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一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）問(wèn)題的類型與解法
一元二次函數(shù)或冪函數(shù)是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說(shuō)，只要是高考試卷，就必有一個(gè)一元二次函數(shù)或冪函數(shù)問(wèn)題的5分小題。從題型上看是選擇題或填空題，難度為中，低檔。縱觀各種考試試卷，歸結(jié)起來(lái)一元二次函數(shù)或冪函數(shù)問(wèn)題主要包括：①求一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的解析式；②一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的圖像與運(yùn)用；③一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的性質(zhì)與運(yùn)用；④一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的最值問(wèn)題；⑤一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的綜合問(wèn)題等幾種類型。各種類型問(wèn)題結(jié)構(gòu)上具有某些特征，解答方法也有一定的規(guī)律可尋。那么在實(shí)際解答一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過(guò)典型例題的詳細(xì)解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。
【典例1】解答下列問(wèn)題：
1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（
）
A
y=
B
y=
C
y=5x
D
y=
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A,
底數(shù)5是常數(shù)，指數(shù)是自變量與冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)不符合，A錯(cuò)誤；對(duì)B,
底數(shù)是自變量，指數(shù)5是常數(shù)與冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)相符合，B正確，應(yīng)該選B。
2、設(shè)a{-1，，1，3}，則使函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有a值為（
）
A
1，3
B
-1，1
C
-1，3
D
-1，1，3
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)定義域的基本方法；③奇函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f(x)=
的定義域?yàn)椋?，0）（0，+）R，函數(shù)f(x)=
不是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f(x)=
的定義域?yàn)椋?，+）R，函數(shù)f(x)=
不是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x的定義域?yàn)镽，且f(-x)=-x=-
f(x)，函數(shù)f(x)=x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f(x)=
的定義域?yàn)镽，且f(-x)=
=-=-
f(x)，函數(shù)f(x)=
是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；
A正確，選A。
3、已知冪函數(shù)f(x)=k.的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，），則k+a等于（
）
A
B
1
C
D
2
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征；③求冪函數(shù)解析式的基本方法。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和求冪函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出k，a的值，從而求出k+a的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=k.是冪函數(shù)，k=1，函數(shù)f(x)=，函數(shù)f(x)=的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，），===，a=,k+a=1+=，
C正確，選C。
4、已知冪函數(shù)f(x)=
的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9，3），則f(100)=
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求冪函數(shù)解析式的基本方法；③求函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和求冪函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出冪函數(shù)f(x)的解析式，利用求函數(shù)值的基本方法就可求出f(100)的值。
【詳細(xì)解答】?jī)绾瘮?shù)f(x)=
的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（9，3），3==，a=,冪函數(shù)f(x)=,
f(100)=
=10。
5、已知二次函數(shù)f(x)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，則二次函數(shù)f(x)=
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求一元二次函數(shù)解析式的基本方法。
【解題思路】根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求一元二次函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組求出a，b，c的值就可求出一元二次函數(shù)f(x)的解析式。
【詳細(xì)解答】設(shè)一元二次函數(shù)f(x)=a+bx+c(a0)，函數(shù)f(x)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，f(0)=0+0+c=0①，f(-2)=4a-2b+c=0②，=-1③，聯(lián)立①②③解得：a=1，b=2，c=0，一元二次函數(shù)f(x)=+2x。
6、已知二次函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=f(-x+2)，②其圖像在y軸上的截
距是1，③二次函數(shù)的最大值是3，求二次函數(shù)的解析式；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求一元二次函數(shù)解析式的基本方法。
【解題思路】根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求一元二次函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組求出a，b，c的值就可求出一元二次函數(shù)f(x)的解析式。
【詳細(xì)解答】設(shè)一元二次函數(shù)f(x)=a+bx+c(a0)，一元二次函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)=f(-x+2)，②其圖像在y軸上的截距是1，③二次函數(shù)的最大值是3，
