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2011年高考試題解析數學（文科）分項版
17 選修系列：矩陣與變換
2011年高考江蘇卷21選修42:矩陣與變換(本小題滿分10分)
已知矩陣A
求向量a,使得A2c=6
解析:考察矩陣的乘法、待定系數法,容易顳。設c
4x+3y=22011年高考試題解析數學（文科）分項版
18 選修系列：坐標系與參數方程
一、填空題:
1．(2011年高考廣東卷文科14)（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別為（0≤ 和
（t∈R），它們的交點坐標為 ．
3.（2011年高考陜西卷文科15) C. （坐標系與參數方程選做題）直角坐標系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標系，設點A,B分別在曲線 （為參數）和曲線上，則的最小值為________.
【答案】1
【解析】：由得圓心為，由得圓心為，由平幾知識知當為連線與兩圓的交點時的最小值，則的最小值為
二、解答題:
4.(2011年高考江蘇卷21)選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系中，求過橢圓（為參數）的右焦點且與直線（為參數）平行的直線的普通方程。
解：（Ⅰ）設動點，則依題意：，因為點M在曲線上，所以
所以，曲線的參數方程為（為參數）
（Ⅱ）曲線的極坐標方程為
曲線的極坐標方程為，它們與射線交于A、B兩點的極徑分別是，因此，
點評：本題考查坐標系與參數方程的有關內容，求解時既可以化成直角坐標方程求解，也可以直接求解（關鍵要掌握兩種坐標系下的曲線與方程的關系與其他知識的聯系）
6.（2011年高考遼寧卷文科23)（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（為參數）曲線C2的參數方程為（，為參數）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=與C1，C2各有一個交點.當=0時，這兩個交點間的距離為2，當=時，這兩個交點重合。
（I）分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；
(II)設當=時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1,當=-時，l與C1，
C2的交點為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積。
故四邊形與A1 A2B2B1 的面積為。2011年高考試題解析數學（文科）分項版
12 概率
一、選擇題:
1. (2011年高考安徽卷文科9) 從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于
（A） (B) (C) (D)
2. （2011年高考海南卷文科6)有3個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為每位同學參加各個小組的可能性相等,所以所求概率為,選A.
3.（2011年高考浙江卷文科8)從已有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】 D
【解析】：無白球的概率是，至少有1個白球的概率為，故選D
4. （2011年高考福建卷文科7)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的重點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】這是一幾何概型,所求概率為,故選C.
5. （2011年高考四川卷文科12)在集合中任取一個偶數a和一個奇數b構成以原點為起點的向量a=（a，b）從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作為平行四邊形的個數為n，其中面積等于2的平行四邊形的個數m，則=( )
（A） （B）
（C） （D）
二、填空題：
6.(2011年高考江蘇卷5)從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率是______
【答案】
【解析】從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，所有可能的取法有6種, 滿足“其中一個數是另一個的兩倍”的所有可能的結果有(1,2),(2,4)共2種取法,所以其中一個數是另一個的兩倍的概率是.
7．（2011年高考湖南卷文科15)已知圓直線
（1）圓的圓心到直線的距離為 ．
(2) 圓上任意一點到直線的距離小于2的概率為 ．
答案：5，
解析：（1）由點到直線的距離公式可得；
（2）由（1）可知圓心到直線的距離為5，要使圓上點到直線的距離小于2，即與圓相交所得劣弧上，由半徑為，圓心到直線的距離為3可知劣弧所對圓心角為，故所求概率為.
8. （2011年高考湖北卷文科13) 在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質期的概率為 （結果用最簡分數表示）
答案：
解析：因為30瓶飲料中未過期飲料有30-3=27瓶，故其概率為.
9．（2011年高考重慶卷文科14)從甲、乙等10位同學中任選3位去參加某項活動，則所選3位中有甲但沒有乙的概率為
【答案】
三、解答題：
9. （2011年高考山東卷文科18)（本小題滿分12分）
甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（I）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同的概率；
（II）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率.
（2）從報名的6名教師中任選2名，所有可能的結果為(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15種；選出的2名教師來自同一學校的所有可能的結果為(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6種，所以選出的2名教師來自同一學校的概率為.
10. (2011年高考天津卷文科15)（本小題滿分13分）
編號分別為的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下:
運動員編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
運動員編號 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(Ⅰ)將得分在對應區間內的人數填入相應的空格:
區間
人數
(Ⅱ)從得分在區間內的運動員中隨機抽取2人,
用運動員編號列出所有可能的抽取結果;
求這2人得分之和大于50的概率.
【解析】(Ⅰ)4,6,6.
(Ⅱ)(i)解:得分在區間內的運動員編號為.從中隨機抽取2人,所有可能的抽取結果有:, ,, ,,,, ,,, ,,,,,共15種.
(ii)解:“從得分在區間內的運動員中隨機抽取2人,這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結果有: ,, ,,,共5種.
所以P(B)=.
【命題意圖】本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基礎知識,考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力.
11.（2011年高考江西卷文科16) (本小題滿分12分）
某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別．公司準備了兩種不同的飲料共5
杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工
一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優秀；若3
杯選對2杯，則評為良好；否則評為及格．假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．
求此人被評為優秀的概率；
求此人被評為良好及以上的概率．
12．（2011年高考湖南卷文科18)（本題滿分12分）
某河流上的一座水力發電站，每年六月份的發電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關．據統計，當X=70時，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的頻率分布表：
近20年六月份降雨量頻率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
頻率
（II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份的降雨量的分布規律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發電站的發電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率．
解：（I）在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為
降雨量 70 110 140 160 200 220
頻率
（II）
故今年六月份該水力發電站的發電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率為．
13. （2011年高考四川卷文科17)（本小題共12分）
本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲乙兩人獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.
（Ⅰ）分別求出甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和小于6元的概率.
解析：（Ⅰ）甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率的分別是，，故甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率都是.
（Ⅱ）設“甲、乙兩人每次租車都不超過兩小時”為事件A, “甲、乙兩人每次租車一人不超過兩小時，另一個人在兩小時以上且不超過三小時還車”為事件B, 此時，所付的租車費用之和2元；“甲、乙兩人每次租車都在兩小時以上且不超過三小時還車”為事件C，此時，所付的租車費用之和4元；甲、乙兩人每次租車一人不超過兩小時，另一個人在三小時以上且不超過四小時還車”為事件D，此時，所付的租車費用之和4元；
則,,,.
因為事件A,B,C,D互斥，故甲、乙兩人所付的租車費用之和小于6元的概率
.
所以甲、乙兩人所付的租車費用之和小于6元的概率.
14. （2011年高考陜西卷文科20)（本小題滿分13分）
如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位
從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：
（Ⅰ）試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率;
時間（分鐘）
選擇 6 12 18 12 12
選擇 0 4 16 16 4
（Ⅱ ）分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率;
（Ⅲ ）現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑。
解：（Ⅰ）由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人，用頻率估計相應的概率為0.44.
（Ⅱ ）選擇的有60人，選擇的有40人，故由調查結果得頻率為：
時間（分鐘）
的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
（ Ⅲ ），，分別表示甲選擇和時，在40分鐘內趕到火車站；，分別表示乙選擇和時，在50分鐘內趕到火車站。
由（Ⅱ）知 =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，
甲應選擇
=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， =0.1+0.4+0.4=0.9，，
∴ 乙應選擇.
15．(2011年高考廣東卷文科17)（本小題滿分13分）
在某次測驗中，有6位同學的平均成績為75分．用表示編號為的同學所得成績，且前5位同學的成績如下：
編號n 1 2 3 4 5
成績 70 76 72 70 72
（1）求第6位同學成績，及這6位同學成績的標準差；
（2）從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區間中的概率．
【解析】
16. （2011年高考福建卷文科19)（本小題滿分12分）
某日用品按行業質量標準分成五個等級，等級系數X依次為1，2，3，4，5.現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：
x 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a、b、c的值；
（11） 在（1）的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為x1, x2, x3，等級系數為5的2件日用品記為y1,y2，現從x1, x2, x3, y1, y2,這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率.
17. （2011年高考全國新課標卷文科19)（本小題滿分12分）
某種產品以其質量指標值衡量，質量指標越大越好，且質量指標值大于102的產品為優質產品，現在用兩種新配方（A配方、B配方）做試驗，各生產了100件，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面的試驗結果：
A配方的頻數分布表
指標值分組
頻數 8 20 42 22 8
B配方的頻數分布表
指標值分組
頻數 4 12 42 32 8
分別估計使用A配方，B配方生產的產品的優質品的概率；
已知用B配方生產一件產品的利潤與其質量指標的關系為：
估計用B配方生產上述產品平均每件的利潤。
分析：用事件所在區間的頻率估計值計算概率，再用題設利潤表達式求利潤。
解：（Ⅰ）由試驗結果知：使用A配方生產的優質品的概率為；
使用B配方生產的優質品的概率為
(Ⅱ)有已知條件得，用B配方生產的利潤大于0,；當且僅當其質量指標值，由試驗結果知：的頻率為0.96；所以用B配方生產一件產品利潤大于0的概率估值為0.96；因此，用B配方生產一件產品利潤為
點評：此題考查統計條件下事件的概率和利潤，要熟練掌握概率統計的概念及其概率的計算，同時要學會分析問題和解決問題。
18.（2011年高考遼寧卷文科19) (本小題滿分12分)
某農場計劃種植某種新作物．為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種
乙)進行田間試驗，選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中．隨機
選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙
(Ⅰ)假設n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率：
(Ⅱ)試驗時每大塊地分成8小塊．即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產量(單位kg／hm2)如下表：
分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為
應該種植哪一品種
附：樣本數據x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數。
解析：（I）設第一大塊地中的兩小塊地編號為1,2，第二大塊地中的兩小塊地編號為3,4，令事件A=“第一大塊地都種品種甲”，從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）。
而事件A包含1個基本事件：（1，2），所以P（A）=.
19.（2011年高考全國卷文科19) (本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立（Ⅰ）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；
(Ⅱ)求該地的3位車主中恰有一位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率。
【解析】設該車主購買乙種保險的概率為，由題：，解得
（Ⅰ）設所求概率為，則故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8.
（Ⅱ）對每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為于是所求概率為：
20．（2011年高考重慶卷文科17)（本小題滿分13分，（I）小問6分，（II）小問7分）
某市公租房的房源位于A、B、C三個片區，設每位申請人只申請其中一個片區的房源，且申請其中任一個片區的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：
（I）沒有人申請A片區房源的概率；
（II）每個片區的房源都有人申請的概率。
解：這是等可能性事件的概率計算問題。2011年高考試題解析數學（文科）分項版
16 選修系列：幾何證明選講
一、填空題:
1. (2011年高考天津卷文科13)如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F,E是AB延長線上一點,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE與圓相切,則線段CE的長為 .
【答案】
【解析】設AF=4x,BF==2x,BE=x,則由相交弦定理得:,即,即,由切割線定理得:,所以.
2．(2011年高考廣東卷文科15)（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分別為AD、BC上點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為 ．
【答案】
【解析】由題得EF是梯形的中位線，
3.（2011年高考陜西卷文科15) B.（幾何證明選做題）如圖，
且，，則=_______.
【答案】
【解析】：所以，
即
二、解答題：
4.(2011年高考江蘇卷21)選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）
如圖，圓與圓內切于點，其半徑分別為與，
圓的弦交圓于點（不在上），
求證：為定值。
解析：考察圓的切線的性質、三角形相似的判定及其性質，容易題。
證明：由弦切角定理可得
5. （2011年高考全國新課標卷文科22)（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講
如圖，D，E分別是AB,AC邊上的點，且不與頂點重合，已知
為方程的兩根，
證明 C,B,D,E四點共圓；
若，求C,B,D,E四點所在圓的半徑。
6.（2011年高考遼寧卷文科22)（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC=ED。
（I）證明：CD//AB；
（II）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F四點共圓。
F
E
D
C
B
A
第22題圖2011年高考試題解析數學（文科）分項版
05 三角函數
一、選擇題:
1. （2011年高考山東卷文科3)若點（a,9）在函數的圖象上，則tan=的值為
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由題意知:9=,解得=2,所以,故選D.
