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幾何體外接球或內(nèi)切球問題的類型與解法
大家知道，幾何體外接球和內(nèi)切球問題是近幾年的高考熱點(diǎn)內(nèi)容之一，尤其是幾何體外接球問題，基本上近幾年的高考試題中都有出現(xiàn)。，從題型上看是5分小題，可能是選擇題，也可能是填空題；從難易程度上看，屬于中、低檔難度的問題。縱觀近幾年高考，歸結(jié)起來幾何體外接球或內(nèi)切球問題主要包括：①已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的體積（或幾何體的體積）；②已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的表面積（或幾何體的表面積）；③已知球內(nèi)切于幾何體，求內(nèi)切球的體積（或表面積）等幾種類型。解答這類問題的基本思路是根據(jù)問題給出的條件，求出球的半徑，然后運(yùn)用球的體積（或表面積）公式通過運(yùn)算就可得出結(jié)果。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋，那么在實(shí)際解答幾何體外接球或內(nèi)切球問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、（理）如圖，在邊長為2的正方形A中，線段BC的端點(diǎn)B，C分別在邊，上滑動(dòng)，且B=C=x，現(xiàn)將
AB，
CA分別沿AB，CA折起使點(diǎn)，
重合，重合后記為點(diǎn)P，得到三棱錐P—ABC，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP
平面PBC；②當(dāng)B，C分別為，的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P—ABC的外接球的表面積為6；③x的取值范圍為（0，4-2）；④三棱錐P—ABC體積的最大值為。則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（
）
A
1
B
2
C
3
D
4
（文）如圖，在邊長為2的正方形A中，邊，的中點(diǎn)分別為B，C，現(xiàn)將
AB，
BC，
CA分別沿AB，BC，CA折起使點(diǎn)，，重合，重合后記為點(diǎn)P，得到三棱錐P—ABC，則三棱錐P—ABC的外接球體積為
（2020成都市高三一診）
（理科圖）
（文科圖）
【解析】
【考點(diǎn)】①正方形的定義與性質(zhì)；②三棱錐的定義與性質(zhì)；③直線垂直平面的定義與判斷；④求三棱錐外接球表面積的基本方法；⑤求三棱錐體積的基本方法；⑥求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】（理）對(duì)①根據(jù)三棱錐的定義與性質(zhì)，結(jié)合直線與平面垂直的定義與判斷方法就可得出結(jié)果；對(duì)②運(yùn)用三棱錐外接球表面積的計(jì)算公式和求三棱錐外接球表面積的基本方法就可得出結(jié)論；對(duì)③根據(jù)三棱錐體積的計(jì)算公式，結(jié)合求三棱錐體積的基本方法可以得到
結(jié)果；對(duì)④運(yùn)用三棱錐的條件公式，把三棱錐的體積表示成含某個(gè)參數(shù)的式子，在運(yùn)用求函
數(shù)最值的基本方法可以得出結(jié)論。（文）根據(jù)三棱錐的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出三棱錐外接球的半徑，運(yùn)用三棱錐外接球體積的計(jì)算公式和求三棱錐外接球體積的基本方法就可得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】（理）如圖，
APC是AC，
P
沿AC折起得到APPC，同理可得APPB，
A
PBPC
=P，PB，PC平面PBC，
AP
B
D
E
O
平面PBC，①正確；B，C分別是，
C
的中點(diǎn)，A是邊長為2的正方形，
B=C=1，PB=PC=1，取BC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作平面PBC的垂直DO，連接OB，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，在RtBDO中，BD=BC
=
=，BO=AP=1，R=OB
===
，
=4=6②正確；
B=C=x，B=C=2-x4-2x>
BC=x，
4>（+2）x，
x<4-2，由①知AP平面PBC，=.(2-x).(2-x)=
sinBPC，
==
sinBPC
2=
sin
BPC，當(dāng)x=2-x，即x=1時(shí)，=的最大值是，④正確，C正確，選C。（文）如圖，取BC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作平面PBC
P
的垂線DO，連接OB，設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為