-=2①，f(0)=0+0+c=1②，=3③，聯(lián)立①②③解得：a=-，b=2，c=1，一元二次函數(shù)f(x)=-+2x+1。
7、在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過(guò)圓形管道時(shí)，其流量速率v（單位：/s）與管道半徑r（單位：cm）的四次方成正比。
（1）寫(xiě)出氣體其流量速率v關(guān)于管道半徑r的函數(shù)解析式；
（2）若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為400/s，求該氣體通過(guò)半徑為r的管道時(shí)，其流量速率v的表達(dá)式；
（3）已知（2）中的氣體通過(guò)的管道半徑為5cm，計(jì)算該氣體的流量速率（精確到1/s）。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②正比例函數(shù)的定義與性質(zhì)；③求冪函數(shù)解析式的基本方法；④求函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出寫(xiě)出氣體其流量速率v關(guān)于管道半徑r的函數(shù)解析式；（2）把流量速率v，管道半徑r的值代入（1）的函數(shù)解析式求出k的值就可得到流量速率v的表達(dá)式；（3）利用求函數(shù)值的基本方法就可求出該氣體的流量速率。
【詳細(xì)解答】（1）流量速率v與管道半徑r的四次方成正比，流量速率v=k；（2）氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為400/s，400=k，k=,
v=；
(3)當(dāng)r=5時(shí)，v=
3088（/s）。
『思考問(wèn)題1』
（1）【典例1】是求一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）解析式的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題首先應(yīng)該理解一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的定義，其次是掌握一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）解析式的一般形式和結(jié)構(gòu)特征；
（2）求一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）解析式的基本方法是待定系數(shù)法，待定系數(shù)法的基本方法是：①設(shè)出一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的一般式；②根據(jù)條件列出方程組（或方程）；③求解方程組（或方程）；④把③中求得的結(jié)果代入假設(shè)式得出結(jié)果。
〔練習(xí)1〕解答下列問(wèn)題：
1、在函數(shù)y=，y=2，y=-x，y=1中，是冪函數(shù)的有
；
2、已知函數(shù)f(x)=(
-m-1)
。
（1）若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，則m=
；
（2）若函數(shù)f(x)是正比例函數(shù)，則m=
；
（3）若函數(shù)f(x)是反比例函數(shù)，則m=
。
3、已知二次函數(shù)f(x)=a+bx+1，（a，b∈R），x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0，則函數(shù)f(x)=
；
4、若二次函數(shù)f(x)=（x+a）（bx+2a）（常數(shù)a，b∈R）是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)椋?，4］，則該函數(shù)的解析式f(x)=
；
5、已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,2），且f(1)=7，求二次函數(shù)的解析式；
6、已知二次函數(shù)f(x)滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f(x)的最大值是8，求二次函數(shù)f(x)的解析式。
【典例2】解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)f(x)=
的圖像大致是（
）
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
A
B
C
D
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)圖像的基本特征。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)圖像的基本特征，結(jié)合問(wèn)題條件確定函數(shù)f(x)=
的大致圖像就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=
的定義域?yàn)镽，A，D錯(cuò)誤，排除A，D，（x）=＞0，函數(shù)f(x)是定義域上的正增長(zhǎng)函數(shù)，C錯(cuò)誤，排除C，B正確，選B。
2、下列命題中正確的是（
）
A當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=的圖像是一條直線
B冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)（0，0），（1，1）兩點(diǎn)C若冪函數(shù)y=的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y=在定義域上是指數(shù)D冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)圖像的基本特征。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)圖像的基本特征，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=的定義域是（-，0）（0，+），函數(shù)y=的圖像兩條射線，不是一條直線，A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=的圖像不過(guò)點(diǎn)（0，0），B錯(cuò)誤；對(duì)C,
冪函數(shù)y=的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)y=是奇函數(shù)，不是指數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)D，冪函數(shù)y=的圖像一定不過(guò)第四象限，冪函數(shù)y=的圖像不可能在第四象限，D正確，選D。
3、在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出下列冪函數(shù)的圖像：
（1）y=x；
（2）y=；
（3）y=；
（4）y=；
（5）y=；
（6）y=。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)圖像的基本作法。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)圖像的基本作法，結(jié)合問(wèn)題條件在同一直角坐標(biāo)系中分別作出各冪函數(shù)的圖像。
【詳細(xì)解答】函數(shù)y=x，y=，y=，y=，y=，y=是指數(shù)分別為1，2，3，
，-1，-2的冪函數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x，y=，y=，y=，y=，y=的圖像如圖所示：
4、作出下列一元二次函數(shù)的圖像：
（1）作出函數(shù)f(x)=；
（2）作出函數(shù)f(x)=2+4x+3的圖像；
（3）作出函數(shù)f(x)=-
