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瓜豆原理——主從聯動
瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是頂角，則兩動點的運動路徑相同。瓜豆原理是主從聯動軌跡問題。主動點叫做瓜，從動點叫做豆，瓜在直線上運動，豆的運動軌跡也是直線。瓜在圓周上運動，豆的運動軌跡也是圓，關鍵是作出從動點的運動軌跡，根據主動點的特殊位置點，作出從動點的特殊點，從而連成軌跡。
類型一：點直線上運動
線段+直線
條件：線段AB上A為直線l上的動點。C為線段AB中點，B為定點，A為動點。
結論：1.點C的軌跡為A軌跡的一半
2.C的軌跡與A的軌跡平行
2.角+直線
條件：A為定點，B為主動點，C為從動點，并且A與B，C的連線的夾角為定值，且AB不等于AC
條件：A為定點，B為主動點，C為從動點，并且A與B，C的連線的夾角為定值，且AB=AC
結論：1.C的運動軌跡和B的運動軌跡一樣，都是直線
B運動的直線和C運動的直線的夾角等于∠A
為一個定值k
C運動的長度和B運動長度之比等于k
若AB不等于AC，則有△ABM∽△AM′C，相似比k
若AB=AC，則有△ABM≌△AM′C
軌跡之線段篇
引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？
【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？
【分析】當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．
當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．
【模型總結】
必要條件：
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
結論：
P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）
P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
【2017姑蘇區二模】如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________．
【分析】根據△DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8．
【2013湖州中考】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．
【分析】根據∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，P點軌跡長ON為，故B點軌跡長為．
【練習】如圖，在平面直角坐標系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．
【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．
取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．
根據∠ABP=60°可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以OP=．
【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為　　．
【分析】同樣是作等邊三角形，區別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：
考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在位置，最終G點在位置（不一定在CD邊），即為G點運動軌跡．
CG最小值即當CG⊥的時候取到，作CH⊥于點H，CH即為所求的最小值．
根據模型可知：與AB夾角為60°，故⊥．
過點E作EF⊥CH于點F，則HF==1，CF=，
所以CH=，因此CG的最小值為．
類型二：點在圓上運動
線段+圓
條件：線段AB中，A為上一動點，B為定點，C為AB中點
結論：1.點C的運動軌跡與點A的運動軌跡都是圓
2.兩元半徑之比為2:1
3.△ABO∽△BCO，相似比為2:1
2.角+圓
條件：A為定點，B為主動點，C為從動點，并且A與B，C的連線的夾角為定值，且AB=AC
條件：A為定點，B為主動點，C為從動點，并且A與B，C的連線的夾角為定值，且AB不等于AC
結論：1.C的運動軌跡和B的運動軌跡一樣，都是圓
B圓和C圓上對應線段的夾角等于∠A
為一個定值k
C運動的長度和B運動長度之比等于k
B圓的半徑和C圓的半徑之比為k
若AB不等于AC，則有△ABM∽∽△AM′C，相似比k
若AB=AC，則有△ABM≌△AM′C
若k=1，B圓和C圓是等圓，若k≠1，那么B圓和C圓不是等圓
軌跡之圓篇
引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？
【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？
考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，
由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，
由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．
Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．
根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；
根據動點之間的數量關系分析軌跡圓半徑數量關系．
引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？
【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．
考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．
引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？
【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．
即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．
【模型總結】
為了便于區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．
此類問題的必要條件：兩個定量
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．
按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮．
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．
【思考1】：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？
【分析】
Q點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌跡是個圓：
考慮∠PAQ=60°，可得Q點軌跡圓圓心M滿足∠MAO=60°；
考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．
【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系．
【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．
考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？
【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q點軌跡是個圓．
連接AO，構造∠OAM=45°且AO:AM=：1．M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ．即可確定點Q的軌跡圓．
【練習】如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．
【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．考慮C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡．
