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北師大版《數(shù)學(xué)》（六年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)
第一章
圓
1．圓的定義：平面上的一種曲線圖形。
2．將一張圓形紙片對(duì)折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。圓心一般用字母O表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等。
3．半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。半徑一般用字母r表示。把圓規(guī)兩腳分開(kāi)，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4．圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
5．直徑：通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑一般用字母d表示。
例：圓中最長(zhǎng)的線段是圓的（
直徑
）。
6．在同一個(gè)圓內(nèi)，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7．在同一個(gè)圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑，有無(wú)數(shù)條直徑。
例：圓有（
無(wú)數(shù)
）條半徑，（
無(wú)數(shù)
）條直徑，（
無(wú)數(shù)
）條對(duì)稱(chēng)軸。
8．在同一個(gè)圓內(nèi)直徑與半徑關(guān)系：d＝2r
r
＝d
9．圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。
10．圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。我們把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率，用字母表示。圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，取3.14。世界上第一個(gè)把圓周率算出來(lái)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。
11．圓的周長(zhǎng)公式：C=πd
=2r
12．圓的面積：圓所占面積的大小叫圓的面積。
13．把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，割拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半r，寬相當(dāng)于圓的半徑r，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=
r×r。圓的面積公式：Ｓ＝ｒ?。
例：把一個(gè)圓平均分成若干份，可以拼成一個(gè)近似于長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓（????周長(zhǎng)的一半???），寬相當(dāng)于圓的（??半徑???），所以圓的面積S=（??ｒ?
??）。
14．圓的面積公式：
例：一個(gè)半圓形池塘，它的直徑是4米，求它的面積。
解：S=（d2）?÷2
=2π㎡
答：面積是2π平方米
15．在一個(gè)正方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。
例：邊長(zhǎng)為4厘米的正方形中畫(huà)一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是（
4π
）。
16．在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。
例：在一個(gè)長(zhǎng)8厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形紙板上剪一個(gè)最大的圓，圓的面積是（
?6.25π?
）平方厘米。
17．一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑是R，內(nèi)圓的半徑是r，它的面積是S=R?－ｒ?　或　S=（R?－ｒ?）。（其中R＝r＋環(huán)的寬度．）
例：在一個(gè)直徑是2米的圓形水池四周修一條寬1米的石子路，石子路的面積是多少？
解：r=2米÷2=1米
R=1米＋1米=2米
S=R?－ｒ?
=（2?-1?）㎡
=3π㎡
答：石子路的面積是3π㎡。
18．半圓的周長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。半圓的周長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的一半的區(qū)別在于，半圓有直徑，而圓周長(zhǎng)的一半沒(méi)有直徑。
半圓的周長(zhǎng)公式：Ｃ＝d2＋d　或　Ｃ＝r＋2r
圓周長(zhǎng)的一半=r
例：半圓的周長(zhǎng)就是用圓的周長(zhǎng)除以2。（???×
）
19．半圓面積＝圓的面積2　　公式為：Ｓ＝ｒ?2
例：一個(gè)半徑為20米的舞臺(tái)，面積是多少？
解：S=πｒ?
÷2
=π×20×20÷2
=200π㎡
答：舞臺(tái)的面積是200π㎡。
20．在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小以上倍數(shù)的平方倍。
例：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大4倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大（
4
）倍，而面積擴(kuò)大（
16
）倍。
21．兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長(zhǎng)比，而面積比等于以上比的平方。
例如：兩個(gè)圓的半徑比是2：3，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是2：3，而面積比是4：9。
22．圓周長(zhǎng)和直徑的比是：1，比值是；
圓周長(zhǎng)和半徑的比是2：1，比值是2；
例：已知一個(gè)圓形跑到的周長(zhǎng)是1256米，求該圓的直徑和半徑。
解:d=c÷π=1256÷3.14=400米
r=c÷2π=200米
答：圓的直徑和周長(zhǎng)分別是400米和200米。
23．當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加ａ厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加2ａ厘米；
當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加ａ厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加ａ厘米。
例：一個(gè)半徑為3米的圓，半徑增加1米，周長(zhǎng)增加多少米？
解：C1
=2πr=6π
米
C2
=2πr=8π
米
增加量：C2-
C1=8π-6π=2π
米
答：周長(zhǎng)增加了2π米。
24．在同一圓中，圓心角占圓周角的幾分之幾，它所在扇形面積就占圓面積的幾分之幾；所對(duì)的弧就占圓周長(zhǎng)的幾分之幾。
25．當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積最大，長(zhǎng)方形的面積最小。
26．扇形弧長(zhǎng)公式：
扇形的面積公式：　S=ｒ?