2. （2011年高考山東卷文科6)若函數 (ω>0)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則ω=
(A) (B) (C) 2 (D)3
4. （2011年高考海南卷文科11)設函數,則( )
A.在單調遞增,其圖象關于直線對稱
B.在單調遞增,其圖象關于直線對稱
C.在單調遞減,其圖象關于直線對稱
D.在單調遞減,其圖象關于直線對稱
【答案】D
【解析】因為,故選D.
5. （2011年高考福建卷文科9)若∈（0， ），且，則的值等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為∈（0， ），且，所以,
即,所以=或(舍去),所以,即,選D.
6.（2011年高考浙江卷文科5)在中，角所對的邊分.若，則
(A)- (B) (C) -1 (D) 1
【答案】 D
【解析】：由余弦定理得：
則，故選D
7. (2011年高考天津卷文科7)已知函數其中若的最小正周期為,且當時, 取得最大值,則
A. 在區間上是增函數 B. 在區間上是增函數
C. 在區間上是減函數 D. 在區間上是減函數
【答案】A
【解析】由題意知,解得,又,且,所以,所以,故A正確.
8.（2011年高考遼寧卷文科12)已知函數, y=f(x)的部分圖像如圖,則
(A) (B)
(C) (D)
答案：B
解析：函數f(x)的周期是，故，由得.所以，故。
9. （2011年高考陜西卷文科6)方程在內
(A)沒有根 (B)有且僅有一個根
(C) 有且僅有兩個根 （D）有無窮多個根
【答案】C
【解析】：令，，則它們的圖像如圖
故選C
10.（2011年高考全國卷文科7)設函數，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】即
z則時故選C
11. （2011年高考江西卷文科10)如圖，一個“凸輪”放置于直角坐標系X軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在Y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.
今使“凸輪”沿X軸正向滾動前進，在滾動過程中“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為（ ）
【答案】A
【解析】根據中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低與最高中間的位置，而是稍微偏上，隨著轉動，M的位置會先變高，當C到底時，M最高，排除CD選項，而對于最高點，當M最高時，最高點的高度應該與旋轉開始前相同，因此排除B ,選A.
12. （2011年高考四川卷文科8)在△ABC中，sin2A ≤ sin2B+ sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是
（A） （B）
(C) （D）
答案：C
解析：由正弦定理，得，由余弦定理，得，則,,.
13．（2011年高考重慶卷文科8)若△的內角，滿足，則
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空題：
13.（2011年高考江西卷文科14)已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_______.
16.(2011年高考江蘇卷9)函數是常數，的部分圖象如圖所示，則
【答案】
【解析】由圖象知：函數的周期為，而周期，所以，
由五點作圖法知：，解得，又A=，所以函數，所以
.
17.(2011年高考安徽卷文科15)設=，其中a，bR，ab0，若對一切則xR恒成立，則
①
②＜
③既不是奇函數也不是偶函數
④的單調遞增區間是
⑤存在經過點（a，b）的直線與函數的圖像不相交
以上結論正確的是 （寫出所有正確結論的編號）.
【答案】①③
【命題意圖】本題考查輔助角公式的應用，考查基本不等式，考查三角函數求值，考查三角函數的單調性以及三角函數的圖像.
【解析】，又
，由題意對一切則xR恒成立，則對一切則xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此時.所以.
①，故①正確；
②，
，
19. （2011年高考福建卷文科14)若△ABC的面積為，BC=2，C=，則邊AB的長度等于_____________.
【答案】2
【解析】由于△ABC的面積為，BC=2，C=，所以,所以AC=2, △ABC為正三角形,所以AB=2.
20．（2011年高考湖北卷文科6)已知函數，若，則的取值范圍為
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由，即，解得，所以選A.
三、解答題：
22. （2011年高考山東卷文科17)（本小題滿分12分）
在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，
【解析】(1)由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.
(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因為的周長為5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即，解得a=1，所以b=2.
23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小題滿分13分)
在ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊長，a=，b=，，求邊BC上的高.
【命題意圖】：本題考察兩角和的正弦公式，同角三角函數的基本關系，利用內角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形邊與角之間的大小對應關系解三角形的能力，考察綜合運算求解能力。
【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，
又，∴，
即，，又0°在△ABC中，由正弦定理得，
又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，
∴BC邊上的高AD＝AC·sinC＝
.
【解題指導】：解三角形問題所必備的知識點是三大定理“內角和定理、正弦定理、余弦定理”具體的思路是化統一的思想“統一成純邊或純角問題”即可。本題屬于中檔題。
24. （2011年高考江西卷文科17) (本小題滿分12分）
在中，的對邊分別是，已知.
（1）求的值；
(2)若，求邊的值．
25．(2011年高考廣東卷文科16)（本小題滿分12分）
已知函數，．
（1）求的值；
（2）設求的值．
【解析】
26. （2011年高考福建卷文科21)（本小題滿分12分）
設函數f（）=，其中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P（x,y），且.
（1）若點P的坐標為，求的值；
（II）若點P（x，y）為平面區域Ω：，上的一個動點，試確定角的取值范圍，并求函數的最小值和最大值.
【解析】(1)由點P的坐標和三角函數的定義可得,
于是.
(2)作出平面區域(即三角形區域ABC)如圖,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1),則,
又,且,
故當,即時,取得最大值2;當,即時,取得最小值1.
【命題立意】本題主要考查三角函數、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.
27. （2011年高考陜西卷文科18)（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理。
解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍。或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有，
，.
證法一 如圖，
即
同理可證，
證法二：已知 建立直角坐標系，則
同理可證
28. （2011年高考四川卷文科18)（本小題共13分）
已知函數
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求證：.
（Ⅱ），，
..
，
，
所以，結論成立.
29．（2011年高考湖南卷文科17)（本小題滿分12分）
在中，角所對的邊分別為且滿足
（I）求角的大??；
（II）求的最大值，并求取得最大值時角的大?。?br/>30. （2011年高考湖北卷文科16)（本小題滿分10分）
設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周長；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小題主要考查三角函數的基本公式和解斜三角形的基礎知識，同時考查基本運算能力.
解析：
（1）∵∴.∴△ABC的周長為a+b+c=1+2+2=5.
（2）∵ ∴
∵
∵，故A為銳角.
∴
∴
31.（2011年高考浙江卷文科18)（本題滿分14分）已知函數，，，.的部分圖像，如圖所示，、分別為該圖像的最高點和最低點，點的坐標為.
（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若點的坐標為，，求的值.
法二：設點由題意可知所以，在中
， .
32. (2011年高考天津卷文科16)（本小題滿分13分）
在中,內角A,B,C的對邊分別為.已知B=C, .
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
【命題意圖】本小題主要考查余弦定理、兩角和的余弦公式、同角三角函數的基本關系、二倍角的正弦、余弦公式等基礎知識，考查基本運算能力.
33.(2011年高考江蘇卷15)在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因為
所以解得,即A的值為.
（2）因為所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因為,所以
,所以==,解得
又因為,所以,解得的值為.
34.（2011年高考遼寧卷文科17)（本小題滿分12分）
△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a。
（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。
35.（2011年高考全國卷文科18)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知 (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若
【解析】：(Ⅰ)由正弦定理得
即
，故B=450
（Ⅱ）法一A=750，
由正弦定理得：，則
由，即
法二（Ⅱ）首先
由正弦定理同理
36．（2011年高考重慶卷文科18)（本小題滿分13分，（I）小問7分，（II）小問6分）
設函數
（1）求的最小正周期；
（II）若函數的圖象按平移后得到函數的圖象，求在上的最大值。
（II）依題意
當為增函數，
所以上的最大值為2011年高考試題解析數學（文科）分項版
10 圓錐曲線
一、選擇題:
1. （2011年高考山東卷文科9)設M(，)為拋物線C：上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則的取值范圍是
(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞)
【答案】C
3. （2011年高考海南卷文科9)已知直線過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,與C交于A,B兩點,|AB|=12,P為C的準線上一點,則的面積為( )
A.18 B.24 C.36 D.48
【答案】C
【解析】因為AB過拋物線的焦點且與對稱軸垂直,所以線段AB是拋物線的通徑,長為,所以,又點P到AB的距離為焦參數,所以的面積為,故選C.
4. (2011年高考安徽卷文科3) 雙曲線的實軸長是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【答案】C
【命題意圖】本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的性質.屬容易題.
【解析】可變形為，則，，.故選C.
5．(2011年高考廣東卷文科8)設圓C與圓 外切，與直線相切．則C的圓心軌跡為（ ）
A． 拋物線 B． 雙曲線 C． 橢圓 D． 圓
6.（2011年高考浙江卷文科9)已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與的長度為直徑的圓相交于兩點.若恰好將線段三等分，則
（A） （B） （C） (D)
【答案】 C
【解析】：由恰好將線段AB三等分得由
又，故選C.
7. (2011年高考天津卷文科6)已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(-2,-1),則雙曲線的焦距為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知,拋物線的準線方程為,所以,又,所以,又因為雙曲線的一條漸近線過點(-2,-1),所以雙曲線的漸近線方程為,即,所以,即,,選B.
8. （2011年高考福建卷文科11)設圓錐曲線I’的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線I’上存在點P滿足：：= 4:3:2，則曲線I’的離心率等于
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由：：= 4:3:2，可設,,,若圓錐曲線為橢圓,則
,,;若圓錐曲線為雙曲線,則,,,故選A.
9. （2011年高考四川卷文科11)在拋物線y=x2+ax-5(a≠0)上取橫坐標為x1=-4,x2=2的兩點，經過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與該拋物線和圓相切，則拋物線的頂點坐標是（ ）
（A） (-2,-9) （B）(0,-5)
(C) (2,-9) （D）(1,6)
10. （2011年高考陜西卷文科2)設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是
（A） （B） (C) (D)
【答案】C
【解析】：設拋物線方程為，則準線方程為于是故選C
11．（2011年高考湖南卷文科6)設雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。
12．（2011年高考湖北卷文科4)將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數記為
n，則
A. B. C. D.
答案：C
解析：設滿足條件的正三角形的三頂點為A、B、F，依題意可知，A、B必關于x軸對稱，故設 ，則，則，故由拋物線定義可得，則由，解得，由判別式計算得△>0，故有兩個正三角形，可知選C.
13.（2011年高考遼寧卷文科7)已知 F 是拋物線 的焦點，A．B是該拋物線上的兩點,|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點到y軸的距離為
(A) (B)1 (C) (D)
答案： C
解析：設A、B的橫坐標分別是m、n，由拋物線定義，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故線段AB的中點到y軸的距離為。
二、填空題：
14. （2011年高考山東卷文科15)已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 .
16. （2011年高考四川卷文科14)雙曲線上一點P到雙曲線右焦點的距離是4，那么點P到左準線的距離是 .
答案：16
解析：由雙曲線第一定義，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），設P到左準線的距離是d，由第二定義，得，解得.
17.（2011年高考全國卷文科16)已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2的平分線．則|AF2| = .
已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2∠的平分線．則|AF2| = .
【答案】6
【解析】：，由角平分線的性質得
又
18．（2011年高考重慶卷文科9)設雙曲線的左準線與兩條漸近線交于 兩點，左焦點在以為直徑的圓內，則該雙曲線的離心率的取值范圍為
A． B． C． D．，
【答案】B
三、解答題：
18. （2011年高考山東卷文科22)（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若 ，（i）求證：直線過定點；
（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.
【解析】（Ⅰ）由題意:設直線,
由消y得:,設A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即,,所以中點E的坐標為E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得
，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.
（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,又因為,,且 ，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實數k無關,所以直線過定點(-1,0).
（ii）假設點，關于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,
由（i）知點G(,所以點B(,又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為，又因為，所以解得或6，又因為,所以舍去,即，此時k=1，m=1，E，AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標為，G(,圓半徑為，圓的方程為.綜上所述, 點，關于軸對稱,此時的外接圓的方程為.
19. （2011年高考江西卷文科19) (本小題滿分12分）
已知過拋物線的焦點，斜率為的直
線交拋物線于（）兩點，且．
（1）求該拋物線的方程；
（2）為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值．
【解析】（1）直線AB的方程是
所以：，由拋物線定義得：，所以p=4，
拋物線方程為：
由p=4，化簡得，從而,從而A:(1,),B(4,)
設=，又，即8（4），即，解得.