+4x-2的圖像。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)圖像的基本作法。
【解題思路】根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次函數(shù)圖像的基本作法，結(jié)合問(wèn)題條件在同一直角坐標(biāo)系中分別作出各一元二次函數(shù)的圖像。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=，f(x)=2+4x+3，f(x)=-
+4x-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），
（-1，1），（2，2），對(duì)稱軸分別為x=0，x=-1,x=2，與X軸的交點(diǎn)分別是（0，0），無(wú)交點(diǎn)，（2-，0），（2+，0），圖像的開(kāi)口分別是向上，向上，向下，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)=，f(x)=2+4x+3，f(x)=-
+4x-2的圖像如圖所示：
5、已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），求該冪函數(shù)的解析式，并作出冪函數(shù)的圖像，判斷冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)圖像的基本作法；③求函數(shù)解析式的基本方法；④判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法；⑤判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出冪函數(shù)的解析式；運(yùn)用作冪函數(shù)圖像的基本方法就可作出冪函數(shù)的圖像；利用判斷函數(shù)單調(diào)性（或奇偶性）的基本方法就可判斷冪函數(shù)的單調(diào)性（或奇偶性）。
【詳細(xì)解答】設(shè)冪函數(shù)f(x)=
，冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），=，a=,冪函數(shù)的解析式為：f(x)=；作出函數(shù)f(x)=的圖像如圖所示：函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)椋?，+
），任取，
［0，+
），且＜，
f()-
f()=-
==＜0，函數(shù)f(x)=在［0，+
）上單調(diào)遞增；函數(shù)f(x)=定義域?yàn)椋?，+
）關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)f(x)=不具有奇偶性。
『思考問(wèn)題2』
（1）【典例2】是一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）圖像及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題需要了解一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的圖像，掌握一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）圖像的基本作法；
（2）若a＞0,則冪函數(shù)y=的圖像為單曲線型，冪函數(shù)y=的圖像都過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，1）；①當(dāng)a＞1時(shí)，圖像在〔0，+∞）上是向下凸的（簡(jiǎn)稱為凸函數(shù)）；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖像在〔0，+∞）上是向上凸的（簡(jiǎn)稱為凹函數(shù)）；
（3）若a＜0,則冪函數(shù)y=的圖像為雙曲線型，冪函數(shù)y=的圖像都過(guò)點(diǎn)（1，1），且與x軸、y軸無(wú)限接近，在（0，+∞）上圖像都是向左凸的；
（4）冪函數(shù)y=的圖像一定經(jīng)過(guò)第一象限，且一定不經(jīng)過(guò)第四象限。
（5）作二次函數(shù)f(x)=a+bx+c(a≠0)的圖像的基本步驟是：①確定圖像的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②確定圖像的對(duì)稱軸；③求出圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。
〔練習(xí)2〕解答下列問(wèn)題：
y
1、如圖所示的曲線是冪函數(shù)y=在第一象限
的圖像，已知a取2，
四個(gè)值，則相應(yīng)
1
----|
于，，，的a依次為（
）
0
1
x
A
-2，-，，2
B
-2，，-，-2
C
-，-2，2，
D
2，，-2，-
2、在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出下列冪函數(shù)的圖像：
（1）y=x；
（2）y=；
（3）y=；
（4）y=；
（5）y=；
（6）y=。
3、已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），試求出此函數(shù)的解析式，并作出其圖像，判斷其奇偶性和單調(diào)性；
4、作出下列一元二次函數(shù)的圖像：
（1）作出函數(shù)f(x)=2-3x-2的圖像；
（2）作出函數(shù)f(x)=-
+3x-2的圖像。
【典例3】解答下列問(wèn)題：
1、當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)，下列不等式正確的是（
）
A＞
B＞
C＞
D＞
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)A，0＜a＜b＜1，0＜1-a＜1，＞b,
＜,A錯(cuò)誤；對(duì)B，0＜a＜b＜1，1＜1+a＜1+b，
＜，B錯(cuò)誤；對(duì)C，0＜a＜b＜1，0＜1-a＜1，b＞,
＜，C錯(cuò)誤；對(duì)D，0＜a＜b＜1，0＜1-b＜1-a＜1，＞＞,D正確，選D。
2、下列冪函數(shù)中，①y=；②y=；③y=x；④y=；⑤y=。其中在定義域內(nèi)為增函數(shù)的個(gè)數(shù)為（
）
A
2
B
3
C
4
D
5
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】對(duì)①，
函數(shù)y=在定義域（-，0），（0，+）上單調(diào)遞減，①不是；對(duì)②，
函數(shù)y=在定義域[0，+）上單調(diào)遞增，②是；對(duì)③，
函數(shù)y=x在定義域R是單調(diào)遞增，③是；對(duì)④，
函數(shù)y=在定義域（-，0）上單調(diào)遞減，④不是；對(duì)⑤，
函數(shù)y=在定義域R是單調(diào)遞增，⑤是，B正確，選B。
3、設(shè)a=，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系是（
）
A
a＜c＜b
B
b＜a＜c
C
a＜b＜c
D
c＜a＜b
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件確定出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】
a==
，b==
，0.6>0.4，
a=<
b=，B錯(cuò)誤，排除B；0<0.6<1，0.5>0.3，
b=<
c=，A，D錯(cuò)誤，排除A，D；C正確，選C。
4、函數(shù)f(x)=
+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充要條件是（
）
A
m=-2
B
m=2
C
m=-1
D
m=1
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出m的值就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】①充分性，當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)f(x)=
