資源簡介

三角形重心的幾條性質：
　　1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
　　2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
　　3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
　　4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
三角形垂心的性質
　　設⊿ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、銳角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )的垂心在三角形內；直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )的垂心在直角頂點上；鈍角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )的垂心在三角形外.
　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；
　　3、 垂心H關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。
　　4、 △ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
　　5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。
　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。
　　7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
　　8、 三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。
　　9、 設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。
　　11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。
　　12、
　　西姆松(Simson)定理（西姆松線）
　　從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上
三角形內心
定義
　　在三角形中,三個角的角平分線的交點是這個三角形內切圓的圓心而三角形內切圓 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )的圓心就叫做三角形的內心,
三角形內心的性質
　　設⊿ABC的內切圓為☉I(r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形的三條角平分線 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )交于一點，該點即為三角形的內心．
　　2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r．
　　3、r=S/p．
　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
　　5、∠BIC=90°+A/2．
　　6、點O是平面ABC上任意一點，點I是⊿ABC內心的充要條件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )是：
　　a(向量 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
　　7、點O是平面ABC上任意一點，點I是⊿ABC內心的充要條件是：
　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
　　8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC內心I的坐標是：
　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
　　9、(歐拉 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI︿2=R︿2-2Rr．
　　10、（內角平分線分三邊長度關系）
　　⊿ABC中，0為內心，∠A 、∠B、 ∠C的內角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，
則BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b.
三角形外心
定義
　　三角形外接圓 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )的圓心叫做三角形的外心．
三角形外心的性質
　　設⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形三條邊的垂直平分線 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "歡迎登陸21世紀教育網" \t "_blank )的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.
　　2、銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合.
　　3、GA=GB=GC=R.
　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).
　　4、R=abc/4S⊿ABC.
　　5、點G是平面ABC上一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：
　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
　　6、點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：
　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
　　7、點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那么點G是⊿ABC外心的充要條件是：
　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
　　8、設d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
　　重心坐標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

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