20. （2011年高考福建卷文科18)（本小題滿分12分）
如圖，直線l ：y=x+b與拋物線C ：x2=4y相切于點A。
求實數b的值；
（11） 求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程.
【解析】（I）由得 ()
因為直線與拋物線C相切,所以,解得.
（II）由（I）可知,故方程()即為,解得,將其代入,得y=1,故點A(2,1).
因為圓A與拋物線C的準線相切,所以圓心A到拋物線C的準線y=-1的距離等于圓A的半徑r,
即r=|1-(-1)|=2,所以圓A的方程為.
【命題立意】本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想.
21．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面內一動點到點F（1，0）的距離與點到軸的距離的等等于1．
（I）求動點的軌跡的方程；
（II）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．
解析：（I）設動點的坐標為，由題意為
化簡得
當、
所以動點P的軌跡C的方程為
（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為．
由，得
設則是上述方程的兩個實根，于是
．
因為，所以的斜率為．
設則同理可得
故
當且僅當即時，取最小值16．
22. （2011年高考陜西卷文科17)（本小題滿分12分）設橢圓C: 過點（0，4），離心率為（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標
解：（Ⅰ）將（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又 得即，
∴ ∴C的方程為
（ Ⅱ）過點且斜率為的直線方程為，
設直線與Ｃ的交點為Ａ，Ｂ，將直線方程代入Ｃ的方程，
得，即，解得，，
AB的中點坐標， ，即中點為。
注：用韋達定理正確求得結果，同樣給分。
23. （2011年高考四川卷文科21)（本小題共12分）
過點的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點、，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點.
（I）當直線過橢圓右焦點時，求線段的長；
（Ⅱ）當點P異于點B時，求證：為定值.
解析：（I）因為橢圓過C(1,0)，所以b=1.因為橢圓的離心率是，所以，故，橢圓方程為.
當直線過橢圓右焦點時，直線的方程為，由得或則,故.
（Ⅱ）直線CA的方程為 ①.設點P，則直線AP的方程為 ②.
把②代入橢圓方程，得，從而可求.
因為B(-2,0),所以直線BD的方程為 ③，
由①③可得，從而求得.
，
所以為定值.
24.（2011年高考全國卷文科22) (本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
已知O為坐標原點，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足(Ⅰ)證明：點P在C上；
（Ⅱ）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.
【解析】(Ⅰ)證明：由，，
由
設
，，
故點P在C上
（Ⅱ）法一：點P，P關于點O的對稱點為Q，，
，即，同理即， A、P、B、Q四點在同一圓上.
法二：由已知有則的中垂線為：設、的中點為
∴
∴則的中垂線為：
則的中垂線與的中垂線的交點為∴
到直線的距離為
∴即
∴、、、四點在同一圓上。
25. （2011年高考湖北卷文科21) （本小題滿分13分）
平面內與兩定點連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加
上A1、A2兩點所在所面的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.
(Ⅰ)求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的位置關系；
(Ⅱ)當m=-1時，對應的曲線為C1：對給定的，對應的曲線為C2，
設F1、F2是C2的兩個焦點，試問：在C1上，是否存在點N，使得△F1NF2的面
積，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數形結合的思想.
解析：（1）設動點為M，其坐標（x, y）.
當時，由條件可得
即又的坐標滿足
故依題意，曲線C的方程為
當時，曲線C的方程為，C是焦點在y軸上的橢圓；
當時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓；
當時，曲線C 的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；
當時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的雙曲線.
（2）由（1）知，當時，C1的方程為；
當時，C2的兩個焦點分別為.
對于給定的，C1上存在點使得的充要條件是
由①得，由②得
當即，或時.
存在點N, 使
當即，或時，
不存在滿足條件的點N.
當時，
由，
可得
令
則由可得，
從而于是由
可得，即
綜上可得：
當時，在C1上，存在點N，使得，且
當時，在C1上，存在點N，使得，且；
當時，在C1上，不存在滿足條件的點N.
26．（2011年高考浙江卷文科22)（本題滿分15分）如圖，設是拋物線:上動點。圓:的圓心為點M，過點做圓的兩條切線，交直線：于兩點。（Ⅰ）求的圓心到拋物線 準線的距離。
（Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處得切線平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。
【解析】：（Ⅰ）由得準線方程為，由得M，圓心M到拋物線的準線的距離為
（Ⅱ）設點的坐標為拋物線在點處的切線交直線于點，再設橫坐標分別為，過點的拋物線的切線方程為（1）
當時，過點與圓的切線為可得，；當時，過點與圓的切線為可得，，所以。設切線，的斜率為則：（2）：27. (2011年高考天津卷文科18)（本小題滿分13分）
設橢圓的左、右焦點分別為,點滿足.
（Ⅰ）求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于A,B兩點.若直線與圓相交于M,N兩點,且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.
【解析】（Ⅰ）設，（），因為，所以，整理得
，即，解得.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知,可得橢圓方程為,直線的方程為,
A,B兩點坐標滿足方程組,消y整理得,解得或,所以
A,B兩點坐標為,,所以由兩點間距離公式得|AB|=,
于是|MN|=|AB|=,圓心到直線的距離,
因為,所以,解得,所以橢圓方程為.
【命題意圖】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的數學思想，考查解決問題能力與運算能力.
28. (2011年高考江蘇卷18)如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k
（1）當直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；
（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB
【解析】（1）因為、,
所以MN的中點坐標為(-1,),又因為直線PA平分線段MN，
所以k的值為
(2)因為k=2,所以直線AP的方程為,由得交點P()、A(),
因為PC⊥x軸，所以C（)，所以直線AC的斜率為1，直線AB的方程為，所以
點P到直線AB的距離d==.
（3）法一：由題意設，
A、C、B三點共線，又因為點P、B在橢圓上，
，兩式相減得：
法二：設,
A、C、B三點共線，又因為點A、B在橢圓上,
,兩式相減得：,
,.
29. （2011年高考遼寧卷文科21) (本小題滿分12分)
如圖，已知橢圓C1的中心在圓點O，長軸左、右端點M、N在x軸上，橢圓C1的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C1交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A、B、C、D.
（I）設e=，求|BC|與|AD|的比值；
（II）當e變化時，是否存在直線l，使得BO//AN,并說明理由.
解析：（I）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設
。
設直線分別和C1，C2聯立，求得。
當時，，分別用yA，yB表示A、B的縱坐標，可知
|BC|:AD|=
（II）t=0時的l不符合題意，t≠0時，BO//AN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即
，
解得。
因為，又，所以，解得。
所以當時，不存在直線l，使得BO//AN；當時，存在直線l使得BO//AN。
30.(2011年高考安徽卷文科17)（本小題滿分13分）
設直線
（I）證明與相交；
（II）證明與的交點在橢圓上.
【命題意圖】：本題考察直線與直線的位置關系，線線相交的判斷與證明，點在線上的判斷與證明，橢圓方程等基本知識，考察反證法的證明思路、推理論證能力和運算求解能力。
【解析】：（1）（反證法）假設與不相交，則與必平行， 代入得
，與是實數相矛盾。從而，即與相交。
（2）（方法一）由得交點p的坐標（x,y）為
,
而
所以與的交點p的（x,y）在橢圓上
（方法二）與的交點p的（x,y）滿足：，，從而
，代入得，整理得
所以與的交點p的（x,y）在橢圓上
【解題指導】：兩直線的位置關系判定方法：
（1）
（2）
（3）
證明兩數不等可采用反證法的思路。
點在線上的判斷與證明只要將點的坐標代入曲線方程判斷其是否成立即可，或求出交點的軌跡方程并判斷與所給的曲線方程是否一致即可。本題屬于中檔題。
31．(2011年高考廣東卷文科21)（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，直線交軸于點A，設P是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足．
當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知．設H是E上動點，求的最小值，并給出此時點H的坐標；
（3）過點且不平行于軸的直線與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍．
【解析】
32．（2011年高考重慶卷文科21)（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分）
如題（21）圖，橢圓的中心為原點0，離心率e=，一條準線的方程是
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設動點P滿足：，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點F，使得與點P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標，若不存在，說明理由。
題（21）圖
解：（I）由
解得，故橢圓的標準方程為
（II）設，則由
得
因為點M，N在橢圓上，所以
，
故
設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知
因此
所以
所以P點是橢圓上的點，該橢圓的右焦點為，離心率是該橢圓的右準線，故根據橢圓的第二定義，存在定點，使得|PF|與P點到直線l的距離之比為定值。
①
②
N
M
P
A
x
y
B
C2011年高考試題解析數學（文科）分項版
02 簡易邏輯
一、選擇題:
1. （2011年高考山東卷文科5)已知a，b，c∈R，命題“若=3，則≥3”，的否命題是
(A)若a+b+c≠3，則<3
(B)若a+b+c=3，則<3
(C)若a+b+c≠3，則≥3
(D)若≥3，則a+b+c=3
4．（2011年高考湖南卷文科3)的
A．充分不必要條件　　　?。拢匾怀浞謼l件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
答案：A
解析：因，反之
，不一定有。
5. （2011年高考四川卷文科5) “x=3”是“x2=9”的
（A）充分而不必要的條件 （B）必要而不充分的條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要的條件
答案：A
解析：因為x=3，所以x2=9；但若x2=9，x=-3或3，故“x=3”是“x2=9”的充分不必要條件.
6. （2011年高考陜西卷文科1)設是向量，命題“若，則”的逆命題是
（A）若則 （B）若則
（C）若則 （D）若則
【答案】D
【解析】：交換一個命題的題設與結論，所得到的命題與原命題是（互逆）命題。故選D
7. （2011年高考湖北卷文科10)若實數滿足，且，則稱與互補，記那么是與b互補的
A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案：C
解析：由，即，故，則，化簡得，即ab=0，故且，則且，故選C.
8.（2011年高考遼寧卷文科4)已知命題P：n∈N，2n＞1000，則p為（ ）
（A）n∈N，2n≤1000 （B）n∈N，2n＞1000
（C）n∈N，2n≤1000 （D）n∈N，2n＜1000
答案： A
解析：特稱命題的否定是全稱命題，“＞”的否定是“≤”，故正確答案是A.
9.（2011年高考全國卷文科5)下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】： 故選A。2011年高考試題解析數學（文科）分項版
19 選修系列：不等式選講
一、填空題:
1.（2011年高考陜西卷文科15) A.（不等式選做題）若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是______。
【答案】
【解析】：因為，對任意恒成立，所以有
二、解答題:
2.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：
（Ⅱ）因為，所以，，可化為，
即
因為，所以，該不等式的解集是，再由題設條件得
點評：本題考查含有絕對值不等式的解法，以及解法的應用，注意過程的完整性與正確性。
4.（2011年高考遼寧卷文科24)（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-2|-|x-5|。
（I）證明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
解析:考察絕對值不等式的求解,容易題
原不等式等價于:x-3<2x-1<3
解集為(-2,
3.〔2011年高考全國新課標卷文科24)(本小題滿分10分)選修45不等選講
設函數f(x)=kx-a+3x,a>0(1)當a=1時,求不等式f(x)23x+2的解集;(2如果
不等式f(x)≤0的解集為≤-1},求a的值
分析:解含有絕對值得不等式,一般采用零點分段法,去掉絕對值求解;已知不等式的解集
要求字母的值,先用字母表示解集,再與原解集對比可得字母的值
解:(I)當a=1時,不等式f(x)≥3x+2,可化為
x≤-1,x≥3,所以不等式f(x)23x+2的解集為x≤-或x≥23
x≤2
解析:(1)f(x=x-2|-1|x-5=12x-7,2>
當21)由(1)知
當x≤2時,f(x1≥x2-8x+15的解集為空集
當2當x≥5時,f(x1≥x2-8x+15的解集為:x15≤x≤6
綜上,不等式fx12x2-8x+15的解集是x15-√3≤x≤62011年高考試題解析數學（文科）分項版
07 平面向量
一、選擇題:
1．(2011年高考廣東卷文科3)已知向量，若為實數，，則= （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
所以選B.