（n為扇形的圓心角度數(shù)，r為扇形所在圓的半徑）
例：一個(gè)圓心角是90°的扇形，半徑是4厘米，面積是多少？
解：90°÷360°×πr?=4π
平方厘米
答：面積是4π平方厘米。
27．軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。
28．
有一條對(duì)稱(chēng)軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
有2條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：長(zhǎng)方形
有3條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：等邊三角形
有4條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：正方形
有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：圓、圓環(huán)。
29．直徑所在的直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸。
例：圓是（?軸對(duì)稱(chēng)）圖形，有（無(wú)數(shù)）條對(duì)稱(chēng)軸。半圓有（1）條對(duì)稱(chēng)軸。
第二章　百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用
（一）百分?jǐn)?shù)的基本概念
1．百分?jǐn)?shù)的定義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)也叫做百分率或百分比。
百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)之間的比率關(guān)系，不表示具體的數(shù)量，所以百分?jǐn)?shù)不能帶單位。
2．百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。
例如：25％的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的25％。
3．百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)分子后面加上“％”來(lái)表示。分子部分可為小數(shù)、整數(shù)，可以大于100，小于100或等于100。
例：初一八班有54人，某次體育測(cè)試，54人達(dá)標(biāo)，那么初一八班體育達(dá)標(biāo)率是多少？
解：54÷54×100%=100%
答：體育達(dá)標(biāo)率為100%。
4．小數(shù)與百分?jǐn)?shù)互化的規(guī)則：
把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)；
把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。
5．百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)互化的規(guī)則：
　　　把分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)，通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡的保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)；
　　　把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
2/5=（
0.4
）=(?40
)%
（二）百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）
求增加百分之幾？減少百分之幾？
公式：增加百分之幾=增加的部分÷單位1
減少百分之幾=減少的部分÷單位1
例：45立方厘米的水結(jié)成冰后，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比原來(lái)水的體積增加百分之幾？
解題思路：根據(jù)公式增加百分之幾=增加的部分÷單位1；
先確定單位1是水，已經(jīng)知道是45；增加的部分不知道，可以利用50減45求得5；最后用增加的部分5÷單位1水的45就等于增加百分之幾。
計(jì)算步驟：第一步：?jiǎn)挝?：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之幾：5÷45=11.1%
“減少百分之幾與增加百分之幾”的解題方法完全相同。
與增加百分之幾相同的還有“多百分之幾”“提高百分之幾”“增長(zhǎng)百分之幾“等。
與減少百分之幾相同的還有“少百分之幾”“降低百分之幾”“節(jié)約百分之幾”等。
百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）
比一個(gè)數(shù)增加百分之幾的數(shù)，比一個(gè)數(shù)減少百分之幾的數(shù)。
例1、某小學(xué)去年有80名學(xué)生，今年的學(xué)生人數(shù)比去年增加了25%，今年有多少名學(xué)生？
解題思路：?jiǎn)挝?去年已經(jīng)知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：80×（1+25%）
2、某小學(xué)去年有80名學(xué)生，今年的學(xué)生人數(shù)比去年減少了25%，今年有多少名學(xué)生？
解題思路：?jiǎn)挝?去年已經(jīng)知道用乘法，減少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、某小學(xué)今年有100名學(xué)生，比去年增加了25%，去年有多少名學(xué)生？
解題思路：?jiǎn)挝?去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、某小學(xué)今年有100名學(xué)生，比去年減少了25%，去年有多少名學(xué)生？
解題思路：?jiǎn)挝?去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）
百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（三）列方程解百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