A
R，B，C分別是，的中點(diǎn)，四邊形
B
D
O
A是邊長為2的正方形，
B=C=1，
C
PB=PC=1，在RtBDO
BD=BC=
=，BO=AP=1，
R=OB===
，
===。
2、在三棱錐P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)D，DP=DC=1，有下列結(jié)論：①三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱長均相等；②PAB的取值范圍上（，）；③若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的體積為；④若AB=BC，E是線段PC上一動(dòng)點(diǎn)，則DE+BE的最小值為。
（理）其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A
1
B
2
C
3
D
4
（文）其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）（2020成都市高三三診）
A
①②
B
②③
C
①②④
D
①③④
【解析】
【考點(diǎn)】①三棱錐的定義與性質(zhì)；②點(diǎn)在平面上投影的定義與性質(zhì)；③證明直線垂直平面的基本方法；④余弦定理及運(yùn)用；⑤求三棱錐外接球體積的基本方法；⑥求三棱錐外接球表面積的基本方法。
【解題思路】對(duì)①，運(yùn)用直角三角形和三棱錐的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到PA=PB=PC，從而①正確；對(duì)②，運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和余弦定理，結(jié)合問題條件得到0P
【詳細(xì)解答】如圖，連接BD，三棱錐P—ABC中，
ABBC，P在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)D，
O
E
DP=DC=1，BD=DC=1，PA=PB=PC=
A
D
C
=，①正確；0B
=<，DE+BE的最小值為+
=，④正確，C正確，選C。
1、已知三棱錐P—ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長為2的正三
角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF=，則球O的體積為（
）（2019全國高考
新課標(biāo)I（理））
A
8
B
4
C
2
D
【解析】
【考點(diǎn)】①正三棱錐的定義與性質(zhì)；②正三棱錐外接球的定義與性質(zhì)；③幾何體外接球半徑的求法；④球的體積計(jì)算公式與方法；
【解題思路】運(yùn)用正三角形的性質(zhì)和正三棱錐外接球的性質(zhì)求出外接球的半徑，再運(yùn)用球的體積公式進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果；
P
【詳細(xì)解答】如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，設(shè)
正三角形ABC外接圓的圓心為，連接P，設(shè)外接
E
O
球的球心為O，連接AO，ABC是邊長為2的正
C
三角形，D，F(xiàn)分別BC，AB的中點(diǎn)，AD=CF=2
A
F
B
=，A=，PA=PB=PC，ABC
是正三角形，P—ABC是正三棱錐，PBAC，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，EF//PB，EFAC，CEF=，ACCE=C，AC，EC平面PAC，EF平面PAC，PB平面PAC，APB=，PA=PB=PC=，PD
=1，P==，設(shè)外接球的半徑為R，在RtA
O中，AO=R，O=-R，A=，=+，=+，R=，===
D正確選D。
2、《九章算術(shù)》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面
垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)
1
視圖是如圖所示的直角三角形，若該陽馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)
1
2
球面上，則該球的體積為（
）（2018成都市高三二診）
（正視圖）
（側(cè)視圖）
A
B
8
C
D
24
【解析】
【考點(diǎn)】①四棱錐的定義與性質(zhì)；②四棱錐外接球的定義與性質(zhì)；③幾何體外接球半徑的求法；④球的體積計(jì)算公式與方法；
【解題思路】運(yùn)用長方形的性質(zhì)和四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出外接球的半徑，利用球的體積公式通過運(yùn)算就可求出該球的體積；