2.（2011年高考全國卷文科3)設向量滿足||=||=1, ,則
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
故選B
3.（2011年高考遼寧卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，則k=（ ）
（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12
答案： D
解析：由題意，得2a-b =（5，2-k），a·（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.
4．（2011年高考重慶卷文科5)已知向量共線，那么的值為
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
二、填空題：
5. （2011年高考海南卷文科13)已知與為兩個不共線的單位向量,k為實數,若向量與向量垂直,則 .
【解析】要求*，只需將題目已知條件帶入，得：*=（-2）*（3+4）=
其中=1，==1*1*=，，帶入，原式=3*1—2*—8*1=—6.
8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），則a·b等于_____________.
【答案】1
【解析】因為向量a=（1,1），b（-1,2），所以a·b等于1.
9. （2011年高考四川卷文科7)如圖，正六邊形ABCDEF中，=
(A)0 (B) (C) (D)
答案：D
解析：.
10．（2011年高考湖南卷文科13)設向量滿足且的方向相反，則的坐標為 ．
答案：
解析：由題，所以
11．（2011年高考湖北卷文科2)若向量，則與的夾角等于
A. B. C. D.
答案：C
解析：因為,設其夾角為r，故，即，所以選C.
12.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 滿足，且以向量α、β為鄰邊的
平行四邊形的面積為，則α和β的夾角θ取值范圍是___。
【答案】
【解析】：，又
13. (2011年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則的最小值為 .
【答案】5
【解析】畫出圖形,容易得結果為5.
14.(2011年高考江蘇卷10)已知是夾角為的兩個單位向量， 若，則k的值為 .
【答案】
【解析】0,解得.2011年高考試題解析數學（文科）分項版
03 函數與導數
一、選擇題:
1. （2011年高考山東卷文科4)曲線在點P(1，12)處的切線與y軸交點的縱坐標是
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
【答案】C
【解析】因為,切點為P（1，12），所以切線的斜率為3,故切線方程為3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故選C.
2.(2011年高考安徽卷文科5)若點(a,b)在 圖像上，,則下列點也在此圖像上的是
（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)
【答案】D
【命題意圖】本題考查對數函數的基本運算，考查對數函數的圖像與對應點的關系.
【解析】由題意，，即也在函數 圖像上.
3.(2011年高考安徽卷文科10)函數在區間〔0,1〕上的圖像如圖所示，則n的值可能是
（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】A
【命題意圖】本題考查導數在研究函數單調性中的應用，考查函數圖像，考查思維的綜合能力.難度大.
【解析】代入驗證，當時
，則
，由可知，，結合圖像可知函數應在遞增，在遞減，即在取得最大值，由，知a存在.故選A.
【解題指導】：排除法解決存在性問題和不確定性問題很有效。
4. （2011年高考山東卷文科10)函數的圖象大致是
【答案】C
【解析】因為,所以令,得,此時原函數是增函數;令,得,此時原函數是減函數,結合余弦函數圖象，可得選C正確.
7 ．(2011年高考廣東卷文科4)函數的定義域是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得所以選C.
8．(2011年高考廣東卷文科10)設是R上的任意實值函數．如下定義兩個函數和；對任意,；．則下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10. （2011年高考江西卷文科4)曲線在點A（0,1）處的切線斜率為（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】.
11. （2011年高考福建卷文科8)已知函數f（x）=。若f(a)+f(1)=0,則實數a的值等于
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】由題意知因為,所以.當時,無解;當時,,所以,解得.
12. （2011年高考海南卷文科12)已知函數的周期為2,當時,那么函數的圖象與函數的圖象的交點共有( )
A.10個 B.9個 C.8個 D.1個
【答案】A
【解析】畫出圖象,不難得出選項A正確.
13.（2011年高考浙江卷文科10)設函數，若為函數的一個極值點，則下列圖象不可能為的圖象是
【答案】 D
【解析】：，令則
，因為為函數的一個極值點，所以是的一個根，即
15. （2011年高考四川卷文科4)函數的圖像關于直線y=x對稱的圖像大致是( )
答案：A
解析：由，得，故函數的反函數為，其對應的函數圖象為A.
16．（2011年高考湖南卷文科7)曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
18. （2011年高考陜西卷文科4)函數的圖像是
【答案】B
【解析】：過和，由過可知在直線下方，故選B
19.（2011年高考全國卷文科2)函數的反函數為
（A） （B）
（C） （D）
22．（2011年高考湖北卷文科3)若定義在R上的偶函數和奇函數滿足，則
A. B. C. D.
答案：D
解析：因為①，則，即②，故由①-②可得，所以選D.
23.（2011年高考遼寧卷文科11)函數f(x)的定義域為R，f(-1)=2,對任意，,則的解集為
(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)
26．（2011年高考重慶卷文科6)設的大小關系是
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空題:
25. （2011年高考山東卷文科16)已知函數=當2＜a＜3＜b＜4時，函數的零點 .
【答案】2
【解析】方程=0的根為,即函數的圖象與函數的交點橫坐標為,且,結合圖象,因為當時,,此時對應直線上的點的橫坐標;當時, 對數函數的圖象上點的橫坐標,直線的圖象上點的橫坐標,故所求的.
26.（2011年高考浙江卷文科11)設函數 ,若,則實數=____
【答案】
【解析】：
27.(2011年高考江蘇卷2)函數的單調增區間是__________
【答案】
【解析】考察函數性質，容易題。因為,所以定義域為,由復合函數的單調性知:函數的單調增區間是.
28.(2011年高考江蘇卷8)在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函數與方程，兩點間距離公式以及基本不等式，中檔題。設坐標原點的直線方程為,則由解得交點坐標為、，即為P、Q兩點，所以線段PQ長為，當且僅當時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.
29.(2011年高考安徽卷文科13)函數的定義域是 .
【答案】（－3,2）
【命題意圖】本題考查函數的定義域，考查一元二次不等式的解法.
【解析】由可得，即，所以.
30.(2011年高考江蘇卷11)已知實數，函數，若，則a的值為________
【答案】
又,所以,所以,由題意知,,所以
,整理得,所以或(舍去).
33．（2011年高考湖南卷文科12)已知為奇函數， ．
答案：6
解析：，
又為奇函數，所以。
34. （2011年高考四川卷文科16)函數的定義域為A,若A，且時總有，則稱為單函數.例如是單函數，下列命題：
①函數是單函數；
②函數是單函數，
③若為單函數，且，則；
④在定義域上具有單調性的函數一定是單函數
其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號）
答案：②③④
解析：，但，∴①不正確；
與“若A，且時總有”等價的命題是“若A，且時總有，故②③④正確.
35.（2011年高考陜西卷文科11)設 則 =______.
【答案】1
【解析】：
36. （2011年高考湖北卷文科15)里氏震級M的計算公式為：M=lgA－lgA0,,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅，假設在一次地震中，，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為 級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的 倍.
答案：6， 10000
解析：由
當為9級地震時，則有
當為5級地震時，則有，故, ，
則.
37.(2011年高考江蘇卷12)在平面直角坐標系中，已知點P是函數的圖象上的動點，該圖象在P處的切線交y軸于點M，過點P作的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是_____________.
7．（2011年高考重慶卷文科7)若函數在處取最小值，則
A． B． C．3 D．4
【答案】C
39.(2011年高考安徽卷文科11)設是定義在R上的奇函數，當x≤0時，=，則 .
【答案】－3
【命題意圖】本題考查函數的奇偶性，考查函數值的求法.屬中等難度題.
【解析】.
三、解答題:
40. （2011年高考江西卷文科20) (本小題滿分13分）
設.
（1）如果在處取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的單調遞減區間的長度是正整數，試求和
的值．(注：區間的長度為）
.
41. （2011年高考福建卷文科22)（本小題滿分14分）
已知a，b為常數，且a≠0，函數（e=2.71828…是自然對數的底數）.
（I） 求實數b的值；
（II）求函數f（x）的單調區間；
（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m【解析】(1)由得.
(2)由(1)可得從而,因為a≠0，故有:
①當時,由得;由得;
②當時,由得;由得.
綜上所述, 當時,函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為(0,1);
當時, 函數的單調遞增區間為(0,1),單調遞減區間為.
(3)當時, .
由(2)可得,當在區間內變化時, ,的變化情況如下表:
1
- 0 +
單調遞減 極小值1 單調遞增 2
又<2,所以函數的值域為[1,2].
【命題立意】本題主要考查函數、導數等基礎知識,考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想.42．（2011年高考四川卷文科22)（本小題滿分14分）
已知函數.
（Ⅰ）設函數F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求F(x)的單調區間與極值；
（Ⅱ）設aR,解關于x的方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);
（Ⅲ）設n*,證明：f(n)h(n)- [h(1)+h(2)+ …+h（n）] ≥.
當時，方程有一個解；
當方程無解.
（Ⅲ）當時，，不等式成立；
假設時，不等式成立，
當時，
所以，當時，不等式成立，
綜上，對一切，不等式都成立.
43. （2011年高考陜西卷文科19)（本小題滿分12分）
如圖，從點做x軸的垂線交曲線于點曲線在點處的切線與x軸交于點，再從做x軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：
記點的坐標為.
（Ⅰ）試求與的關系
（ Ⅱ）求
解：（Ⅰ）設，由得點處切線方程為
由得。
（ Ⅱ），得，
44. （2011年高考陜西卷文科21)（本小題滿分14分）
設。（Ⅰ）求的單調區間和最小值；（Ⅱ）討論與的大小關系；（Ⅲ）求的取值范圍，使得＜對任意＞0成立。
45. （2011年高考湖北卷文科19)（本小題滿分12分）
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米,/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度的一次函數.
(Ⅰ)當時，求函數的表達式；
(Ⅱ)當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）
本小題主要考查函數，最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力.
解析：
（1）由題意：當時，；當時，設
再由已知得解得
故函數v(x)的表達式為
（2）依題意并由（1）可得，
當時，為增函數.故當x=20時，其最大值為60×20=1200；
當時，
當且僅當，即時，等號成立.
所以，當時，在區間[20，200]上取得最大值.
綜上，當時，在區間[0，200]上取得最大值.
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.
46. （2011年高考湖北卷文科20)（本小題滿分13分）
設函數，其中為常數，已知曲線與在點(2,0)處有相同的切線.
(Ⅰ)求的值，并寫出切線的方程；
(Ⅱ)若方程有三個互不相同的實數根，其中，且對任意的，恒成立，求實數m的取值范圍.
（2）由（1）得，所以
依題意，方程有三個互不相同的實根0、x1、x2，
故x1、x2是方程的兩相異的實根.
所以△=9-4（2-m）>0，即
又對任意的成立.
特別地，取時，成立，得m<0.
由韋達定理，可得故
對任意的，有，，x>0.
則又
所以函數在的最大值為0.
于是當m<0時，對任意的，恒成立.
綜上，m的取值范圍是（）.
47．(2011年高考廣東卷文科19)（本小題滿分14分）
設,討論函數 的單調性．
【解析】
48．（2011年高考湖南卷文科22)（本小題13分）
設函數
(I)討論的單調性；
（II）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
解析：（I）的定義域為
令
當故上單調遞增．
當的兩根都小于0，在上，，故上單調遞增．
當的兩根為，
當時， ；當時， ；當時， ，故分別在上單調遞增，在上單調遞減．
（II）由（I）知，．
因為，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得則．即．亦即
再由（I）知，函數在上單調遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得
49. （2011年高考山東卷文科21)（本小題滿分12分）
某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為.設該容器的建造費用為千元.
（Ⅰ）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的.
【解析】（Ⅰ）因為容器的體積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側面積為=,兩端兩個半球的表面積之和為,所以+,定義域為(0,).
50. （2011年高考全國新課標卷文科21)（本小題滿分12分）
已知函數，曲線在點處的切線方程為，
（1）求的值
（2）證明：當時，
分析：（1）利用導數的幾何意義列式求待定系數的值；（2）構造新函數求其導數，利利用單調性和極值證明。
解：（Ⅰ），由題意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
設則，
當時， ，而
故，當得：
從而，當時，即
點評：這道題考查導數的概念、幾何意義、導數的應用（證明不等式）；考查分析問題解答問題的能力；其中構造函數利用導數證明不等式是解答導數應用問題的常用策略之一。
51．（2011年高考浙江卷文科21)（本題滿分15分）設函數（Ⅰ）求單調區間（Ⅱ）求所有實數，使對恒成立
注：為自然對數的底數
52.（2011年高考全國卷文科21)已知函數
(Ⅰ)證明：曲線
（Ⅱ）若求a的取值范圍。
【解析】(Ⅰ)，，故x=0處切線斜率，又
即，當
故曲線
（Ⅱ），令
，
故
53. (2011年高考天津卷文科19)（本小題滿分14分）
已知函數其中.