+mx+1圖像的對(duì)稱軸x=-=-=-
=1,
m=-2是函數(shù)f(x)=
+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充分條件；②必要性，
當(dāng)函數(shù)f(x)=
+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱時(shí)，-=1，m=-2，
m=-2是函數(shù)f(x)=
+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的必要條件，即m=-2是函數(shù)f(x)=
+mx+1的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充分必要條件，A正確，選A。
5、函數(shù)f(x)=
a+(a-3)x+1在區(qū)間［-1，+）上是單調(diào)遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（
）
A
［-3，0）
B
（-，-3］
C
［-2，0］
D
［-3，0］
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組求出實(shí)數(shù)a的取值范圍就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=
a+(a-3)x+1在區(qū)間［-1，+）上是單調(diào)遞減，a<0①，且
--1②，聯(lián)立①②解得：-3a<0，A正確，選A。
6、如果二次函數(shù)f(x)=
-(a-1)x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，求f(2)的取值范圍；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，求解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，從而就可求出f(2)的取值范圍。
【詳細(xì)解答】一元二次函數(shù)f(x)=
-(a-1)x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，x=-
=，a2，
f(2)=4-2a+2+5=11-2a
11-4
7，f(2)的取值范圍是[7，+）。
7、已知冪函數(shù)f(x)=
給出下列命題：
（1）若x＞1，則f(x)
＞1；（2）若0＜＜，則f()-f()＞-；（3）若0＜＜，則f()＜f()；（4）若0＜＜，則＞，其中所有正確命題的序號(hào)是
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和判斷命題真假的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件對(duì)各個(gè)命題的真假進(jìn)行判斷就可得出正確命題的序號(hào)。
【詳細(xì)解答】對(duì)（1），冪函數(shù)f(x)=
在R上單調(diào)遞增，f(1)=1
，
f(x)
＞1，即若x＞1，則f(x)
＞1正確；對(duì)（2），當(dāng)0＜＜時(shí)，->0，
f()-f()>-，
＞1，即冪函數(shù)f(x)=
圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1不成立，
若0＜＜，則f()-f()＞-錯(cuò)誤；對(duì)（3）若0＜＜，.>0，f()＜f()，<，即冪函數(shù)f(x)=
圖像上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率隨x的增大而增大不成立，若0＜＜，則f()＜f()錯(cuò)誤；對(duì)（4），冪函數(shù)f(x)=
在R上單調(diào)遞增，若0＜＜，則＞正確，正確命題的序號(hào)是（1），（4）。
8、已知二次函數(shù)f(x)=
-x+1在區(qū)間［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②含參數(shù)不等式恒成立時(shí)，求參數(shù)取值范圍的基本方法。
【解題思路】由在區(qū)間［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，在區(qū)間［-1，1］上不等式-3x+1＞m恒成立，運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)-3x+1區(qū)間［-1，1］上的最小值，從而就可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。
【詳細(xì)解答】在區(qū)間［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，在區(qū)間［-1，1］上不等式-3x+1＞m恒成立，設(shè)函數(shù)g(x)=-3x+1，函數(shù)g(x)=-3x+1區(qū)間［-1，1］上單調(diào)遞減，=
g(1)=1-31+1=-1，m<-1，在區(qū)間［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-，-1）。
9、已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2
a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②含參數(shù)不等式恒成立時(shí)，求參數(shù)取值范圍的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于參數(shù)a的不等式組，求解不等式組就可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=2
a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0，
f(-1)=2
a-2-3=2
a-5<0①，且f(1)=2
a+2-3=2
a-1<0②，聯(lián)立①②解得：a<，當(dāng)函數(shù)f(x)=2
a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-，）。
10、已知＜，求m的取值范圍；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。
【詳細(xì)解答】=，=，①若m>0，>1，
0<<1，＜成立；②若m=0，=1，=1，
＜不成立；③若m<0，0<<1，>1，＜不成立，綜上所述，當(dāng)＜時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是
（0，+）。
11、已知＞，求x的取值范圍；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②比較實(shí)數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和比較實(shí)數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出實(shí)數(shù)x的取值范圍。
【詳細(xì)解答】=，=，>，①若x>0，＞，x>1；②若x<0，>0，
<0，＞恒成立，綜上所述，當(dāng)＞時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-，0）（1，+），
12、證明冪函數(shù)f(x)=
在〔0，+∞）上是增函數(shù)；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可證明函數(shù)f(x)=
在〔0，+∞）上是增函數(shù)。
【詳細(xì)解答】任取，〔0，+∞），且＜，
f()-f()=-
==
<0，
f()在〔0，+∞）上是增函數(shù)。
13、若點(diǎn)（，2）在冪函數(shù)f(x)的圖像上，點(diǎn)（-2，）在冪函數(shù)g(x)的圖像上，定義h(x)=