【詳細(xì)解答】如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)，過作E平面ABCD，設(shè)四棱錐P-ABCD
的外接球的球心為O，半徑為R，連接CO，四邊
P
形ABCD是長方形，AB=2，BC=1，BD==
O
，
D=，在RtOD中，OD=R，
A
D
O=
PA=，D=，=+，
B
C
=+，R=，===
C正確，選C。
〖思考問題1〗
（1）【典例1】是已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的體積的問題，解答這類問題的關(guān)鍵是求出外接球的半徑；
（2）解答已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的體積的問題的基本方法是：①根據(jù)幾何體底面的幾何圖形，確定底面多邊形的外接圓的圓心；②過底面外接圓的圓心作底面的垂線，在所作垂線上確定幾何體外接球的球心O；③構(gòu)造以外接球半徑為斜邊，O為一直角邊的直角三角形；④在構(gòu)造的直角三角形中求出外接球的半徑R；⑤由公式：=求出外接球的體積。
[練習(xí)1]解答下列問題：
1、設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D—ABC體積的最大值為（
）（2018全國高考新課標(biāo)III卷）
A
12
B
18
C
24
D
54
2、已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為（
）（成都市2017—2018高一下期期末質(zhì)量檢測（文））
A
B
4
C
2
D
【典例2】解答下列問題：
1、若矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為，周長為4，四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，且O
=，則球O的表面積的最小值為（
）（2020成都市高三零診）
A
B
C
32
D
48
【解析】
【考點(diǎn)】①矩形的定義與性質(zhì)；②幾何體外接球的定義與性質(zhì)；③求幾何體外接球半徑的基本方法；④求表面積的計(jì)算公式與計(jì)算方法。
【解題思路】運(yùn)用矩形性質(zhì)，幾何體外接球的性質(zhì)和求幾何體外接球半徑的基本方法，結(jié)合問題條件求出幾何體外接球的半徑，利用球表面積的計(jì)算公式通過運(yùn)算就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】如圖，連接OC，設(shè)AB=x，矩形
O
ABCD的周長為4，BC=2-x，AC
D
C
=+，在RtOC中，O=，
C=-AC，=OC=C+
O=AC
A
B
+O=-x+13=+88，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，=0+8=8為最小，=4的最小值為48=32，C正確，選C。
2、已知各棱長都相等的直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球O的表面積為28，則直三棱柱的側(cè)面積為
（2020成都市高三二診）
【解析】
【考點(diǎn)】①直三棱柱的定義與性質(zhì)；②直三棱柱外接球的定義與性質(zhì)；③球表面積的定義與基本求法；④求直三棱柱側(cè)面積的基本方法。
【解題思路】設(shè)直三棱柱的棱長為x，運(yùn)用直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于x的方程，求解方程求出x的值，利用直三棱柱側(cè)面積的公式通過運(yùn)算就可得出直三棱柱的側(cè)面積。
【詳細(xì)解答】如圖，分別取BC，
的中點(diǎn)D，
，設(shè)直三棱柱的棱長為x，外接球的半徑為R，
底面外接圓的圓心分別為，，連接，
O
取的中點(diǎn)為O，連接OA，在RtO
A
D
C
A中，OA=R，O=x，A=x=
B
x，=+=，=4==28，=12，
=3x.x=3=312=36，直三棱柱的側(cè)面積為36。
3、已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，圓為ABC的外接圓，若圓的面積為4，AB=BC=AC=O，則球O的表面積為（
）（2020全國高考新課標(biāo)I卷）
A
64
B
48
C
36
D
32
【解析】
【考點(diǎn)】正三角形的定義與性質(zhì)；②正三角形外接圓的定義與性質(zhì)；③求幾何體外接球半徑的基本方法；④求球表面積計(jì)算公式與基本方法；
【解題思路】運(yùn)用正三角形的性質(zhì)和正三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出外接圓的半徑，從而求出球O的半徑，利用球表面積公式通過運(yùn)算就可得出球O的表面積。
【詳細(xì)解答】如圖，連接OA，設(shè)圓的半徑為r，
O
球O的半徑為R，圓為ABC的外接圓，圓
C
的面積為4，r=A=2，AB=BC=AC=O
A
B
，
AB=BC=AC=O
=r=2，在RtA