（Ⅰ）當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)當時,求的單調區間;
(Ⅲ)證明:對任意,在區間(0,1)內均在零點.
【解析】（Ⅰ）當時, ,
所以曲線在點處的切線方程為.
(Ⅱ) 令,解得或,因為,以下分兩種情況討論:
(1)若,則.當變化時, ,的變化情況如下表:
+ - +
所以的單調遞增區間是,;的單調遞減區間是.
+ - +
(2)若,則.當變化時, ,的變化情況如下表:
所以的單調遞增區間是,;的單調遞減區間是.
所以在內存在零點.
若,,
所以在內存在零點,所以,對任意,在區間(0,1)內均在零點.
綜上, 對任意,在區間(0,1)內均在零點.
【命題意圖】本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數的零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.
54.(2011年高考江蘇卷17)請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=cm.
（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問應取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
P
【解析】（1）由題意知, 包裝盒的底面邊長為,高為,所以包裝盒側面積為
S==,當且僅當,即時,等號成立,所以若廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，應15cm.
（2）包裝盒容積V==,
所以=,令得; 令得,
所以當時, 包裝盒容積V取得最大值,此時的底面邊長為,高為,包裝盒的高與底面邊長的比值為.
55.(2011年高考江蘇卷19)已知a，b是實數，函數 和是的導函數，若在區間上恒成立，則稱和在區間上單調性一致
（1）設，若函數和在區間上單調性一致,求實數b的取值范圍；
（2）設且，若函數和在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值
解析：(1)考察單調性概念、導數運算及應用、含參不等式恒成立問題，中檔題；（2）綜合考察分類討論、線性規劃、解二次不等式、二次函數、含參不等式恒成立問題、導數及其應用、化歸及數形結合的思想，難題。
（1）因為函數和在區間上單調性一致，所以，即
即
（2）當時，因為，函數和在區間（b,a）上單調性一致，所以，
即，
設，考慮點(b,a)的可行域，函數的斜率為1的切線的切點設為
則；
當時，因為，函數和在區間（a, b）上單調性一致，所以，
即，
當時，因為，函數和在區間（a, b）上單調性一致，所以，
即而x=0時，不符合題意，
當時，由題意：
綜上可知，。
56.（2011年高考遼寧卷文科20)（本小題滿分12分）
設函數f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1,0），且在P點處的切斜線率為2.
（I）求a，b的值；
（II）證明：f(x)≤2x-2。
57.(2011年高考安徽卷文科18)（本小題滿分13分）
設，其中為正實數
（Ⅰ）當時，求的極值點；
（Ⅱ）若為上的單調函數，求的取值范圍。
【命題意圖】：本題考察導數的運算，極值點的判斷，導數符號與函數單調性之間的關系，求解二次不等式，考察運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力。
【解析】：
當時，，由得解得
由得，由得，當x變化時與相應變化如下表：
x
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以，是函數的極大值點，是函數的極小值點。
因為為上的單調函數，而為正實數，故為上的單調遞增函數
恒成立，即在上恒成立，因此
，結合解得
【解題指導】：極值點的判定一定要結合該點兩側導數的符號，不可盲目下結論。同時還要注意“極值”與“極值點”的區別避免畫蛇添足做無用功。
某區間（a,b）上連續可導函數單調性與函數導數符號之間的關系為：
若函數在區間（a,b）上單調遞增（遞減），則（）
若函數的導數（），則函數在區間（a,b）上單調遞增（遞減）
若函數的導數恒成立，則函數在區間（a,b）上為常數函數。
58．（2011年高考重慶卷文科19)（本小題滿分12分，（Ⅰ）小題5分，（Ⅱ）小題7分）
設的導數為，若函數的圖像關于直線對稱，且．
（Ⅰ）求實數的值
（Ⅱ）求函數的極值
解：（I）因
從而
即關于直線對稱，從而由題設條件知
又由于
（II）由（I）知
令
當上為增函數；
當上為減函數；
當上為增函數；
從而函數處取得極大值處取得極小值2011年高考試題解析數學（文科）分項版
01 集合
一、選擇題:
1.（2011年高考山東卷文科1)設集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},則M∩N =
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因為，所以，故選A.
2. （2011年高考海南卷文科1)已知集合,,,則P的子集共有( )
A.2個 B.4個 C.6個 D.8個
【解析】方法一：由題得，，所以選C.
方法二：直接作出單位圓和直線，觀察得兩曲線有兩個交點，所以選C.
5． （2011年高考江西卷文科2)若全集,則集合等于（ ）
A. B. C. D.
8．（2011年高考湖北卷文科1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},則=
A.{6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}
答案：A
解析：因為，故，所以選A.
9. （2011年高考四川卷文科1)若全集M=，N=，=（ ）
（A） (B) (C) (D)
答案：B
【解析】：，故選 C
13. (2011年高考天津卷文科4)設集合則“”是
“”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由兩個集合并集的含義知,選項C正確.
14.（2011年高考遼寧卷文科1)已知集合A={x}，B={x}}，則AB=（ ）
（A） {x}} （B）{x} （C）{x}} （D）{x}
答案： D
解析：利用數軸可以得到AB={x}。
15．（2011年高考重慶卷文科2)設，則=
A．[0，2] B．
C． D．
【答案】A
二、填空題:
16. (2011年高考天津卷文科9)已知集合為整數集,則集合中所有元素的和等于 .
解析：綜合考察集合及其運算、直線與圓的位置關系、含參分類討論、點到直線距離公式、兩條直線位置關系、解不等式，難題。當時，集合A是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間， ，因為此時無解；當時，集合A是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環，集合B是在兩條平行線之間，必有 .又因為.2011年高考試題解析數學（文科）分項版
11 排列組合、二項式定理
一、選擇題:
1．(2011年高考廣東卷文科7)正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數共有（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
【答案】A
【解析】先從5個側面中任意選一個側面有種選法，再從這個側面的4個頂點中任意選一個頂點有種選法，由于不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，所以除去這個側面上、相鄰側面和同一底面上的共8個點，還剩下2個點，把這個點和剩下的兩個點連線有種方法，但是在這樣處理的過程中剛好每一條對角線重復了一次，所以最后還要乘以所以這個正五棱柱對角線的條數共有,所以選擇A.
2.（2011年高考全國卷文科9)4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有
（A）12種 （B）24種 （C）30種 （D）36種
二、填空題:
3.（2011年高考湖南卷文科16)給定，設函數滿足：對于任意大于的正整數，
（1）設，則其中一個函數在處的函數值為 ；
（2）設，且當時，，則不同的函數的個數為 。
答案：（1），（2）16
解析：（1）由題可知，而時，則，故只須，故。
（2）由題可知，則，而時，即，即，，由乘法原理可知，不同的函數的個數為。
4. （2011年高考四川卷文科13)的展開式中的系數是 （用數字作答）
答案：84
解析：的展開式中的系數是.
5.（2011年高考全國卷文科13) (1-)20的二項展開式中，x的系數與x9的系數之差為: .
7．（2011年高考重慶卷文科11)的展開式中的系數是
【答案】240
三、解答題:
8．(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分）
設整數，是平面直角坐標系中的點，其中
（1）記為滿足的點的個數，求；
（2）記為滿足是整數的點的個數，求
解析：考察計數原理、等差數列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。
（1）因為滿足的每一組解構成一個點P,所以。
（2）設，則
對每一個k對應的解數為：n-3k,構成以3為公差的等差數列；
當n-1被3整除時，解數一共有：
當n-1被3除余1時，解數一共有：
當n-1被3除余2時，解數一共有：2011年高考試題解析數學（文科）分項版
08 立體幾何
一、選擇題:
1.(2011年高考安徽卷文科8)一個空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為
（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80
【答案】C
【命題意圖】本題考查三視圖的識別以及空間多面體表面積的求法.
【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，兩底面積和為，四個側面的面積為，所以幾何體的表面積為.故選C.
【解題指導】：三視圖還原很關鍵，每一個數據都要標注準確。
2．(2011年高考廣東卷文科9)如圖1-3，某幾何體的正視圖（主視圖），側視圖（左視圖）和俯視圖分別為等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體體積為（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】C
【解析】由題得該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD，所以選擇C.
3．（2011年高考湖南卷文科4)設圖１是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為
A．　　?。拢?br/>Ｃ．　?。模?br/>答案：D
解析：有三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合體，其體積。
4．（2011年高考湖北卷文科7)設球的體積為V1,它的內接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是
A. V1比V2大約多一半 B. V1比V2大約多兩倍半
C. V1比V2大約多一倍 D. V1比V2大約多一倍半
答案：D
解析：設球半徑為R，其內接正方體棱長為a，則，即由
，比較可得應選D.
5.（2011年高考山東卷文科11)下圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖．其中真命題的個數是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
【答案】A
【解析】對于①,可以是放倒的三棱柱；容易判斷②③可以.
6.（2011年高考海南卷文科第8題）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖，則相應的側視圖可以為（ ）
解析：D. 由主視圖和府視圖可知，原幾何體是由后面是半個圓錐，前面是三棱錐的組合體，所以，左視圖是D。
點評：本題考查三視圖、直觀圖及他們之間的互化，同時也考查空間想象能力和推理能力，要求有扎實的基礎知識和基本技能。
7.（2011年高考浙江卷文科4)若直線不平行于平面，且，則
(A) 內的所有直線與異面 (B) 內不存在與平行的直線
(C) 內存在唯一的直線與平行 (D) 內的直線與都相交
【答案】 B
【解析】：直線不平行于平面，所以與相交，故選B
8．（2011年高考陜西卷文科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
答案： C
解析：取SC的中點D,則D為球心，則AD=BD=DS=2。因為∠ASC=∠BSC=45°，所以∠SDB=∠SDA=900，即AD⊥SC,BD⊥SC,⊿ABD是等邊三角形，故棱錐S-ABC的體積等于棱錐S-ABD和棱錐C-ABD的體積和，即。
11.（2011年高考遼寧卷文科8)一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示．左視圖是一個矩形．則這個矩形的面積是
(A)4 (B) (c)2 (D)
答案：B
解析：設正三棱柱的側棱長和底面邊長為a，則由，解得a=2，正三棱柱的左視圖與底面一邊垂直的截面大小相同，故該矩形的面積是。
12.（2011年高考全國卷文科8)已知直二面角，點為垂足，為垂足，若則到平面的距離等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】如圖，作于，由為直二面角，，得平面，進而,又,,
于是平面。故為到平面的距離。
在中，利用等面積法得
13.（2011年高考全國卷文科12)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為
(A) (B) (c) (D)
解：由圓的面積為得，
，在
故選D
14.（2011年高考江西卷文科9)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（ ）
【答案】D
【解析】左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點，連起來就可以得到答案.
15. （2011年高考四川卷文科6)，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是
（A）// （B）,//
（C）//// ，，共面 （D），，共點，，共面
答案：B
解析：若則有三種位置關系，可能平行、相交或異面，故A不對.雖然，或共點，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正確.
16．（2011年高考重慶卷文科10)高為的四棱錐的底面是邊長為1的正方形，點、、、、均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點之間的距離為
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空題：
16. （2011年高考海南卷文科16)已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球面面積的,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 .
【答案】
【解析】設圓錐的底面半徑為,球半徑為,則,解得,所以對應球心距為,故小圓錐的高為,大圓錐的高為,所以之比為.
17. （2011年高考福建卷文科15)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于_____________.
【答案】
【解析】由于在正方體中,AB=2,所以AC=.又E為AD中點, EF∥平面AB1C，
EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以F為DC中點,所以EF==.
18. （2011年高考四川卷文科15)如圖，半徑為4的球O中有一內接圓柱.當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的側面積之差是 .