f(x)，f(x)≤g(x)，試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間。
g(x)，f(x)＞g(x)，
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)解析式的基本方法；③判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法；④求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)解析式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件分別求出函數(shù)f(x)，g(x)的解析式，從而求出函數(shù)h(x)的解析式，根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法就可求出函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間，利用求函數(shù)最值的基本方法就能求出函數(shù)h(x)的最大值。
【詳細(xì)解答】設(shè)函數(shù)f(x)=
，g(x)=
，點(diǎn)（，2）在冪函數(shù)f(x)的圖像上，點(diǎn)（-2，）在冪函數(shù)g(x)的圖像上，2===，==，a=2，b=-2，
f(x)=
，g(x)=
，在同一直角坐標(biāo)系中
y
作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖像如圖所示，由圖知，
g(x)=
h(x)=
，x（-∞，-1）（1，+∞），
f(x)=
，x[-1，1]，函數(shù)h(x)在（-∞，-1），
-1
0
1
x
（0，1]上單調(diào)遞增，在
[-1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)x[-1，1]時(shí)，=
f(-1)
=
f(1)=1；當(dāng)x（-∞，-1）（1，+∞）時(shí)，<
g(-1)=
g(1)<1，
函數(shù)h(x)的最大值是1。
14、已知冪函數(shù)f(x)=
(m∈)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，+∞)上是減函數(shù)，求滿足＜的a的取值范圍；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法；③判斷函數(shù)奇偶性的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性，奇偶性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出m的值，利用冪函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于參數(shù)a的不等式組，求解不等式組就能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】?jī)绾瘮?shù)f(x)=
(m∈)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，+∞)上是減函數(shù)，-2m-3<0，-1m=1，＜，
<，設(shè)函數(shù)g(x)=
，函數(shù)g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，
<，0<3-2aa<-1或，
滿足＜的a的取值范圍是（-∞，-1）（，）。
15、已知二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)的圖像與直線y=25有公共點(diǎn)，且不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，求a，b，c的取值范圍；
解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求解一元二次不等式的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a，b，c的不等式組，求解不等式組就能求出實(shí)數(shù)a，b，c的取值范圍。
【詳細(xì)解答】二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)的圖像與直線y=25有公共點(diǎn)，方程a+bx+c-25=0有實(shí)數(shù)根，=-4a（c-25）=-4ac+100a0①，不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，a<0②，且a-b+c=0③，a+b+c=0④，聯(lián)立①②③④解得：a-144，b-24，c24，實(shí)數(shù)a，b，c的取值范圍分別是（-∞，-144]，（-∞，-24]，[24，+∞）。
16、已知函數(shù)f(x)=
的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)定義域的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)定義域的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組就能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=
的定義域是R，
a+ax-3≠0在R上恒成立，①當(dāng)a=0時(shí)，a+ax-3=0+0-3=-3≠0，②當(dāng)a≠0時(shí)，
a+ax-3≠0在R上恒成立，
=+12a<0，-12的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-12，0]。
『思考問(wèn)題3』
（1）【典例3】是一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）)性質(zhì)及運(yùn)用的問(wèn)題，解答這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)該理解并掌握一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的性質(zhì)，注意結(jié)合一元二次函數(shù)（或冪函數(shù)）的圖像；
（2）二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)的性質(zhì)與一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0)
(a≠0)的知識(shí)密切聯(lián)系在一起，解答問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意結(jié)合一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0)
(a≠0)的相關(guān)知識(shí)；
（3）冪函數(shù)y=的性質(zhì)是由a的取值來(lái)確定的，對(duì)于常數(shù)a一般有：①a>0；②
a<0兩種情況；
（4）運(yùn)用冪函數(shù)y=的性質(zhì)應(yīng)從如下幾個(gè)方面入手：①根據(jù)常數(shù)a的取值弄清冪函數(shù)y=的圖像；②分辨清楚冪函數(shù)y=的圖像在第一象限的凹、凸性；③判別冪函數(shù)y=的奇偶性；
（5）比較冪值大小的常見(jiàn)類型有：①底數(shù)相同，指數(shù)不同，比較的基本方法是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；②底數(shù)不同，指數(shù)相同，比較的基本方法是運(yùn)用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；③底數(shù)不同，指數(shù)也不相同，比較的基本方法是確定一個(gè)中間值，再將兩個(gè)冪值與中間值進(jìn)行比較，然后得出結(jié)果。
〔練習(xí)3〕解答下列問(wèn)題：