1、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%，第二天看了全書(shū)的20%，第一天比第二天多看20頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？
解題思路：?jiǎn)挝?一本書(shū)不知道，可以選用方程或除法來(lái)解答。
根據(jù)“第一天比第二天多看20頁(yè)”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天減去第二天等于多出的20頁(yè)。
等量關(guān)系式：（第一天）—（第二天）=20頁(yè)
方法1：解：設(shè)這本書(shū)一共有X頁(yè)。
由“第一天看了全書(shū)的25%”可以知道第一天等于全書(shū)乘以25%，用X可以表示為25%X，由“第二天看了全書(shū)的20%”可以知道第二天等于全書(shū)乘以20%，用X可以表示為20%X.依據(jù)等量關(guān)系式“第一天—第二天=20頁(yè)”
可以列方程為：25%X—20%X=20
方法2：“第一天比第二天多看20頁(yè)”可以知道20頁(yè)是第一天和第二天的差。要求單位1只要用20頁(yè)除以20頁(yè)的對(duì)于分率。
列算式為：20÷(25%—20%)
2、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%，第二天看了全書(shū)的20%，兩天共看了20頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？
等量關(guān)系式：由“兩天共看了20頁(yè)”可以知道（第一天）+（等二天）=20頁(yè)。
方程法：
解：設(shè)這本書(shū)共有X頁(yè)，則第一天為25%X，第二天為20%X。
方程列為：25%X+20%X=20
算術(shù)法：由“兩天共看了20頁(yè)”可以知道20頁(yè)是第一天和第二天的和，要求單位1只要用20頁(yè)除以20頁(yè)的對(duì)于分率。
列算式為：20÷(25%+20%)
3、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%，第二天看了全書(shū)的20%，還剩20頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？
等量關(guān)系式：（一本書(shū)）—（第一天）—（第二天）=20頁(yè)
方程法：
解設(shè)這本書(shū)一共有X頁(yè)，則第一天為25%X，第二天為20%X。
列方程為：X—25%X—20%X=20
算術(shù)法：
20÷（1-
25%-
20%）
4、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%，第二天比第一天多看10頁(yè)，還剩20頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？
方程法：
解：設(shè)這本書(shū)一共有X頁(yè)，則第一天為25%X，第二天為（25%X+10）頁(yè)。
列方程為：X—25%X—（25%X+10）=20
百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（四）利息的計(jì)算
1.本金：存入銀行的錢(qián)叫做本金。
2．利息：取款時(shí)銀行多支付的錢(qián)叫做利息。
利息=本金×利率×?xí)r間
3．2008年10月9日以前國(guó)家規(guī)定，存款的利息要按20％的稅率納稅。國(guó)債的利息不納稅。2008年10月9日以后免收利息稅。所以如無(wú)特殊說(shuō)明，就不在計(jì)算利息稅。
4．利率：利息與本金的比值叫做利率。
5．銀行存款稅后利息的計(jì)算公式：稅后利息＝利息×（１－20％）
6．國(guó)債利息的計(jì)算公式：利息＝本金×利率×?xí)r間
7．本息：本金與利息的總和叫做本息。
8．應(yīng)納稅額：繳納的稅款叫應(yīng)納稅額。
9．稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率叫做稅率。
10．應(yīng)納稅額的計(jì)算：應(yīng)納稅額＝各種收入×稅率
例如：李老師把2000元錢(qián)存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計(jì)算，到期時(shí)，李老師的本金和利息共有多少元？
解題思路：要求“本金和利息共有多少元”應(yīng)該用本金的2000元加上利息的。
解題步驟：第一步：根據(jù)“利息＝本金×利率×?xí)r間”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老師把2000元錢(qián)存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計(jì)算，到期時(shí)，李老師的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%來(lái)上稅）
解題思路：要求“本金和利息共有多少元”應(yīng)該用本金的2000元加上利息的。
解題步驟：第一步：根據(jù)“利息＝本金×利率×?xí)r間”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算稅后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=2331.2元。
第三章
圖形的變換
圖形變換的三種方法：
第一種平移：要說(shuō)明向什么方向（上、下、左、右）平移幾個(gè)單位。
第二種旋轉(zhuǎn)：要說(shuō)明繞哪個(gè)點(diǎn)，順時(shí)針還是逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)多少度（90度、180度、270度）
第三種作對(duì)稱(chēng)圖形：要說(shuō)明是關(guān)于哪條直線作哪個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)圖形。
2、比賽場(chǎng)次、握手次數(shù)的計(jì)算
第一步：首先要算出有多少個(gè)人（或多少支隊(duì)伍）進(jìn)行比賽。有多少個(gè)人進(jìn)行握手。
第二步：計(jì)算比賽場(chǎng)次、握手次數(shù)。
例如：如果是5人，從1加到4，如果是6人，從1加到5，如果是8人，從1加到7，如果是100人，從1加到99.