答案：
19.（2011年高考全國卷文科15)已知正方體中，E為的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為
【答案】
【解析】取的中點，為所求角，設棱長為2，則，
20. (2011年高考天津卷文科10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為
.
【答案】4
【解析】由三視圖知,該幾何體是由上、下兩個長方體組合而成的,容易求得體積為4.
三、解答題：
21. （2011年高考山東卷文科19)（本小題滿分12分）
如圖，在四棱臺中，平面，底面是平行四邊形，，，60°.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：.
【解析】（Ⅰ）證明：因為，所以設
AD=a,則AB=2a,又因為60°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BD⊥AD,又因為
平面，所以BD,又因為, 所以平面,故.
理計算得A1C1=，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四邊形OCC1A1是平行四邊形，所以CC1∥A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.
22．（2011年高考湖南卷文科19)（本題滿分12分）
如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點．
（I）證明：
（II）求直線和平面所成角的正弦值．
解析：（I）因為
又內的兩條相交直線，所以
（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過作則連結，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角．
在
在
23. (2011年高考天津卷文科17)（本小題滿分13分）
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,,AD=AC=1,O為AC的中點,PO⊥平面ABCD,PO=2,為PD的中點.
(Ⅰ)證明PB∥平面;
(Ⅱ)證明AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直線與平面ABCD所成角的正切值.
【解析】(Ⅰ)證明:連接BD,MO.在平行四邊形ABCD中,因為O為AC的中點,所以O為BD的中點,又M為PD的中點,所以PB∥MO,因為PB平面,平面,所以PB∥平面.
(Ⅱ)證明:因為,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO⊥AD,而
EMBED Equation.DSMT4 ,所以AD⊥平面PAC.
(Ⅲ)取DO點N,連接MN,AN,因為M為PD的中點,所以MN∥PO,且MN=PO=1,由PO⊥平面ABCD,得
MN⊥平面ABCD,所以是直線AM與平面ABCD所成的角.在中,AD=1,AO=,所以
,從而.在中, ,即直線與平面ABCD所成角的正切值為.
【命題意圖】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.
24. （2011年高考江西卷文科18) (本小題滿分12分）
如圖，在交AC于 點D,現將
（1）當棱錐的體積最大時，求PA的長；
（2）若點P為AB的中點，E為
【解析】（1）設，則
令,則
單調遞增 極大值 單調遞減
由上表易知：當時，有取最大值.
(2)證明：作得中點F，連接EF、FP,由已知得：,
為等腰直角三角形，,所以.
25. （2011年高考福建卷文科20)（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB。
求證：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱錐P-ABCD的體積
【解析】(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因為AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因為AB=CE=1,AB∥CE,所以四邊形ABCE為矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,
所以四棱錐P-ABCD的體積等于.
【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、幾何體的體積等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想.
26. （2011年高考四川卷文科19)（本小題共12分）
如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=A A1=1，延長A1C1至點,使C1= A1C1，連結AP交棱C C1于點D.
（Ⅰ）求證：P B1∥BDA1;
(Ⅱ)求二面角A- A1D-B的平面角的余弦值.
27．（2011年高考陜西卷文科16)（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，
∠BAC=90°，AD，沿AD把是BC上的△ABD折起，
使∠BDC=90°。（Ⅰ）證明：平面 ；
（Ⅱ ）設BD=1，求三棱錐D—的表面積。
解（Ⅰ）∵折起前是邊上的高，∴ 當折起后，AD⊥，AD⊥，又＝，
∴AD，∵AD平面. ∴平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,
DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,
，
三棱錐表面積：
28. （2011年高考湖北卷文科18)如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，點E在側棱上，點F在側棱上，且.
(Ⅰ)求證：
(Ⅱ)求二面角的大小.
本小題主要考查空間直線與平面的位置關系和二面角的求法，同時考查空間想象能力和推理論證能力.
解析：（1）由已知可得
于是有
所以
又所以平面CEF.
由CEF，故CF
（2）在△CEF中，由（1）可得
于是有所以CF⊥EF.
又由（1）知，且，所以CF⊥平面C1EF.
又平面C1EF，故CF⊥C1F.
于是∠EFC1即為二面角E-CF-C1的平面角.
由（1）知△CEF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角E-CF-C1的大小為450.
29．(2011年高考廣東卷文科18)（本小題滿分13分）
如圖所示，將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右平移到的分別為的中點，分別為的中點．
證明：四點共面；
設為中點，延長到,
使得,證明: ．
【解析】
30. （2011年高考全國新課標卷文科18)（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，，，
（1）證明：;
(2) 設求三棱錐D-PBC錐的高.
分析：利用垂直的判定與性質證明并計算。
解：(1)證明：在三角形ABD中，因為
該三角形為直角三角形，所以
,
31.（2011年高考浙江卷文科20)（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，，為的中點，⊥平面，垂足落在線段上.
（Ⅰ）證明：⊥；（Ⅱ）已知，
，，.求二面角的大小.
【解析】：：（Ⅰ）
（Ⅱ）在平面內作得平面，所以，
在中，得
在中，，
在中，
所以得，
在中，得
又從而故
同理，因為所以即二面角的大小為
32.(2011年高考江蘇卷16)如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點.求證：（1）直線EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD
【解析】證明: （1）因為E、F分別是AP、AD的中點,
所以EF∥PD,又因為EF平面PCD,PD平面PCD,
所以直線EF∥平面PCD；
（2）設AB=AD=,則AF=,又因為∠BAD=60°，
所以在中,由余弦定理得：BF=，
所以，所以BF⊥AF，
因為平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，平面ABCD，所以BF⊥平面PAD，因為平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAD.
33. (2011年高考江蘇卷22)（本小題滿分10分）
如圖，在正四棱柱中，，點是的中點，點在上，設二面角的大小為。
（1）當時，求的長；
（2）當時，求的長。
解析：考察空間向量基本概念、線面所成角、距離、數量積、空間想象能力、運算
能力，（1）是中檔題，（2）是較難題。
以D為原點，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，
建立空間直角坐標系，則A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，設M(0，1,z),
面MDN的法向量，
設面A1DN的法向量為，則
取即
(1)由題意：取
（2）由題意：即取
34.（2011年高考遼寧卷文科18)（本小題滿分12分）
如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。
（I）證明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值。
解析：（I）由條件知，PDAQ是直角梯形，
因為AQ⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線是AD。
又四邊形ABCD是正方形，DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC。
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，則PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面PCQ.
35.(2011年高考安徽卷文科19)（本小題滿分13分）
如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，,△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）證明直線∥；
（II）求棱錐F-OBED的體積。
【命題意圖】：本題考察空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算，考察空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力。
（1）【證法一】： 同理可證
，
【證法二】：設G是線段DA與EB延長線的交點，
同理設是線段DA與FC延長線的交點，有，又G與都在線段DA的延長線上，所以G與重合。
又 和 ,可知B和C分別是線段GE和GF的中點，
（2）【解析】：由OB=1，OE=2，,得，而是邊長為2的正三角形，故，所以
過點F作FQ⊥DG，交DG于Q點，由于平面ABED⊥平面ACFD，所以FQ⊥平面ABED
所以FQ就是棱錐F-OBED的高，且,所以
【解題指導】：空間線線、線面、面面位置關系的證明方法，一是要從其上位或下位證明，本題的第一問方法一，是從其上位先證明面面平行，再借助面面平行的性質得到線面平行，再借助線面平行的性質得到線線平行；二是借助中位線定理等直接得到；三是借助空間向量直接證明。
求不規則的幾何體體積或表面積，通常采用分割或補齊成規則幾何體即可。求解過程要堅持“一找二證三求”的順序和原則防止出錯。
36.（2011年高考全國卷文科20) (本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
如圖，四棱錐中，,，側面為等邊三角形，.
（Ⅰ）證明：;
（Ⅱ)求與平面所成角的大小.
【解析】（Ⅰ）：連結BD過D作
，在
，在
，同理可證
（Ⅱ）過做平面，如圖建立空間直角坐標系，
可計算平面的一個法向量是，
所以與平面所成角為
37．（2011年高考重慶卷文科20)（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問6分）
如題（20）圖，在四面體中，平面ABC⊥平面，
（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。
解法一：（I）如答（20）圖1，過D作DF⊥AC垂足為F，
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF
是四面體ABCD的面ABC上的高，設G為邊CD的中點，
則由AC=AD，知AG⊥CD，從而
由
故四面體ABCD的體積
解法二：（I）如答（20）圖2，設O是AC的中點，過O作OH⊥AC，交AB于H，過O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O為原點，以射線OH，OC，OM分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，可建立空間坐標系O—xyz.已知AC=2，故點A，C的坐標分別為A（0，—1，0），C（0，1，0）。
設點B的坐標為，有
即點B的坐標為
又設點D的坐標為有
即點D的坐標為從而△ACD邊AC上的高為
又
故四面體ABCD的體積
即二面角C—AB—D的平面角的正切值為
3
3
2
正視圖
側視圖
俯視圖
圖1
第8題圖
E2011年高考試題解析數學（文科）分項版
15 算法框圖
一、選擇題:
1. （2011年高考福建卷文科5)閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是
A.3 B.11 C.38 D.123
【答案】B
【解析】,所以輸出,選B.
2. （2011年高考陜西卷文科7)如右框圖，當時，等于
(A) 7 (B) 8 (C)10 （D）11
【答案】B
【解析】：而則
所以即故選B
二、填空題:
3.(2011年高考安徽卷文科12)如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是 .
【答案】15
【命題意圖】本題考查算法框圖的識別，考查等差數列前n項和.
【解析】由算法框圖可知，若T＝105，則K＝14，繼續執行循環體，這時k＝15，T>105，所以輸出的k值為15.
4.（2011年高考江西卷文科13)下圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結果是_ ___.
【答案】27
【解析】由框圖的順序，s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循環S=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻3>3仍然是否，所以還要循環一次s=(6+3)*3=27,n=4，此刻輸出，s=27.
5．（2011年高考湖南卷文科11)若執行如圖2所示的框圖，輸入則輸出的數等于 ．
答案：
解析：由框圖功能可知，輸出的數等于。
開始
輸入
開始
開始
否
是
結束
輸出
開始
圖22011年高考試題解析數學（文科）分項版
04 數列
一、選擇題:
1.(2011年高考安徽卷文科7)若數列的通項公式是,則
（A） 15 (B) 12 (C ) (D)
【答案】A
【命題意圖】本題考查數列求和.屬中等偏易題.
【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結論；
4. （2011年高考四川卷文科9)數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),則a6=
（A）3 ×44 （B）3 × 44+1
(C) 44 （D）44+1
答案： A
解析：由題意，得a2=3a1=3.當n ≥1時，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，
②-①得an+2 = 4an+1 ，故從第二項起數列等比數列，則a6=3 ×44.
5. （2011年高考陜西卷文科10)植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為（ ）
（A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）
7.（2011年高考全國卷文科6)設為等差數列的前項和，若，公差，，則
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】D
【解析】
故選D。
1．（2011年高考重慶卷文科1)在等差數列中，，＝
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
二、填空題:
8.（2011年高考浙江卷文科17)若數列中的最大項是第項，則=_______。
【答案】4
11.(2011年高考江蘇卷13)設，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最小值是________
【答案】
【解析】考察綜合運用等差、等比的概念及通項公式，不等式的性質解決問題的能力，難題。
由題意：，
，而的最小值分別為1，2，3；。
15.（2011年高考遼寧卷文科15)Sn為等差數列{an}的前n項和，S2=S6，a4=1，則a5=____________。
答案： -1
解析：設等差數列的公差為d，解方程組得d=-2，a5=a4+d=-1.
三、解答題:
16. （2011年高考江西卷文科21) (本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數列，滿足，
若數列唯一，求的值；
（2）是否存在兩個等比數列，使得成公差為
的等差數列？若存在，求 的通項公式；若存在，說明理由．
（2）假設存在這樣的等比數列，則由等差數列的性質可得：，整理得：
要使該式成立，則=或此時數列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數列.
17. （2011年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）若數列{an}的前k項和Sk=-35，求k的值.