1、已知冪函數(shù)y=，當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f(x)＜x，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（
）
A
0＜a＜1
B
a＜1
C
0＜a
D
a＜0
2、下列冪函數(shù)中圖像過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，1），且是偶函數(shù)的是（
）
A
y=
B
y=
C
y=
D
y=
3、下列關(guān)系中正確的是（
）
A
＜＜
B
＜＜
C
＜＜
D
＜＜
4、下列函數(shù)中定義域和值域不同的函數(shù)是（
）
A
y=
B
y=
C
y=
D
y=
5、冪函數(shù)y=(mZ)的圖像如圖所示，
y
則m的值為（
）
|
1
|
A
3
B
0
C
1
D
2
-1
0
1
x
6、已知x∈［-1，1］時(shí),
f(x)=
-ax+＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（
）
A
（0，2）
B
（2，+）
C
（0，+）
D
（0，4）
7、已知冪函數(shù)y=（m）的圖像與X軸、Y軸無(wú)交點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m=
；
8、已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)（，），則lgf(2)+lgf(5)=
；
9、已知冪函數(shù)f(x)=
若f(a+1)
＜f(10-2a)，則a的取值范圍是
；
10、函數(shù)y=
的定義域是
；
11、已知f(x)=
-
-2，f(-2014)=5，則f(2014)=
；
12、若函數(shù)f(x)=
（a＞0，且a
1）在［-1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)=（1-4m）在〔0，+∞）上是增函數(shù)，則a=
；
13、設(shè)二次函數(shù)f(x)=
a-2x+2，對(duì)于滿足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
；
14、比較下列各組數(shù)的大小：
（1）和；
（2）和；
（3）和。
15、證明冪函數(shù)y=在區(qū)間〔0，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間(-∞,0〕上是減函數(shù)；
16、已知冪函數(shù)y=（m），的圖像關(guān)于Y軸對(duì)稱，且在（0，+）上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足＜的a的取值范圍。
17、已知二次函數(shù)f(x)=
+(a+1)x+3在區(qū)間（2，3）上是增函數(shù)，求f(3)的取值范圍；
18、已知函數(shù)f(x)=
的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【典例4】解答下列問(wèn)題：
1、求函數(shù)f(x)=2+3x+1在區(qū)間〔2，3〕上的最大值與最小值；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出函數(shù)f(x)的最大值和最小值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸為x=-
=-
，
函數(shù)f(x)在區(qū)間〔2，3〕上單調(diào)遞增，
=
f(3)=29+33+1=28，=
f(2)=24+32+1=15，函數(shù)f(x)=2+3x+1在區(qū)間〔2，3〕上的最大值為28，最小值為15。
2、設(shè)函數(shù)f(x)=4-4ax+-2a+2在區(qū)間〔0，2〕上有最小值3，求a的值；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件根據(jù)對(duì)稱軸的位置分情況得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸x=-
=
，①當(dāng)<0，即a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〔0，2〕上單調(diào)遞增，=
f(0)=40-4a0+-2a+2=-2a+2=3，a=1-；②當(dāng)0<2，即0a<4時(shí)，=
f()=4-4a+-2a+2=-2a+2=3，此時(shí)無(wú)解；③當(dāng)2，即a4時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〔0，2〕上單調(diào)遞減，=
f(2)=44-4a2+-2a+2=-10a+18=3，a=5+，綜上所述，若函數(shù)f(x)=4-4ax
+-2a+2在區(qū)間〔0，2〕上有最小值3，則a的值為1-或5+。
3、已知函數(shù)f(x)=a+2ax+1在區(qū)間［-1，2］上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件根據(jù)對(duì)稱軸的位置分情況得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸x=-
=-1，①當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〔-1，2〕上單調(diào)遞增，=
f(2)=a4+2a2+1=8a+1=4，a=；②當(dāng)a=0時(shí)，
f(x)=0+0+1
=1≠4，此時(shí)無(wú)解；③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〔-1，2〕上單調(diào)遞減，=
f(-1)=a1+2a（-1）+1=-a+1=4，a=-3，綜上所述，若函數(shù)f(x)
a+2ax+1在區(qū)間［-1，2］上有最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為或-3。
4、已知函數(shù)f(x)=+3x-5，x∈〔t，t+1〕。
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）求f(x)的最大值g(t)。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件根據(jù)對(duì)稱軸的位置分情況得到關(guān)于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸x=-
=-
，①當(dāng)t+1<-
，即t<-
時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〔t，t+1〕上單調(diào)遞減，=
g(t)=
f(t)=
+3t-5，=
h(t)=
f(t+1)=
+3(t+1)-5=
+5t-1；②當(dāng)t<-
t<-
時(shí)，
f(t+1)=
+3(t+1)
-5=
+5t-1，f(t)=
+3t-5，f(t+1)-
f(t)=2t+4，
若-2t<-
，=
g(t)=
f(t+1)=
+3(t+1)-5=
+5t-1，若-
t<-2，=
g(t)=
f(t)=
+3t-5，=
h(t)=
f(-
)=+3（-）-5=-；③當(dāng)t-
時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間〔t，t+1〕上單調(diào)遞增，
=
g(t)=
f(t+1)=
+3(t+1)-5=
+5t-1，
=
h(t)=
f(t)=
+3t-5，綜上所述，當(dāng)t-2時(shí)，f(x)的最大值g(t)=
+5t-1，當(dāng)t<-2時(shí)，f(x)的最大值g(t)=
+3t-5；當(dāng)
t<-
時(shí)，f(x)的最小值h(t)=
+5t-1，當(dāng)-
t<-
時(shí)，f(x)的最小值h(t)=-
，當(dāng)t-
時(shí)，f(x)的最小值h(t)=
+3t-5。
5、已知函數(shù)f(x)=+2ax+2，x∈［-5，5］.
