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函數與導數專題分析
漳州普教室 許耀德
函數與導數專題，是中學數學中最重要的主干知識，其觀點及其思想方法，貫穿整個高中數學教學的全過程，是歷年來高考考查力度最大的主干知識。
《考綱》對本專題的考查內容及要求除了理科多了“能求簡單的復合函數（僅限于形如f(ax+b)的復合函數）的導數”及“①.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。②.了解微積分的基本定理的含義?！蓖?，其余要求文理兩科相同。因此，從《考綱》要求來講，理科要求高于文科要求。歷年來高考對本專題考查涉及到所有題型（選擇，填空，解答）。除了單獨考查函數與導數的題目外，往往在每個題目上涉及函數與其他內容的綜合考查。在解答題方面，函數與導數往往作為壓軸題出現。因此本專題的高考復習必須給予足夠的重視。
一.2010年高考“課標卷”對本專題的考查情況 [1]
在2010年高考中，全國“課標卷”對本專題知識點考查情況如下：
函數概念及新定義概念被考查頻率為6；函數圖象被考查頻率為11；單調性被考查頻率為20；奇偶性被考查頻率為6；指數函數被考查頻率為18；對數函數被考查頻率為20；冪函數為9；一次函數為7；二次函數為19；反比例函數為4；函數與方程為9；函數模型應用為5；導數幾何意義為8；導數的應用為22；導數的運算為3；定積分為4。
與本專題聯合考查的其他專題的主要知識點情況如下：與邏輯用語聯合考查頻率為6；數列為3；不等式解法為10；不等式證明為15，曲線的切線方程為8；圖形的平移與對稱為6；合情推理為2；三角函數與向量為3；幾何概型與隨機模擬實驗為1。
從這些數據不難看出，本專題幾乎所有知識都被考查到。重點考查內容有：指.對數函數，冪函數，二次函數，單調性，導數的應用。被聯合考查的其他專題的知識點主要有：邏輯用語，數列，不等式解法及證明，解析幾何中的曲線的切線方程，定值問題，圖形平移與對稱，合情推理，三角函數與向量，幾何概型與隨機實驗等。其中重點是不等式，尤其是不等式的恒成立問題時參數取值范圍及最值問題?？碱}注重函數與導數的綜合應用，在數學思想方法上作較深入的考查。涉及的基本數學方法有：建模法，消元法，代入法，圖象法， 坐標法，比較法，配方法，待定系數法，公式法，換元法，因式分解，平移等。涉及的主要數學思想有函數與方程思想，數形結合思想，化歸與轉化思想，分類與整合思想，整體思想，極端化思想，建模思想。
在每套“課標卷”中，有關本專題內容試題所占比重都較大。一般在24分的分值左右，如果含聯合考查知識點，一般都在50分左右，如我省理科2010年卷，本專題內容有2道選擇+1道填空+1道解答，分值28分，如果含聯合考查知識點有51分。
二、主要題型分析
例1（2010福建理4）函數 的零點個數為（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
分析：作出的圖象示意圖，立馬選C
例2（2010福建理10）對于具有相同定義域D的函數和，若存在函數 （為常數），對位給的正數m，存在相應的,使得當，且時總有，則稱直線：為曲線與的“分漸近線”。給的定義域均為的四組函數如下：
1、 2、
3、 4、
其中曲線與存在“分漸近線”的是
A、① ④ B、② ③ C、 ② ④ D、③ ④
分析：題目條件涵義是： 必須滿足且
其中
注意到： ，，滿足要求
，
滿足要求，故選C
例3（2010福建理15）已知定義域（0，）的函數滿足：對任意恒有成立，當時，給出如下結論：對任意，有；函數的值域為，③存在，④“函數”的充要條件是“存在”其中所有正確結論的序號是 。
分析：由，易得，從而知除③不正確外，其余均正確。
例4（2010 全國課標卷理13）設為區間上的連續函數，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產生兩組（每組N個）區間[0，1]上的均勻隨機數和由此得到N個點（）（=1，2，……N），在數為其中滿足的點數，那么由隨機模擬方法可得積分的近似值為
分析：的意義。為計算由曲線，由x=0，x=1及x軸圍成的曲邊形的面積，此面積含于正方形中，根據幾何概型含義得，即。
例5、（2010江蘇20）設是定義在區間上的函數，其導函數為.如果存在實數和函數，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數具有性質.