18．（2011年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．
（I）求第n年初M的價值的表達式；
（II）設若大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新．
解析：（I）當時，數列是首項為120，公差為的等差數列．
當時，數列是以為首項，公比為為等比數列，又，所以
因此，第年初，M的價值的表達式為
(II)設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得
當時，
當時，
因為是遞減數列，所以是遞減數列，又
所以須在第9年初對M更新．
19. （2011年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知﹛﹜是以為首項，q為公比的等比數列，為它的前項和.
（Ⅰ）當成等差數列時，求q的值；
(Ⅱ)當，，成等差數列時，求證：對任意自然數也成等差數列.
(Ⅱ)當成等差數列，則.
當時，由，得，即.
；
當時，由，得，
化簡得.
，
綜上，對任意自然數也成等差數列.
20. （2011年高考湖北卷文科17)（本小題滿分12分）
成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列
中的
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)數列的前n項和為，求證：數列是等比數列.
本小題主要考查等差數列、等比數列及其求和公式等基礎知識，同時考查基本運算能力.
解析：
（1）設成等差數列的三個正數分別為a-d，a, a+d.
依題意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以中的依次為7-d，10，18+d.
依題意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）.
故的第3項為5，公比為2.
由，即，解得
所以是以為首項，2為公比的等比數列，其通項公式為.
（2）數列的前n項和即
所以
因此是以為首項，公比為2的等比數列.
21. （2011年高考山東卷文科20)（本小題滿分12分）
等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足：，求數列的前項和.
【解析】（Ⅰ）由題意知,因為是等比數列,所以公比為3,所以數列的通項公式.
22.(2011年高考安徽卷文科21)（本小題滿分13分）
在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和.
【命題意圖】：本題考察等比和等差數列，指數和對數運算，兩角差的正切公式等基本知識，考察靈活運用知識解決問題的能力，綜合運算能力和創新思維能力。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以數列的前項和為
【解題指導】：做數列題時應優先運用數列的相關性質，本題考察的是等比數列前n項積，自然想到等比數列性質：，倒序相乘法是借鑒倒序相加法得到的，這樣處理就避免了對n奇偶性的討論。
第二問的數列求和應聯想常規的方法：倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法。而出現時自然應該聯想正切的和角或差角公式。本題只要將這兩個知識點有機結合起來就可以創造性的把問題解決。
23．(2011年高考廣東卷文科20)（本小題滿分14分）
設b>0,數列滿足,．
求數列的通項公式；
證明：對于一切正整數,．
【解析】
24. （2011年高考全國新課標卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等比數列中，，
（1）為數列前項的和，證明：
（2）設，求數列的通項公式；
17.分析：（1）直接用等比數列通項公式與求和公式；（2）代人化簡得到等差數列在求其和。
解：（1）
點評：本題考查等比、等差數列的通項公式與求和公式。注意正確用公式計算。
25．（2011年高考浙江卷文科19)（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數列的首項 為 (),且，，成等比數列（Ⅰ）求數列的通項公式（Ⅱ）對，試比較 與的大小.
【解析】：（Ⅰ）
數列的通項公式
（Ⅱ）記因為，所以
從而當時，；當時，
26. (2011年高考天津卷文科20)（本小題滿分14分）
已知數列與滿足,,且.
（Ⅰ）求的值;
(Ⅱ)設,,證明是等比數列;
(Ⅲ)設為的前n項和,證明.
【解析】（Ⅰ）由,可得,,
當n=1時,由,得;
當n=2時,可得.
(Ⅱ)證明:對任意,--------①
---------------②
②-①得: ,即,于是,所以是等比數列.
(Ⅲ)證明:,由(Ⅱ)知,當且時,
=2+3(2+)=2+,故對任意, ,
由①得所以,,
因此,,于是,
故=,
所以.
【命題意圖】本小題主要等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
27.(2011年高考江蘇卷20)設M為部分正整數組成的集合，數列的首項，前n項和為，已知對任意整數k屬于M，當n>k時，都成立
（1）設M=｛1｝，，求的值；
（2）設M=｛3，4｝，求數列的通項公式
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，設公差為d,
在（1）（2）中分別取n=4,n=5得：
28．(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分）
設整數，是平面直角坐標系中的點，其中
（1）記為滿足的點的個數，求；
（2）記為滿足是整數的點的個數，求
29.（2011年高考全國卷文科17) (本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
設數列的前N項和為,已知求和
【解析】設等比數列的公比為，由題解得
所以則
則
30．（2011年高考重慶卷文科16)（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分）
設是公比為正數的等比數列，，。
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設是首項為1，公差為2的等差數列，求數列的前項和。
解：（I）設q為等比數列的公比，則由，
即，解得（舍去），因此
所以的通項為
（II）2011年高考試題解析數學（文科）分項版
09 直線與圓
一、選擇題:
1.(2011年高考安徽卷文科4)若直線過圓的圓心,則a的值為
（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
2. （2011年高考山東卷文科12)設，，，是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,則稱，調和分割， ,已知點C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)調和分割點A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是
(A)C可能是線段AB的中點
(B)D可能是線段AB的中點
(C)C，D可能同時在線段AB上
(D) C，D不可能同時在線段AB的延長線上
【答案】D
【解析】由 (λ∈R)，(μ∈R)知:四點，，，在同一條直線上,
因為C,D調和分割點A,B,所以A,B,C,D四點在同一直線上,且, 故選D.
3．(2011年高考廣東卷文科8)設圓C與圓 外切，與直線相切．則C的圓心軌跡為（ ）
A． 拋物線 B． 雙曲線 C． 橢圓 D． 圓
5.（2011年高考全國卷文科11)設兩圓、都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離=
(A)4 (B) (C)8 (D)
【答案】C
【解析】設和兩坐標軸相切圓的方程為：，將帶入方程整理得：，
二、填空題：
6.（2011年高考浙江卷文科12)若直線與直線與直線互相垂直，則實數=_______
【答案】
【解析】：，即
7．（2011年高考湖南卷文科15)已知圓直線
（1）圓的圓心到直線的距離為 ．
(2) 圓上任意一點到直線的距離小于2的概率為 ．
答案：5，
9.（2011年高考遼寧卷文科13)已知圓C經過A(5，1)，B(1，3)兩點，圓心在x軸上．則C的方程為___________.
答案：
解析：直線AB的斜率是kAB=，中點坐標是(3,2).故直線AB的中垂線方程，由得圓心坐標C（2,0），r=|AC|=,故圓的方程為。
10．（2011年高考重慶卷文科13)過原點的直線與圓相交所得弦的長為2，則該直線的方程為
【答案】
三、解答題：
11. （2011年高考山東卷文科22)（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若 ，（i）求證：直線過定點；
（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.
【解析】（Ⅰ）由題意:設直線,
由消y得:,設A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即,,所以中點E的坐標為E,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得
，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.
（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,又因為,,且 ，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實數k無關,所以直線過定點(-1,0).
12.(2011年高考安徽卷文科17)（本小題滿分13分）
設直線
（I）證明與相交；
（II）證明與的交點在橢圓上.
【命題意圖】：本題考察直線與直線的位置關系，線線相交的判斷與證明，點在線上的判斷與證明，橢圓方程等基本知識，考察反證法的證明思路、推理論證能力和運算求解能力。
【解析】：（1）（反證法）假設與不相交，則與必平行， 代入得
，與是實數相矛盾。從而，即與相交。
（2）（方法一）由得交點p的坐標（x,y）為
,
而
所以與的交點p的（x,y）在橢圓上
（方法二）與的交點p的（x,y）滿足：，，從而
，代入得，整理得
所以與的交點p的（x,y）在橢圓上
【解題指導】：兩直線的位置關系判定方法：
（1）
（2）
（3）
證明兩數不等可采用反證法的思路。
點在線上的判斷與證明只要將點的坐標代入曲線方程判斷其是否成立即可，或求出交點的軌跡方程并判斷與所給的曲線方程是否一致即可。本題屬于中檔題。
13. （2011年高考福建卷文科18)（本小題滿分12分）
如圖，直線l ：y=x+b與拋物線C ：x2=4y相切于點A。
求實數b的值；
（11） 求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程.
【解析】（I）由得 ()
因為直線與拋物線C相切,所以,解得.
（II）由（I）可知,故方程()即為,解得,將其代入,得y=1,故點A(2,1).
因為圓A與拋物線C的準線相切,所以圓心A到拋物線C的準線y=-1的距離等于圓A的半徑r,
即r=|1-(-1)|=2,所以圓A的方程為.
【命題立意】本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想.
14. （2011年高考全國新課標卷文科20)（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系中，曲線坐標軸的交點都在圓C上，
（1）求圓C的方程；
（2）如果圓C與直線交于A,B兩點，且，求的值。
分析：用待定系數求圓的方程；由根與系數的關系和向量垂直求字母的值。
解：（Ⅰ）曲線
因而圓心坐標為則有
半徑為，所以圓方程是
（Ⅱ）設點滿足
解得：
點評：本題考查曲線的交點、直線與圓的方程、直線與圓以及向量的垂直關系的綜合應用，要對每一點熟練把握。2011年高考試題解析數學（文科）分項版
13 統計
一、選擇題:
1. （2011年高考江西卷文科7)為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨即抽取30名學生參加環保知識測試，得分（十分制）如圖所示，假設得分值的中位數為，眾數為，平均值為，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】計算可以得知，中位數為5.5，眾數為5所以選D
2. （2011年高考江西卷文科8)為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數據如下：
父親身高x（cm） 174 176 176 176 178
兒子身高y（cm） 175 175 176 177 177
則y對x的線性回歸方程為
A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176
【答案】C
【解析】線性回歸方程，，
3. （2011年高考福建卷文科4)某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名?，F用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為
A. 6 B. 8 C. 10 D.12
【答案】B
【解析】設樣本容量為N,則,所以,故在高二年級的學生中應抽取的人數為,選B.
4. （2011年高考山東卷文科8)某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表
根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為
(A)63.6萬元 (B)65.5萬元 (C)67.7萬元 (D)72.0萬元
5. （2011年高考四川卷文科2)有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：
2 4 9 18
11 12 7 3
根據樣本的頻率分布估計，大于或等于31.5的數據約占
（A） (B) (C) (D)
答案：B
解析：大于或等于31.5的數據所占的頻數為12+7+3=22，該數據所占的頻率約為.
6. （2011年高考陜西卷文科9)設··· ，是變量和的次方個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結論正確的是（ ）
(A) 直線過點
（B）和的相關系數為直線的斜率
（C）和的相關系數在0到1之間
（D）當為偶數時，分布在兩側的樣本點的個數一定相同
【答案】A
【解析】：由得又，所以則直線過點，故選A 7．（2011年高考湖南卷文科5)通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：
男 女 總計
愛好 40 20 60
不愛好 20 30 50
總計 60 50 110
由
附表：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
參照附表，得到的正確結論是（ ）
有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”
在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”
答案：A
解析：由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A.
8．（2011年高考湖北卷文科5)有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在區間[10,12]內的頻數為
A.18 B.36 C.54 D.72
二、填空題：
10. （2011年高考山東卷文科13)某高校甲、乙、丙、丁四個專業分別有150、150、400、300名學生，為了解學生的就業傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業共抽取40名學生進行調查，應在丙專業抽取的學生人數為 .
【答案】16
【解析】由題意知,抽取比例為3:3:8:6,所以應在丙專業抽取的學生人數為40=16.
11．(2011年高考廣東卷文科13)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球的時間x（單位：小時）與當天投籃命中率y之間的關系：
時間x 1 2 3 4 5
命中率y 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4
小李這 5天的平均投籃命中率為 ，用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為 ．
【答案】0.5;0.53
【解析】由題得小李這 5天的平均投籃命中率為
12. （2011年高考湖北卷文科11)某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，為掌握各類超市的營業情況，現按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，應抽取中型超市 家.
答案：20
解析：應抽取中型超市（家）.
13.（2011年高考浙江卷文科13)某小學為了解學生數學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統計這200名學生的某此數學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）。根據頻率分布直方圖3000名學生在該次數學考試中成績小于60分的學生數是_____________________
【答案】600
14.(2011年高考江蘇卷6)某老師從星期一到星期五收到信件數分別是10，6，8，5，6，則該組數據的方差
【答案】3.2
【解析】考查方差的計算,可以先把這組數都減去6,再求方差,,屬容易題.