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f(x)在［-5，5］上是單調(diào)函數(shù)。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法；③判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】（1）運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和求函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件就可求出函數(shù)f(x)的最大值和最小值；（2）運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件根據(jù)對(duì)稱軸的位置分情況得到關(guān)于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f(x)=-2x+2圖像的對(duì)稱軸為x=-
=1，=
f(-5)=25-2
（-5）+2=37，=
f(1)=1-2
1+2=1；（2）函數(shù)f(x)=+2ax+2的對(duì)稱軸為x=-
=-a，①當(dāng)-a-5，即a5時(shí)，函數(shù)f(x)
在［-5，5］上單調(diào)遞增；②當(dāng)-a5，即a-5時(shí)，函數(shù)f(x)
在［-5，5］上單調(diào)遞減，綜上所述，若函數(shù)f(x)在［-5，5］上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-，-5]
[5，+）。
『思考問(wèn)題4』
（1）【典例4】是求二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)在閉區(qū)間〔p，q〕上的最值問(wèn)題，解答這類問(wèn)題首先應(yīng)該明確影響二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)在閉區(qū)間〔p，q〕上的最值的因素，其次是確定二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)在閉區(qū)間〔p，q〕上的單調(diào)性；
（2）二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)在閉區(qū)間〔p，q〕上的最值問(wèn)題主要包括：①對(duì)稱軸不確定，區(qū)間確定；②對(duì)稱軸確定，區(qū)間不確定；③對(duì)稱軸和區(qū)間都不確定三種類型；
（3）在區(qū)間內(nèi)同時(shí)討論最大值和最小值問(wèn)題時(shí)應(yīng)分：①對(duì)稱軸在閉區(qū)間的左邊或過(guò)左端點(diǎn)；②對(duì)稱軸在閉區(qū)間之間并靠近左端點(diǎn)；③對(duì)稱軸在閉區(qū)間之間并靠近右端點(diǎn)；
④
對(duì)稱軸在閉區(qū)間的右邊或過(guò)右端點(diǎn)四種情況來(lái)討論。
〔練習(xí)4〕解答下列問(wèn)題：
1、求函數(shù)f(x)=3+2x+2在區(qū)間〔2，5〕上的最大值與最小值；
2、已知函數(shù)f(x)=a-2x(0
x
1)，求函數(shù)f(x)的最小值；
3、已知函數(shù)f(x)=4-4ax+-2a+2在區(qū)間〔1，3〕上有最大值2，求a的值，
4、若函數(shù)f(x)=1-2a-2acosx-2sinx的最小值為g(x)。
（1）求g(x)的表達(dá)式；
（2）求能使g(x)=
的a值，并求出當(dāng)a取此值時(shí)，f(x)的最大值。
【典例5】解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)f(x)=
-
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（
）
A
0
B
1
C
2
D
3
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②冪函數(shù)的定義與性質(zhì)；③確定函數(shù)零點(diǎn)的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用確定函數(shù)零點(diǎn)的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=
-
=0，
h(x)=
y
=，設(shè)函數(shù)g(x)=
，h(x)=
，在
g(x)=
同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像如圖
所示，由圖知函數(shù)函數(shù)g(x)，h(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f(x)=
-
只有一個(gè)零點(diǎn)，B正確，選B。
2、
函數(shù)f(x)=-+4x-4在區(qū)間〔1，3〕上的零點(diǎn)情況是（
）
A
沒(méi)有零點(diǎn)
B
有一個(gè)零點(diǎn)
C
有兩個(gè)零點(diǎn)
D
有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②確定函數(shù)零點(diǎn)的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)的性質(zhì)和確定函數(shù)零點(diǎn)的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)
在區(qū)間〔1，3〕上的零點(diǎn)就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)
=-+4x-4圖像的對(duì)稱軸為x=-=2，f(1)=-1+4
1-4=-1<0，
f(2)=-4+4
2-4=0，f(3)=-9+4
3-4=-1<0，函數(shù)f(x)=-+4x-4在區(qū)間〔1，3〕上只有一個(gè)零點(diǎn)，B正確，選B。
3、已知關(guān)于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的兩根異號(hào)，且負(fù)根的絕對(duì)值比正根大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；③一元二次方程根的判別式及運(yùn)用；④韋達(dá)定理及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組就可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。
