弦值。（文）若AD=6，求三棱錐P-BMN的體積。
【解析】
【考點】①直線平行直線的定義與性質；②直線平行平面的定義與性質；③平面平行平面的定義與性質；
④證明直線平行直線的基本方法；
⑤證明直線平行平面的基本方法；
⑥證明平面平行平面的基本方法；
⑦建立空間直角坐標系的基本方法；
⑧求二面角余弦值的基本方法；⑨三棱錐的定義與性質；⑩求三棱錐體積的基本方法。
【解題思路】（1）運用證明直線平行平面的基本方法，結合問題條件證明MN//平面PCD，BM//平面PCD，利用判定平面平行平面的基本方法就可證明平面BMN//平面PCD；（2）（理）如圖，運用建立空間直角坐標系的基本方法建立空間直角坐標系M—xyz，根據確定空間點坐標的基本方法，結合問題條件得到點A，P，B，D，C，M的坐標，從而求出點N的坐標，利用求平面法向量的基本方法分別求出平面BMN，平面BPC的法向量，，由求二面角余弦值的公式通過運算就可求出平面BMN與平面BCP所成銳二面角的余弦值。（文）運用判定直線垂直平面的基本方法，結合問題條件證明BM平面PAD，從而證明BM平面PMN，利用求三棱錐體積的公式與基本方法通過運算就可求出三棱錐P—BMN的體積。
【詳細解答】（1）如圖，M，N分別是AD，PA的中點，MN//PD，MN平面PCD，PD平面PCD，
MN//平面PCD，AB=AD，BAD=，ABD是正三角形，
M是AD的中點，
BMAD，
ADCD，BM//CD，BM平面PCD，CD平面PC
D，
BM//平面PCD，
BM，MN平面BMN，BM
MN=M，平面BMN//平面PCD；（2）連接PM，
PA
=PD，M是AD的中點，
PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平ABCD=AD，PM平面PAD，
PM平面ABCD，
PMMD，
PMMB，如圖，以M為原點，，，分別為
X，Y，Z軸的正方向建立空間直角坐標系M—xyz，
AD=6，CD=，M（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），C（，3，0），D（0，3，0），P（0，0，3），N（0，-，），=（-3，0，0），=（-3，-，），=（-2，3，0），=（-3，0，3），設平面BMN的法向量為=（x，y，z），設平面BCP的法向量為=（，，），，
.=-3x+0+0=0①，，.=-3x-y+z=0，聯立①②解得
x=0，y=1，z=1，=（0，1，1），
，.=-3+0+3=0③，
，
.=-2+3+0=0④，聯立③④解得=1，=，=，=（1，
，），設平面BMN與平面BCP所成銳二面角為，cos=||=|
|=
=
，平面BMN與平面BCP所成銳二面角的余弦值為。（文）連接PM，
PA=PD，M是AD的中點，
PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平ABCD=AD，PM平面PAD，
PM平面ABCD，
PMMB，由（1）知BMAD，PM，AD平面PAD，PMAD=M，
BM平面PAD，
BM平面PMN，
AD=6，PAPD，，PA=PD，PM=AM=3，=33=，
N是PA的中點，==，AB=AD=6，BAD=，ABD是正三角形，BM=6=3，==3=。
2、如圖所示，在三棱柱ABC—中，E，F，G，H分別是AB，AC，，的中點。
（1）證明：B，C，H，G四點共面；
（2）證明：平面EF//平面BCHG.。
【解析】
【考點】①三棱柱的定義與性質；②證明四點共面的基本方法；③直線平行直線的定義與性質；④直線平行平面的定義與性質；⑤平面平行平面的定義與性質；⑥證明直線平行直線的基本方法；⑦證明直線平行平面的基本方法；⑧證明平面平行平面的基本方法。
【解題思路】（1）運用證明直線平行直線的基本方法和三棱柱的性質，結合問題條件證明直線GH//BC，根據證明四點共面的基本方法就可證明B，C，H，G四點共面；（2）運用證明直線平行平面的基本方法，結合問題條件證明直線EF//平面BCHG，直線E//平面BCHG，
利用證明平面平行平面的基本方法就可證明平面EF//平面BCHG.。
【詳細解答】（1）G，H分別是，的中點，
H
GH//，
ABC—是三棱柱，BC//
G
，GH//BC，
B，C，H，G四點共面；
A
F
C
（2）E，F分別是AB，AC的中點，EF//BC，
E
B
EF平面BCHG，BC平面BC
HG，
直線EF//平面BCHG，G//EB，G=EB，
四邊形EBG是平行四邊形，E//BG，
E平面BCHG，BG平面BC
HG，
直線E//平面BCHG，E，EF平面EF，EEF=E，平面EF//平面BCHG.。
〖思考問題5〗
（1）【典例5】是平面平行平面的證明問題，解答這類問題需要理解直線平行直線，直線
平行平面，平面平行平面的基本概念；掌握證明直線平行直線，直線平行平面，平面平行平面的基本方法；
（2）證明平面平行平面的基本方法是：①在一個平面內確定兩條相交直線；②運用證明直線平行平面的基本方法分別證明這兩條直線平行另一個平面；③利用證明平面平行平面的基本方法證明兩個平面平行。
[練習5]解答下列問題：
1、如圖，在四棱柱ABCD—中，底面ABCD
是正方形，O是底面的中心，O底面ABCD，AB=A
=。
D
O
C
（1）證明：平面BD//平面C；
A
B
（2）求三棱柱ABC—的體積。
2、如圖所示，斜三棱柱ABC—中，點D，分
別為AC，上的點。
（1）當等于何值時，B//平面A；
（2）
若=1，證明：平面BD//平面A。
A
D
C
B

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