15.（2011年高考遼寧卷文科14)調查了某地若干戶家庭的年收x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系,井由調查數據得到y對x的回歸直線方程.由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加 1萬元，年飲食支出平均增加_____________萬元.
【解析】(1)由頻率分布表得,即.
因為抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件,所以;
等級系數為5的恰有2件,所以,從而=0.1,所以.
(2)從日用品中任取兩件,所有可能的結果為:
,,,,,,,,,.
設事件A表示“從日用品中任取兩件,其等級系數相等”,則A包含的基本事件為
,,,,共4個.
又基本事件的總數為10,故所求的概率.
【命題立意】本題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、分類與整體思想、必然與或然思想.
17．（2011年高考湖南卷文科18)（本題滿分12分）
某河流上的一座水力發電站，每年六月份的發電量Y（單位：萬千瓦時）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關．據統計，當X=70時，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的頻率分布表：
近20年六月份降雨量頻率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
頻率
（II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份的降雨量的分布規律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發電站的發電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率．
解：（I）在所給數據中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個，故近20年六月份降雨量頻率分布表為
降雨量 70 110 140 160 200 220
頻率
（II）
故今年六月份該水力發電站的發電量低于490（萬千瓦時）或超過530（萬千瓦時）的概率為．
18．(2011年高考廣東卷文科17)（本小題滿分13分）
在某次測驗中，有6位同學的平均成績為75分．用表示編號為的同學所得成績，且前5位同學的成績如下：
編號n 1 2 3 4 5
成績 70 76 72 70 72
（1）求第6位同學成績，及這6位同學成績的標準差；
（2）從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區間中的概率．
【解析】
19. （2011年高考陜西卷文科20)（本小題滿分13分）
如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現隨機抽取100位
從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：
（Ⅰ）試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率;
時間（分鐘）
選擇 6 12 18 12 12
選擇 0 4 16 16 4
（Ⅱ ）分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率;
（Ⅲ ）現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑。
解：（Ⅰ）由已知共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人，用頻率估計相應的概率為0.44.
（Ⅱ ）選擇的有60人，選擇的有40人，故由調查結果得頻率為：
時間（分鐘）
的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
（ Ⅲ ），，分別表示甲選擇和時，在40分鐘內趕到火車站；，分別表示乙選擇和時，在50分鐘內趕到火車站。
由（Ⅱ）知 =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，
甲應選擇
=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， =0.1+0.4+0.4=0.9，，
∴ 乙應選擇.
20. （2011年高考全國新課標卷文科19)（本小題滿分12分）
某種產品以其質量指標值衡量，質量指標越大越好，且質量指標值大于102的產品為優質產品，現在用兩種新配方（A配方、B配方）做試驗，各生產了100件，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面的試驗結果：
A配方的頻數分布表
指標值分組
頻數 8 20 42 22 8
B配方的頻數分布表
指標值分組
頻數 4 12 42 32 8
分別估計使用A配方，B配方生產的產品的優質品的概率；
已知用B配方生產一件產品的利潤與其質量指標的關系為：
估計用B配方生產上述產品平均每件的利潤。
21.（2011年高考遼寧卷文科19) (本小題滿分12分)
某農場計劃種植某種新作物．為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種
乙)進行田間試驗，選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中．隨機
選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙
(Ⅰ)假設n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率：
(Ⅱ)試驗時每大塊地分成8小塊．即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產量(單位kg／hm2)如下表：
分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為
應該種植哪一品種
附：樣本數據x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數。
解析：（I）設第一大塊地中的兩小塊地編號為1,2，第二大塊地中的兩小塊地編號為3,4，令事件A=“第一大塊地都種品種甲”，從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）。
而事件A包含1個基本事件：（1，2），所以P（A）=.
（II）品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別是：
，
。
品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別是：
，
，
由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙。
22.(2011年高考安徽卷文科20)（本小題滿分10分）
某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統計數據：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（萬噸） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所給數據求年需求量與年份之間的回歸直線方程;
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直線方程預測該地2012年的糧食需求量。
溫馨提示：答題前請仔細閱讀卷首所給的計算公式及說明.
【命題意圖】：本題考察回歸分析的基本思想及其初步應用，回歸直線的意義和求法，數據處理的基本方法和能力，，考察運用統計知識解決簡單實際應用問題能力和運算求解能力。
【解析】：（Ⅰ）由所給數據可以看出，年需求量與年份之間的是近似直線上升，為此對數據預處理如下表：
年份-2006 -4 -2 0 2 4
需求量-257 -21 -11 0 19 29
對預處理后的數據，容易算得
=0 ，=3.2
，
所求的回歸直線方程為
即
（Ⅱ）當x=2012時，（萬噸）
答：該地2012年的糧食需求量為299.2萬噸。
【解題指導】：求回歸直線方程的思維含量不高，但對數據處理和運算能力要求非常高，本題若不先對數據進行預處理，出錯的可能性很大。此外還要說明一點：試卷開頭“考生注意事項”部分已經提示：“若對數據適當的預處理，可避免對大數字進行運算.”做卷時要注意這些細節。2011年高考試題解析數學（文科）分項版
14 復數、推理與證明
一、選擇題:
1.（2011年高考山東卷文科2)復數z=(為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限為
（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】D
【解析】因為,故復數z對應點在第四象限,選D.
2. （2011年高考海南卷文科2)復數=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為=,故選C.
5．(2011年高考廣東卷文科1)設復數滿足，其中為虛數單位，則= （ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】由題得所以選A.
6. （2011年高考江西卷文科1)若，則復數=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 .
7. （2011年高考江西卷文科6)觀察下列各式：則，…，則的末兩位數字為（ ）
A.01 B.43 C.07 D.49
【解析】由于=,對于①, 等于402余1，所以;
對于②,-3=-5+2,被5除應余2,所以②錯;對于③,任意一整數,被5除余數為0,1,2,3,4,所以,所以③正確;對于④，先證充分性,因為是同一類,可設則即,.不妨令,則,,,所以屬于同一類,故④正確,則正確的有①③④.
10．（2011年高考湖南卷文科2)若為虛數單位，且，則
Ａ．　　?。拢　。茫　。模?br/>13.（2011年高考遼寧卷文科2)i為虛數單位，（ ）
（A）0 （B）2i （C）-2i （D）4i
答案： A
解析：。
二、填空題:
14.(2011年高考江蘇卷3)設復數i滿足（i是虛數單位），則的實部是_________
【答案】1
【解析】因為，所以,故的實部是1.
15.（2011年高考陜西卷文科13)觀察下列等式
照此規律，第五個等式應為__________________.
【答案】
【解析】：第5個等式是首項為5，公差1，項數為9的等差數列，即
三、解答題:
16．(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分）
設整數，是平面直角坐標系中的點，其中
（1）記為滿足的點的個數，求；
（2）記為滿足是整數的點的個數，求
解析：考察計數原理、等差數列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。
（1）因為滿足的每一組解構成一個點P,所以。
（2）設，則
對每一個k對應的解數為：n-3k,構成以3為公差的等差數列；
當n-1被3整除時，解數一共有：
當n-1被3除余1時，解數一共有：
當n-1被3除余2時，解數一共有：
17．（2011年高考四川卷文科22)（本小題滿分14分）
已知函數.
（Ⅰ）設函數F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求F(x)的單調區間與極值；
（Ⅱ）設aR,解關于x的方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);
（Ⅲ）設n*,證明：f(n)h(n)- [h(1)+h(2)+ …+h（n）] ≥.
（Ⅱ）由方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x)，
得，即，即，
方程可以變為，
，
當，方程，，；
當，方程，；
當時，方程有一個解；
當方程無解.
18．(2011年高考廣東卷文科20)（本小題滿分14分）
設b>0,數列滿足,．
求數列的通項公式；
證明：對于一切正整數,．
【解析】2011年高考試題解析數學（文科）分項版
06 不等式
一、選擇題:
1. （2011年高考山東卷文科7)設變量x，y滿足約束條件，則目標函數的最大值為
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B
【解析】畫出平面區域表示的可行域如圖所示,當直線平移至點A(3,1)時, 目標函數取得最大值為10,故選B.
2.（2011年高考浙江卷文科3)若實數滿足不等式組 ,則的最小值是
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28
【答案】 A
【解析】三條直線的交點分別為（0,1），（0，－1），（1,0），分別代入，得最大值為2，最小值為－2.故選B.
【解題指導】：線性規劃問題不牽涉目標函數的斜率問題時，可以不畫圖，直接將交點坐標求出代入計算即可。
4.（2011年高考浙江卷文科6)若為實數,則“”是“”的( )
A．充分而不必要條件　　　　 　　B．必要而不充分條件
C．充分必要條件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要條件
7. (2011年高考天津卷文科5)已知則
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為,都小于1且大于0,故排除C,D;又因為都是以4為底的對數,真數大,函數值也大,所以,故選B.
8 ．(2011年高考廣東卷文科4)函數的定義域是 （ ）
A． B． C． D．
OABC,，所以就是求的最大值，表示數形結合觀察得當點M在點B的地方時，才最大。
,所以，所以選擇B
11.（2011年高考江西卷文科3)若，則的定義域為( )
B. C. D.
【答案】C
【解析】 .
12. （2011年高考福建卷文科6)若關于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是
A. (-1,1)
B. (-2,2)
C. (-∞，-2) ∪（2，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
【解析】,所以在處有極值,所以,即,
又,所以,即,所以,當且僅當時等號成立,所以
的最大值為9,選D.
14. （2011年高考四川卷文科10)某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；每送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當天派用甲乙卡車的車輛數，可得最大利潤
（A） 4650元 （B）4700元
(C) 4900元 （D）5000元
15. （2011年高考陜西卷文科3)設，則下列不等式中正確的是
（A） （B）
（C ） (D)
【答案】B
【解析】：，
又所以故選B
16．（2011年高考湖南卷文科3)的
A．充分不必要條件　　　?。拢匾怀浞謼l件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
答案：A
解析：因，反之
，不一定有。
17．（2011年高考湖北卷文科8)直線與不等式組表示平面區域的公共點有
A.0個 B.1個
C.2個 D.無數個
答案：B
解析：畫出可行域（如圖示），可得B(0,2) , A(2,4),
C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由圖知有唯一交點，故選B。
18.（2011年高考全國卷文科4)若變量x、y滿足約束條件，則的最小值為
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
【答案】C
【解析】作出可行域，分析可知當，
19.（2011年高考全國卷文科5)下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】： 故選A。
20. （2011年高考湖北卷文科10)若實數滿足，且，則稱與互補，記那么是與b互補的
A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案：C
解析：由，即，故，則，化簡得，即ab=0，故且，則且，故選C.
21.（2011年高考遼寧卷文科11)函數f(x)的定義域為R，f(-1)=2,對任意，,則的解集為
(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)
【解析】兩種方法，方法一：分三段，當x<-10時， -x-10+x-2,
當時， x+10-x+2,
當x>2時， x+10-x+2,x>2,
方法二：用絕對值的幾何意義，可以看成到兩點-10和2的距離差大于等于8的所有點的集合，畫出數軸線，找到0到-10的距離為10，到2的距離為2，，并當x往右移動，距離差會大于8，所以滿足條件的x的范圍是.
24. （2011年高考海南卷文科14)若變量滿足約束條件,則的最小值為 .
【答案】-6
【解析】畫出不等式組表示的平面區域,平移目標函數表示的直線,不難求出最小值為-6.
25．（2011年高考浙江卷文科16)若實數滿足，則的最大值是 。
【答案】
【解析】：：
26. (2011年高考天津卷文科12)已知,則的最小值為 .
Q兩點，所以線段PQ長為，當且僅當時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.
28.（2011年高考陜西卷文科12)如圖，點在四邊形ABCD內部和邊界上運動，那么的最小值為 .
【答案】1
【解析】：令，所以過時在軸上截距最大，即時有最小值為
29．（2011年高考重慶卷文科15)若實數的最大值是
【答案】
30．（2011年高考湖南卷文科14)設在約束條件下，目標函數的最大值為4，則的值為 ．
答案：3
解析：畫出可行域，可知在點取最大值為4，解得。

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