(1)設函數，其中為實數
①求證：函數具有性質
②求函數的單調區間
(2)已知函數具有性質，給定
，，且，若||<||,求的取值范圍
分析：（1）①，顯然具有性質P（b）。
②求的零點，自然得到討論b：三種情況。
（2）由條件，易知，，故在上單調遞增。又，
當時
，
若，則g()g()-g()>g(x2)-g(x1)>0,不符題意。
所以，即
解得m<1，所以。
當。
當，
同理有
，即，解得m>0，所以，
綜上m取值范圍是（0，]
評：（2）問中解題關鍵是討論、是在區間（x1，x2）外與內的問題。
例6（2010福建理20）（Ⅰ）已知函數，.
（i）求函數的單調區間；
（ii）證明：若對于任意非零實數，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為則為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明.
分析：（Ⅰ）的（i）簡單而常規，易得增區間為（）和（），單調減區間為（）。
（ii）由于均為曲邊形面積，必須用定積分求解，所以由C在點的切線方程，聯立C的方程求得 ，進而，用代替，重復上述計算過程，就得到，所以。
（Ⅱ）注意到（Ⅰ）（ii）中條件非零意指點不能取的對稱中心（即拐點），故類比時也應不能取對稱中心。
令，得，故類比命題為：若對作意不等于的實數，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點P2處的切線交于另一點，線段P1P2，P2P3與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值。
證明方法可用類似（Ⅰ）（ii）的計算，也可先平稱、對稱中心為原點，再計算。
評注：本題的I(ii)及(II)的要求有超綱之嫌。
理由如下：定積分的考查要求僅在了解層次，了解定積分的實際背景，基本思想，定積分的概念，微積分基本定理的含義，對積分運算并未涉及，而I(ii)的考查對定積分運算上，下限均帶參數，且必須先通過計算兩參數關系才可能得到結果，大大超過《考綱》，《省考試說明》的要求。在(II)的類比推理中，對學生而言如何想到，（即三次曲線對稱中心）這與我省教學實際不符。在《考綱》及《省考試說明》中均未見要求三次函數曲線的對稱中心。故（II）也有超綱要求。
三．本專題的復習建設
從一，二分析，我們可看出，本專題是一個極其重要內容。在高考試卷，一般三種題型均有出現。所占的比例也比較大。我們建議在本專題復習中，應該注意如下幾個方面：
1.對函數概念的復習要“到位而不越位”，求函數的解析式，定義域，零點，值域，一般出現在客觀題中，屬于中、低檔題，因此復習時不宜拓展。特別是反函數問題?！犊季V》及《說明》僅對同底指，對數函數關系提出這個概念。沒有給出一般意義的反函數定義，故不宜拓寬要求。
2.對基本函數與函數性質的復習要全面而突出重點。并注重橫向聯系。歷年來高考中考查對函數知識的應用。既著眼于知識點的新穎巧妙組合，又關注對數學思想方法的考查。試題多數圍繞函數的概念，性質，圖象等方面命題。圍繞二次函數，分段函數，指.對數函數等幾個基本函數來進行，故在復習中，應該全面夯實基礎，突出對上面所講重點內容的復習。另外，對函數性質單調性，奇偶性，周期性和圖象對稱性等內容的考查，多以組合形式，一題多角度考查，尤其是利用導數解決函數的單調性與極值，最值問題，不等式問題，函數與方程的聯系等重點考點?？疾榱Χ冗€有可能加大。而函數題的綜合趨勢幾乎涉及所有模塊，但重點還是在與不等式綜合。在解答題中，對函數性質的考查要求有所提高，尤其涉及到分類討論，數形結合等高等數學的觀點。思維層次要求較高。因此在復習中例題的選擇及訓練題的配備一定要放在學科整體高度上把握函數及其他模塊知識的橫向關系。
3.對所謂創新題關鍵在閱讀理解。如2010年福建理10。如果題目條件的涵義搞清楚了，問題顯得十分簡單。要重視合情推理及類別遷移能力的提升。
4.注重強化解決函數問題的相關數學思想方法的訓練。在函數的高考試題中，很多試題如果應用數形結合思想求解將是十分簡捷的。因此，幾種重要的數學思想方法（數形結合，函數與方程思想，分類討論，轉化與化歸思想，特殊與一般）在本專題復習中表現在與其他模塊知識的綜合解答中，故一定要加以重視。

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