3、計(jì)算起跑線。
例如：第一道的彎道半徑是36米，每個(gè)道的跑道寬度是1.2米
那么：第二道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度=36+1.2。
第三道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度+跑道寬度=36+1.2+1.2
第四道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度+跑道寬度+跑道寬度=36+1.2+1.2+1.2
第五道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度+跑道寬度+跑道寬度+跑道寬度=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的兩個(gè)道的起跑點(diǎn)相差多少米的算法：
第一步：先算出要跑幾圈。
第二步：計(jì)算出兩個(gè)半圓性跑道所構(gòu)成的圓的周長(zhǎng)。
第三步：有兩個(gè)道的圓周長(zhǎng)相減，就得出了在兩個(gè)道種跑一圈的起點(diǎn)相差多少米。第四步：用這個(gè)相差數(shù)×要跑的圈數(shù)。
第四章
比的認(rèn)識(shí)
（一）比的基本概念
兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。
比值通常用分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)表示。
比的后項(xiàng)不能為0。
同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商；
根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，比的后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的值。
6．比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。
（二）求比值
求比值：用比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)
例如：36分：1小時(shí)=0.6
8立方分米：2立方分米=4
（三）化簡(jiǎn)比
化簡(jiǎn)比：用比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)求出分?jǐn)?shù)的比值后，在把分?jǐn)?shù)比值改成比。
例如：12
:
16=3:4
（四）比的應(yīng)用
1、比的第一種應(yīng)用：
已知兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)量的和，這兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)量的比，求這兩個(gè)或這幾個(gè)數(shù)量是多少？
例如：六年級(jí)有60人，男女生的人數(shù)比是5：7，男女生各有多少人？
題目解析：60人就是男女生人數(shù)的和。
解題思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人
女生：5×7=35人。
2、比的第二種應(yīng)用：
已知一個(gè)數(shù)量是多少，兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)的比，求另外幾個(gè)數(shù)量是多少？
例如：六年級(jí)有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
題目解析：“男生25人”就是其中的一個(gè)數(shù)量。
解題思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生：
女生：5×7=35人。
全班：25+35=60人
3、比的第三種應(yīng)用：
已知兩個(gè)數(shù)量的差，兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)的比，求這兩個(gè)或這幾個(gè)數(shù)量是多少？
例如：六年級(jí)的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？
題目解析：“男生比女生多20人”就是兩個(gè)量的差。
解題思路：第一步求每份：20÷（7-5）=10人
第二步求男生、女生、全班總?cè)藬?shù)：女生：10×5=50人，
男生：10×7=70人，全班：50＋70=120人
4、要求量=已知量×
5、比在幾何里的運(yùn)用：
（1）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)和寬的比是ａ：ｂ。求長(zhǎng)和寬、面積。
長(zhǎng)=周長(zhǎng)÷2×
寬=周長(zhǎng)÷2×　面積＝長(zhǎng)×寬
（2）已知已知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和，長(zhǎng)、寬、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求長(zhǎng)、寬、高、體積
長(zhǎng)=周長(zhǎng)÷４×
寬=周長(zhǎng)÷４×　
高=周長(zhǎng)÷４×　　體積＝長(zhǎng)×寬×高
（3）已知三角形三個(gè)角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。
三個(gè)角分別為：
180×　　　180×　　　180×
（4）已知三角形的周長(zhǎng)，三條邊的長(zhǎng)度比是ａ：ｂ：ｃ，求三條邊的長(zhǎng)度。
三條邊分別為：
周長(zhǎng)×　　　周長(zhǎng)×　　　周長(zhǎng)×
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