【詳細(xì)解答】關(guān)于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的兩根異號(hào)，且負(fù)根的絕對(duì)值比正根大，=16-4（m+3）（2m-1）=8-20m+120①，且m+30②，<0③，
<0④，聯(lián)立①②③④解得：-34、對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：ab=
-ab，a＞b，設(shè)f(x)=(2x-1)
（x-1），且關(guān)于-ab，ab，x的方程f(x)=m（m∈R）恰有三
個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，，，則的取值范圍是
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②確定函數(shù)零點(diǎn)的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用確定函數(shù)零點(diǎn)的基本方法，結(jié)合問(wèn)題條件求出函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，，就可求出的取值范圍。
-（2x-1）（x-1）=-+x，x>0，
【詳細(xì)解答】
f(x)=(2x-1)
（x-1）=
-（2x-1）（x-1）=2-x，x0，作出函
數(shù)f(x)的圖像如圖所示，方程f(x)=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，，，
由圖知0，（，0），+=2=1，且>0，>0，0<.
<=，<<0，0<-<，0<-..<，<
..<0，即的取值范圍是（，0）。
5、已知關(guān)于x的二次方程+2mx+2m+1=0，若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1,0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；③一元二次方程根的判別式及運(yùn)用；④韋達(dá)定理及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組就可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。
【詳細(xì)解答】根據(jù)題意作出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖
所示，關(guān)于x的二次方程+2mx+2m+1=0有兩根，
y
其中一根在區(qū)間（-1,0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
=4-4（2m+1）=4-8m-40①，且f(-1).
f(0)
-1
0
1
2
x
=（1-2m+1）（2m+1）=-4+2m+2＜0②，f(1).f(2)=（1+2m+2m+1）(4+4m+1)=16+28m+10＜0③，聯(lián)立①②③解得：-＜m＜-,若關(guān)于x的二次方程+2mx+2m+1=0有兩根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-，-）。
6、已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2a+2x-3-a，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔-1,1〕上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；③一元二次方程根的判別式及運(yùn)用；④韋達(dá)定理及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，結(jié)合問(wèn)題條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，求解不等式組就可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=2a+2x-3-a在區(qū)間〔-1,1〕上有零點(diǎn)，=4+8a（3+a）=8+24a+4
0①，且f(-1).
f(1)=(2a-2-3-a)(2a+2-3-a)=（a-5）(a-1)＜0②，聯(lián)立①②解得：a＜5，函數(shù)f(x)=2a+2x-3-a在區(qū)間〔-1,1〕上有零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［，5）。
『思考問(wèn)題5』
（1）【典例5】是一元二次函數(shù)f(x)=
a+bx+c(a≠0)
（或冪函數(shù)f(x)=
）的綜合問(wèn)題，解答時(shí)應(yīng)分清綜合問(wèn)題屬于哪一類型，具體涉及到哪些相關(guān)知識(shí)；
（2）一元二次函數(shù)，一元二次方程和一元二次不等式之間具有特定的聯(lián)系，解答一元二次函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意三者之間的這種特有的關(guān)系，靈活運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行快捷，準(zhǔn)確的解答。
〔練習(xí)5〕解答下列問(wèn)題：
1、函數(shù)f(x)=
-
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（
）
A
0
B
1
C
2
D
3
2、函數(shù)f(x)=-+2x-2在區(qū)間〔0,2〕上的零點(diǎn)情況是（
）
A
沒(méi)有零點(diǎn)
B
有一個(gè)零點(diǎn)
C
有兩個(gè)零點(diǎn)
D
有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)
3、已知m是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=m+2x-3+m，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔-1,1〕上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
4、已知關(guān)于x的二次方程+mx+m+1=0，若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（2，3）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

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