當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據B、P坐標求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可．
【2016武漢中考】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．
【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：
取AB中點O，連接CO取CO中點D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡．
當然，若能理解M點與P點軌跡關系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題．
【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．
【分析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓．
考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．
直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小．可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．
【練習】△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_____________．
【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．
根據AC=2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓．
接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌跡也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心．
連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據AB先求AM，再根據BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．
此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當A、C、A’共線時，可得AO最大值．
或者直接利用托勒密定理可得最大值．
軌跡之其他圖形篇
所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是．
【2016樂山中考】如圖，在反比例函數的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數的圖像上運動，若tan∠CAB=2，則k的值為（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．
【思考】若將條件“tan∠CAB=2”改為“△ABC是等邊三角形”，k會是多少？
【練習】如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以OP為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當點P在△ABC邊上運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為________．
【分析】根據△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據OP:OQ=，可得P點軌跡圖形與Q點軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，△ABC面積為1/2×3×4=6，故Q點軌跡形成的封閉圖形面積為3．
【小結】根據瓜豆原理，類似這種求從動點軌跡長或者軌跡圖形面積，根據主動點軌跡推導即可，甚至無需作圖．
【練習】如圖所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD=PD，則PB的取值范圍為___________．
【分析】固定AB不變，AC=2，則C點軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，則D點軌跡是以點M為圓心、為半徑的圓
考慮到AP=2AD，故P點軌跡是以N為圓心，為半徑的圓，即可求出PB的取值范圍．
總結：瓜豆原理主要掌握好從動點的變化規律，從動點軌跡到底是直線還是圓，。以及他們軌跡之間的相互的比例關系。這樣我們在解題過程中才能夠迅速定位，找到破題之道。
費馬點問題
“費馬點”
作法
圖形
原理
△ABC中每一內角都小于120°，在△ABC內求一點P，使PA+PB+PC值最小．
所求點為“費馬點”，即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC為邊向外作等邊△ABD、△ACE，連CD、BE相交于P，點P即為所求．
兩點之間線段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．
1.閱讀下列材料
對于任意的，若三角形內或三角形上有一點，若有最小值，則取到最小值時，點為該三角形的費馬點。
①若三角形內有一個內角大于或等于，這個內角的頂點就是費馬點
②若三角形內角均小于，則滿足條件時，點既為費馬點
解決問題：
⑴如圖，中，三個內角均小于，分別以、為邊向外作等邊、，連接、交于點，
證明：點為的費馬點。(即證明)且
⑶若，AB=3，BC=4，直接寫出PA+PB+PC的最小值
1.(1)【操作發現】
如圖1,將△ABC繞點A順時針旋轉60?，得到△ADE，連接BD，則∠ABD=___度。
(2)【類比探究】
如圖2，在等邊三角形ABC內任取一點P，連接PA，PB，PC，求證：以PA，PB，PC的長為三邊必能組成三角形。
(3)【解決問題】
如圖3,在邊長為的等邊三角形ABC內有一點P,∠APC=90?,∠BPC=120?，求△APC的面積。
(4)【拓展應用】
如圖4是A,B,C三個村子位置的平面圖,經測量AC=4,BC=5,∠ACB=30?，P為△ABC內的一個動點，連接PA，PB，PC.求PA+PB+PC的最小值。
2.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）求證：△AMB
≌
△ENB；
（2）①當M點在何處時，AM+CM的值最小；
②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；
（3）當AM+BM+CM的最小值為+1時，求正方形的邊長．
3.如圖，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=α，P為△AOB外移動，將△POB繞點O按順時針方向旋轉α得到△OP’A，且點A、P’、P三點在同一條直線上。
（1）【觀察猜想】
在圖①中，∠APB=______；在圖②中，∠APB=
_________；（用含α的代數式表示）
（2）【類比探究】
如圖③，若α=90°，請補全圖形，再過點O作OH⊥AP與點H，探究線段PB，PA，OH之間的數量關系，并證明你的結論；
【問題解決】
若α=90°，AB=5，BP=3，求點O到AP的距離
4.知識儲備
①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點。求證：PB+PC=PA.
②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離。
(2)知識遷移
①我們有如下探尋△ABC(其中∠A,∠B,∠C均小于120?)的費馬點和費馬距離的方法：
如圖2,在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓,根據(1)的結論，易知線段___的長度即為△ABC的費馬距離。
②在圖3中,用不同于圖2的方法作出△ABC的費馬點P(要求尺規作圖).
(3)知識應用
①判斷題(正確的打√,錯誤的打×):
ⅰ。任意三角形的費馬點有且只有一個___；
ⅱ。任意三角形的費馬點一定在三角形的內部___.
②已知正方形ABCD，P是正方形內部一點，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長。
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精品試卷·第
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