O中，OA=R，O=2，A=2，
R==4，=4=416=64，A正確，選A。
4、已知ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O表面積為16，則O到平面ABC的距離為（
）（2020全國高考新課標(biāo)II卷）
A
B
C
1
D
【解析】
【考點(diǎn)】正三角形的定義與性質(zhì)；②求幾何體外接球半徑的基本方法；③求球表面積計(jì)算公式與基本方法；④求點(diǎn)到平面距離的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用正三角形的性質(zhì)和正三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出球O的半徑和正三角形的邊長，利用直角三角形的性質(zhì)通過運(yùn)算就可得出球心O到平面ABC的距離。
【詳細(xì)解答】設(shè)正三角形的邊長為x，正三角形外接圓
的圓心為，球O的半徑為R，連接OA，如圖，
O
===，=9，x=3，
C
=4=16，=4，R=2，在Rt
A
B
A
O中，OA=2，A=x=3=，
O=
=1，O到平面ABC的距離為1，C正確，選C。
1、在三棱錐P-ABC中，已知PA平面ABC，BAC=，PA=AB=AC=2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（
）(2018成都市高三一診)
A
10
B
18
C
20
D
9
【解析】
【考點(diǎn)】正三棱錐的定義與性質(zhì)；②三棱錐外接球的定義與性質(zhì)；③幾何體外接球半徑的求法；④球的表面積計(jì)算公式與方法。
【解題思路】運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三棱錐外接球的性質(zhì)求出外接球的半徑，再運(yùn)用球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，延長AD到
P
，使D=AD，過作E平面ABC于，
在E
E
確定三棱錐P-ABC外接球的球心O，連接OA，設(shè)外接球的
O
的半徑為R，ABC是等腰三角形，BAC=，
A
是ABC外接圓的圓心，在RtA
O中，AO=R，
B
D
C
O=PA=1，A=AC=2，=+，
=1+4，R=，=4=45=
20C正確，選C。
2、（理）三棱柱ABC—中，AB=BC=AC，側(cè)棱A底面ABC，且三棱柱的側(cè)面積為3，若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，則球O的表面積的最小值為
；
（文）三棱柱ABC—中，棱AB，AC，A兩兩垂直，AB=AC，且三棱柱的側(cè)面積為+1，若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，則球O的表面積的最小值為（
）（2019成都市高三三診）
Ａ　
　　　Ｂ　　
　　　Ｃ　　
2　　　Ｄ　　　　
4
【解析】
【考點(diǎn)】正三棱柱的定義與性質(zhì)；②正三棱柱外接球的定義與性質(zhì)；③幾何體外接球半徑的求法；④球的表面積計(jì)算公式與方法；
【解題思路】運(yùn)用正三角形的性質(zhì)和正三棱柱外接球的性質(zhì)求出外接球的半徑，再運(yùn)用球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果；
【詳細(xì)解答】（理）如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，取AC的中點(diǎn)
E，連接BE交AD于點(diǎn)，過作F平面ABC于，
F
在F上確定正三棱柱ABC—外接球的球心
O
O，連接AO，設(shè)外接球的半徑為R，AB=BC=AC=x，正
A
E
三棱柱的側(cè)面積為3，A=，AD=BE=x，
B
D
C
B=A=x，在RtA
O中，AO=R，O=A=，A=x，=+，
=+，=4=4（+）4=2，球O表面積的最小值是2。
（文）如圖，取BC的中點(diǎn)，過作D平面
ABC于，在D確定三棱柱ABC—外接
球的球心O，連接AO，設(shè)外接球的半徑為R，AB=AC
O
=x，ABC是等腰直角三角形，A=x，
A
棱AB，AC，A兩兩垂直，三棱柱的側(cè)面積為+1，
B
C
A=，在RtA
O中，AO=R，O=A=
，A=x，=+，
=+，=4=4(+)4
=，球O表面積的最小值是，
A正確，選A。
〖思考問題2〗
（1）【典例2】是已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的表面積的問題，解答這類問題的關(guān)鍵是求出外接球的半徑；
（2）解答已知幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，幾何體滿足一定的條件，求球的表面積的問題的基本方法是：①根據(jù)幾何體底面的幾何圖形，確定底面多邊形的外接圓的圓心；②過底面外接圓的圓心作底面的垂線，在所作垂線上確定幾何體外接球的球心O；③構(gòu)造以外接球半徑為斜邊，O為一直角邊的直角三角形；④在構(gòu)造的直角三角形中求出外接球的半徑R；⑤由公式：=4求出外接球的表面積。
