資源簡介

勾股定理
學習目標
1、經(jīng)歷探索數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)勾股定理，并利用拼圖的方法論證勾股定理的存在。
2、結合具體的情境，理解和掌握“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。
3、探索和實際操作掌握勾股定理在實際生活中的應用。
重點、難點
重點：是對勾股定理的理解，以及運用勾股定理去解決一些相關的實際問題。
難點：是勾股定理的探索和驗證過程中，進一步體會數(shù)形結合的思想，學習中應注意加輔助線的方法。
參考例題
［例1］如下圖所示，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的長.
分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的長，只能將BC置于一個直角三角形中.
解：過點C作CD⊥AB于點D
在Rt△ACD中，∠A=60°
∠ACD=90°－60°=30°
AD=AC=12(cm)
CD2=AC2－AD2=242－122=432，
DB=AB－AD=15－12=3.
在Rt△BCD中，
BC2=DB2+CD2=32+432=441
BC=21 cm.
評注：本題不是直角三角形，而要解答它必須構造出直角三角形，用勾股定理來解.
［例2］如下圖，A、B兩點都與平面鏡相距4米，且A、B兩點相距6米，一束光線由A射向平面鏡反射之后恰巧經(jīng)過B點.
求B點到入射點的距離.
分析：此題要用到勾股定理，全等三角形，軸對稱及物理上的光的反射的知識.
解：作出B點關于CD的對稱點B′，連結AB′，交CD于點O，則O點就是光的入射點.
因為B′D=DB.
所以B′D=AC.
∠B′DO=∠OCA=90°，
∠B′=∠CAO
所以△B′DO≌△ACO(SSS)
則OC=OD=AB=×6=3米.
連結OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2
所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).
所以點B到入射點的距離為5米.
評注：這是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及到許多幾何知識，由此可見，數(shù)學是學習物理的基礎.
1.探索勾股定理（一）
在兩千多年前我國古算術上記載有“勾三股四弦五”.你知道它的意思嗎？
它的意思是說：如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4個長度單位，那么它的斜邊的長一定是5個長度單位，而且3、4、5這三個數(shù)有這樣的關系：32+42=52.
（1）請你動動腦筋，能否驗證這個事實呢？該如何考慮呢？
（2）請你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長分別為AC=7，BC=4，請你研究這個直角三角形的斜邊AB的長的平方是否等于42+72？
附：探索勾股定理優(yōu)化設計
勾股定理是平面幾何中的一個重要定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，把形的特征——三角形中一個角是直角，轉化成數(shù)量關系——三邊之間滿足。利用它可以解決直角三角形中的許多計算問題，是解直角三角形的主要根據(jù)之一。它在理論上有重要的地位，在實際中有很大的用途，因而這一節(jié)課的教學就顯得相當重要。
對“勾股定理”的教學，筆者做如下的設計：
一、復習性導語，自然引入(時間：7—8分鐘)
我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。對于等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等的特殊關系。那么對于直角三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們之間也存在著特殊的關系，這就是我們這一節(jié)要研究的問題：勾股定理。
這一段導語的目的是，既復習舊知識：三角形兩邊之和大于第三邊，又很自然地引出新問題：勾股定理。這時，讓學生帶著問題去閱讀課文的第一、二自然段。
二、拼圖證明，直觀易懂(時間：13—15分鐘)
勾股定理的證明方法很多，采用哪種方法直觀易懂地使定理得到證明，是本節(jié)課教學的難點，為解決這個難點，我們設計這樣一則填空題：
用兩直角邊是a、b，斜邊是c的四個全等直角三角形拼成圖1。
觀察圖形并思考、填空：
1．拼成的圖中有_______個正方形，______個直角三角形。
2．圖中大正方形的邊長為_______，小正方形的邊長為_______。
3．圖中大正方形的面積為_______，小正方形的面積為_______，四個直角三角形的面積為_______。
4．從圖中可以看到大正方形的面積等于小正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，于是可列等式為_______，將等式化簡、整理，得_______。
學生討論、回答，教師及時點撥，并適時引導，使學生正確地完成填空題。
對于勾股定理的證明，我們沒有采用教師講解的方法去完成，而是設計了一組思考填空題，讓學生在思考、填空的過程中完成該定理的證明。
勾股定理的證明是本節(jié)的難點，教科書采用將八個全等的直角三角形拼成兩個圖形的方法進行證明，既繁瑣，又費時。筆者所采用的證明方法，在初二學生目前所學的有限知識中，是一種較簡便的證明方法，比教科書上介紹的證明方法省時易懂。
三、精選練習，掌握應用(時間：20—22分鐘)
勾股定理的應用是本節(jié)教學的重點，一定要讓學生熟練地掌握在直角三角形中已知兩邊求第三邊的方法，為此，可設計下列三組具有梯度性的練習：
練習1(填空題)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，則c=________；
②若a=40，b=9，則c=________；
③若a=6，c=10，則b=_______；
④若c=25，b=15，則a=________。
⑤若∠A=30°，則BC=______，AC=_______；
⑥若∠A=45°，則BC=______，AC=_______。
練習2(填空題)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，則c=________；
②若a=40，b=9，則c=________；③若a=6，c=10，則b=_______；
④若c=25，b=15，則a=________。
練習3
已知等邊三角形ABC的邊長是6cm。求：
(1)高AD的長；
(2)△ABC的面積。
練習1是在學生剛剛了解了勾股定理的內容后，已知兩邊求第三邊的練習。這時應提醒學生注意：∠C=90°，則c是斜邊，邊a、b是直角邊。以便學生正確運用勾股定理求第三邊。
練習2是學生在初步掌握了在直角三角形中已知兩邊求第三邊的方法以后，有所提高的一組練習，既要用到30°直角三角形和45°直角三角形的性質，又要用到勾股定理。
練習3綜合性較強，它既要結合圖形的性質，又要用到勾股定理和三角形的面積公式。
這三組練習緊緊圍繞本節(jié)的重點而設置，學生完成這三組練習后，對勾股定理的應用就有了較深刻的認識，在學了四邊形和一元二次方程后，應用范圍將逐步擴大。
競賽輔導：勾股定理與應用
　　勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即
a2+b2=c2．
　　勾股定理逆定理 如果三角形三邊長a，b，c有下面關系：
a2+b2=c2
　　那么這個三角形是直角三角形．
　　早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法．
　　關于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．
　　證法1 如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和．
　　過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因為
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
　　所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
　
　　所以 SAEML=b2． ①
　　同理可證 SBLMD=a2． ②
　?、?②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，
　　即 c2=a2+b2．
　　證法2 如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
　　所以
　　AG=GH=HB=AB=c，
　　∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
　　因此，AGHB為邊長是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即
　　化簡得 a2+b2=c2．
　
　　證法3 如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
　　設五邊形ACKDE的面積為S，一方面
　　S=SABDE+2S△ABC， ①
