資源簡介

十字相乘法
十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項系數。
例1把m +4m-12分解因式
分析：本題中常數項-12可以分為-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1當-12分成-2×6時，才符合本題
解：因為 1 -2
1 ╳ 6
所以m +4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x +6x-8分解因式
分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。當二次項系數分為1×5，常數項分為-4×2時，才符合本題
解： 因為 1 2
5 ╳ -4
所以5x +6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x -8x+15=0
分析：把x -8x+15看成關于x的一個二次三項式，則15可分成1×15，
3×5。
解： 因為 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x -5x-25=0
分析：把6x -5x-25看成一個關于x的二次三項式，
則6可以分為1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解： 因為 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
用十字相乘法解一些比較難的題目：
例5把14x -67xy+18y 分解因式
分析：把14x -67xy+18y 看成是一個關于x的二次三項式,
則14可分為1×14,2×7, 18y 可分為y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因為 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x -67xy+18y = (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x -27xy-28y -x+25y-3分解因式
分析：在本題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x -27xy-28y -x+25y-3
=10x -（27y+1）x -（28y -25y+3）
4y -3
7y ╳ -1
=10x -（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
說明：在本題中先把28y -25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把
10x -（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x -27xy-28y -x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3
2 x -7y 1
5 x +4y ╳ -3
=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]
=（2x -7y+1）（5x +4y -3）
說明:在本題中先把10x -27xy-28y 用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].
例7：解關于x方程：x - 3ax + 2a –ab -b =0
分析：2a –ab-b 可以用十字相乘法進行因式分解
解：x - 3ax + 2a –ab -b =0
x - 3ax +（2a –ab - b ）=0
1 -b
2 ╳ +b
x - 3ax +（2a+b）（a-b）=0
1 -（2a+b）
1 ╳ -（a-b）
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0
所以 x1=2a+b x2=a-b
兩種相關聯的變量之間的二次函數的關系，可以用三種不同形式的解析式表示：一般式、頂點式、交點式 交點式．利用配方法，把二次函數的一般式變形為 ：
Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]
應用平方差公式對右端進行因式分解，得
Y=a[x+b/2a+√b2-4ac/2a][x+b/2a-√b2-4ac/2a]
=a[x-(-b-√b2-4ac)/2a][x-(-b+√b2-4ac)/2a]
因為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a
所以上式可寫成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根
因x1，x2恰為此函數圖象與x軸兩交點（x1，0），（x2，0）的橫坐標，故我們把函數y=a(x-x1)(x-x2)叫做函數的交點式．在解決二次函數的圖象和x軸交點坐標有關的問題時，使用交點式較為方便。二次函數的交點式還可利用下列變形方法求得：
設方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2
根據根與系數的關系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，
有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2
∴y=ax2+bx+c
=a[x2+b/a*x+c/a]
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
=a(x-x1)(x-x2)

展開更多......

收起↑