[練習(xí)2]解答下列問題：
1、若矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為，周長為4，四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，且O
=，則球O的表面積的最小值為（
）（2020成都市高三零診）
A
B
C
32
D
48
2、（理）已知三棱錐A—BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，若AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=，則球O的表面積為
（文）已知三棱錐P—ABC的側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且長度均為1，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為
（2019成都市高三二診）
3、在正三棱柱ABC—（底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱長之和為定值a，若正三棱柱ABC—的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則當(dāng)正三棱柱側(cè)面積取得最大值24時(shí)，該球的表面積為（
）（2018成都市高三三診）
A
4
B
C
12
D
【典例3】解答下列問題：
1、已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為
（2020全國高考新課標(biāo)III）
【解析】
【考點(diǎn)】圓錐的定義與性質(zhì)；②求幾何體內(nèi)切球半徑的基本方法；③求球體積計(jì)算公式與基本方法。
【解題思路】運(yùn)用圓錐的性質(zhì)和最大球就是圓錐的內(nèi)切球，結(jié)合問題條件求出內(nèi)切球的半徑，利用求球體積的公式通過運(yùn)算就可得出該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積。
A
【詳細(xì)解答】圓錐內(nèi)半徑最大的球就是圓錐的內(nèi)切球，
設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為R，球心為O，圓錐底面圓的圓
心為，如圖，圓錐軸截面的內(nèi)切圓是內(nèi)切球的大圓，
O
在RtAC中，C=1，AC=3，A==2，
B
C
=22=2，=32+2=8，=，R=，
===，該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為。
P
2、如圖，P—ABC是棱長為a的正四面體，
O
E
求該正四面體內(nèi)切球O的表面積。
A
D
C
【解析】
B
【考點(diǎn)】正四面體的定義與性質(zhì)；②求幾何體內(nèi)切球半徑的基本方法；③求球表面積計(jì)算公式與基本方法。
【解題思路】運(yùn)用正四面體和內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出內(nèi)切球的半徑，利用求球表
面積的公式通過運(yùn)算就可得出內(nèi)切球的表面積。
【詳細(xì)解答】如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，設(shè)ABC外接圓的圓心為，內(nèi)切球的球心為O，連接P，過O作OEPD于點(diǎn)E，正四面體的棱長為a，在RtAP中，A=a=a，AP=a，
P=
=
a，=，OE=R，
PO=P-R=a-R，PD=AD=a，D=AD-A=a-a=a，
R=a，=4=4=，該正四面體內(nèi)切球O的表面積為。
〖思考問題3〗
（1）【典例2】是已知幾何體的內(nèi)切球，幾何體滿足一定的條件，求內(nèi)切球的體積（或表面積）的問題，解答這類問題的關(guān)鍵是求出內(nèi)切球的半徑；
（2）解答已知幾何體內(nèi)切球，幾何體滿足一定的條件，求內(nèi)切球的體積（或表面積）的問題的基本方法是：①設(shè)幾何體內(nèi)切球的球心為O，半徑為R；②以幾何體的各個(gè)面為底面，球心O為頂點(diǎn)，把原幾何體分割成幾個(gè)以內(nèi)切球半徑為高的棱錐；③根據(jù)各個(gè)棱錐體積之和等于原幾何體的體積得到關(guān)于內(nèi)切球半徑R的方程；④求解方程求出內(nèi)切球的半徑R；⑤由公式：=（或=4）求出內(nèi)切球的體積（或表面積）。
[練習(xí)3]解答下列問題：
1、已知倒圓錐容器的軸截面是一個(gè)等邊三角形，在此容器內(nèi)注滿水，并放入半徑為r的一個(gè)球，此時(shí)水面恰好與球相切，求取出球后水面的高度。
2、已知棱長為4的正方體，求該正方體內(nèi)切球的體積和表面積。
O

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