　　另一方面
　　S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
　　由①，②
　　
　　所以 c2=a2+b2．
　　關于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學家的名字命名．
　　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結論．
　　定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍．
　　證 (1)設角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D， 則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
　　AB2=AD2+BD2， ①
　　在直角三角形ACD中，
　　AD2=AC2-CD2， ②
　　又
　　BD2=(BC-CD)2， ③
　?、冢鄞擘俚?br/>　　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
　　　=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
　　　=AC2+BC2-2BC·CD，
　　即
　　c2=a2+b2-2a·CD． ④
　　(2)設角C為鈍角，如圖2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形ABD中，
　　AB2=AD2+BD2， ⑤
　　在直角三角形ACD中，
　　AD2=AC2-CD2， ⑥
　　又
　　BD2=(BC+CD)2， ⑦
　　將⑥，⑦代入⑤得
　　AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
　　　=AC2+BC2+2BC·CD，
　　即
　　c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
　　綜合④，⑧就是我們所需要的結論
　　
　　特別地，當∠C=90°時，CD=0，上述結論正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
　　因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．
　　由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關系對于角的影響．在△ABC中，
　　(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°；
　　(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；
　　(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．
　　勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內部的邊角關系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應用．
　　例1 如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2．
　　分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應有AF=AB，這啟發(fā)我們去證明△ABE≌△AFE．
　　證 因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
　　所以 AF=AB． ①
　　在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所以
AG=FG，
　　AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
　　由①，②得
AB2=2FG2．
　　說明 事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了．
　　例2 如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
　　證 過A引AD⊥BC于D(不妨設D落在邊BC內)．由廣勾股定理，在△ABM中，
　　AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①
　　在△ACM中，
　　AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②
　　①+②，并注意到MB=MC，所以
　　AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
　　如果設△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結論不難推出關于三角形三條中線長的公式．
　　推論 △ABC的中線長公式：
　　　
　　
　　　
　　說明 三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長．
　　例3 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍．
　　分析 如圖2-23所示．對角線中點連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結論，不難證明本題．
　　證 設四邊形ABCD對角線AC，BD中點分別是Q，P．由例2，在△BDQ中，
　　即
　　2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①
　　在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以
　　
　　在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以
　　
　　將②，③代入①得
　　
　　=4PQ2+BD2，
　　即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
　　說明 本題是例2的應用．善于將要解決的問題轉化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們再看兩個例題，說明這種轉化方法的應用．
　　例4 如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點．求證：AD2+BE2=AB2+DE2．
　　分析 求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手．
　　證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
　　AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
　　例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．
　　如圖2-25所示．設直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：
4(AM2+BN2)=5AB2．
　
　　分析 由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況——即M，N分別是所在邊的中點，那么可直接利用例4的結論，使證明過程十分簡潔．
　　證 連接MN，利用例4的結論，我們有
AM2+BN2=AB2+MN2，
　　所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
　　由于M，N是BC，AC的中點，所以
　　所以 4MN2=AB2． ②
　　由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
　　說明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．
練習十一
　　1．用下面各圖驗證勾股定理(虛線代表輔助線)：
　　(1)趙君卿圖(圖2-27)；
　　(2)項名達圖(2-28)；
　　(3)楊作枚圖(圖2-29)．
　　2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內的任意一點，求證：PA2+PC2=PB2+PD2．
　
　　(提示：應分三種情形加以討論，P在矩形內、P在矩形上、P在矩形外，均有這個結論．)
　　3．由△ABC內任意一點O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)．求證：
AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．
　　4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結論．
　　5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點B，C分別向對邊作垂線BE，CF．求證：
BC2=AB·BF+AC·CE．

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