資源簡介

目 錄
第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.1 因動點產生的相似三角形問題
例1 2011年上海市閘北區中考模擬第25題
例2 2011年上海市楊浦區中考模擬第24題
例3 2010年義烏市中考第24題
例4 2010年上海市寶山區中考模擬第24題
例5 2009年臨沂市中考第26題
例6 2009年上海市閘北區中考模擬第25題
例7 2008年杭州市中考第24題
1.2 因動點產生的等腰三角形問題
例1 2011年湖州市中考第24題
例2 2011年鹽城市中考第28題
例3 2010年上海市閘北區中考模擬第25題
例4 2010年南通市中考第27題
例5 2009年重慶市中考第26題
例6 2009年上海市中考第24題
1.3 因動點產生的直角三角形問題
例1 2011年沈陽市中考第25題
例2 2011年浙江省中考第23題
例3 2010年北京市中考第24題
例4 2009年嘉興市中考第24題
例5 2008年河南省中考第23題
例6 2008年天津市中考第25題
1.4 因動點產生的平行四邊形問題
例1 2011年上海市中考第24題
例2 2011年江西省中考第24題
例3 2010年河南省中考第23題
例4 2010年山西省中考第26題
例5 2009年福州市中考第21題
例6 2009年江西省中考第24題
例7 2008年太原市中考第29題
1.5 因動點產生的梯形問題
例1 2011年北京市海淀區中考模擬第24題
例2 2011年義烏市中考第24題
例3 2010年杭州市中考第24題
例4 2010年上海市奉賢區中考模擬第24題
例5 2009年廣州市中考第25題
例6 2009年河北省中考第26題
1.6 因動點產生的面積問題
例1 2011年南通市中考第28題
例2 2011年上海市松江區中考模擬第24題
例3 2010年廣州市中考第25題
例4 2010年揚州市中考第28題
例5 2009年蘭州市中考第29題
例6 2008年長春市中考第25題
1.7因動點產生的相切問題
例1 2011年上海市奉賢區中考模擬第25題
例2 2011年上海市徐匯區中考模擬第25題
例3 2010年福州市中考第22題
例4 2010年鹽城市中考第28題
例5 2009年江蘇省中考第28題
例6 2008年哈爾濱市中考第28題
例7 2008年南京市中考第27題
1.8因動點產生的線段和差問題
例1 2011年嘉興市中考第24題
例2 2011年菏澤市中考第21題
例3 2010年中山市中考第22題
例4 2010年南通市中考第28題
例5 2009年濟南市中考第24題
例6 2009年北京市中考第25題
第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.1 因動點產生的相似三角形問題
例1 2011年上海市閘北區中考模擬第25題
直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到△COD，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A、C、D三點．
(1) 寫出點A、B、C、D的坐標；
(2) 求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；
(3) 在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動點Q在直線BG上運動， 可以體驗到，
△ABQ的兩條直角邊的比為1∶3共有四種情況，點B上、下各有兩種．
思路點撥
1．圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉角．
2．用待定系數法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標．
3．第（3）題判斷∠ABQ＝90°是解題的前提．
4．△ABQ與△COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的位置關系分上下兩種情形，點Q共有4個．
滿分解答
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
（2）因為拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三點，所以 解得
所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，頂點G的坐標為(1，4)．
（3）如圖2，直線BG的解析式為y＝3x＋1，直線CD的解析式為y＝3x＋3，因此CD//BG．
因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x，3x＋1)，那么．
Rt△COD的兩條直角邊的比為1∶3，如果Rt△ABQ與Rt△COD相似，存在兩種情況：
①當時，．解得．所以，．
②當時，．解得．所以，．
圖2 圖3
考點伸展
第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明AB⊥BG；二是．
我們換個思路解答第（3）題：
如圖3，作GH⊥y軸，QN⊥y軸，垂足分別為H、N．
通過證明△AOB≌△BHG，根據全等三角形的對應角相等，可以證明∠ABG＝90°．
在Rt△BGH中，，．
①當時，．
在Rt△BQN中，，．
當Q在B上方時，；當Q在B下方時，．
②當時，．同理得到，．
例2 2011年上海市楊浦區中考模擬第24題
Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖1所示，反比例函數在第一象限內的圖像與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），△BDE的面積為2．
（1）求m與n的數量關系；
（2）當tan∠A＝時，求反比例函數的解析式和直線AB的表達式；
（3）設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果△AEO與△EFP 相似，求點P的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11楊浦24”，拖動點A在x軸上運動，可以體驗到，直線AB保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積BDE＝2”，可以看到，點E正好在BD的垂直平分線上，FD//x軸．拖動點P在射線FD上運動，可以體驗到，△AEO與△EFP 相似存在兩種情況．
思路點撥
1．探求m與n的數量關系，用m表示點B、D、E的坐標，是解題的突破口．
2．第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD//x軸．
3．如果△AEO與△EFP 相似，因為夾角相等，根據對應邊成比例，分兩種情況．
滿分解答
（1）如圖1，因為點D（4，m）、E（2，n）在反比例函數的圖像上，所以 整理，得n＝2m．
（2）如圖2，過點E作EH⊥BC，垂足為H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．
已知△BDE的面積為2，所以．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．
因為點D（4，1）在反比例函數的圖像上，所以k＝4．因此反比例函數的解析式為．
設直線AB的解析式為y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，．
因此直線AB的函數解析式為．
圖2 圖3 圖4
（3）如圖3，因為直線與y軸交于點F（0，1），點D的坐標為（4，1），所以FD// x軸，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO與△EFP 相似存在兩種情況：
①如圖3，當時，．解得FP＝1．此時點P的坐標為（1，1）．
②如圖4，當時，．解得FP＝5．此時點P的坐標為（5，1）．
考點伸展
本題的題設部分有條件“Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖1所示”，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：
第（1）題的結論m與n的數量關系不變．第（2）題反比例函數的解析式為，直線AB為．第（3）題FD不再與x軸平行，△AEO與△EFP 也不可能相似．
圖5
例3 2010年義烏市中考第24題
如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數式表示x2－x1，并求出當S=36時點A1的坐標；
（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖像，可以體驗到，x2－x1隨S的增大而減小．雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE相似．
思路點撥
1．第（2）題用含S的代數式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數變形就可以了．
2．第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證．
3．第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方．
滿分解答
（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）．
（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．
在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于，，所以．解得．
圖3 圖4
考點伸展
第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3．
例4 2010年上海市寶山區中考模擬第24題
如圖1，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達式；
（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′ 的交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動點A′向右平移，可以體驗到，平移5個單位后，四邊形A A′B′B為菱形．再拖動點D在x軸上運動，可以體驗到，△B′CD與△ABC相似有兩種情況．
思路點撥
1．點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色．第（1）題用在待定系數法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B′ 的坐標、AC和B′C的長．
2．拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變．
3．探求△ABC與△B′CD相似，根據菱形的性質，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論．
滿分解答
(1) 因為點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，．
(2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB＝5．因為四邊形A A′B′B為菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因為，所以原拋物線的對稱軸x＝－1向右平移5個單位后，對應的直線為x＝4．
因此平移后的拋物線的解析式為．
圖2
(3) 由點A (-2，4) 和點B′ (6，0)，可得A B′＝．
如圖2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根據菱形的性質，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
①如圖3，當時，，解得．此時OD＝3，點D的坐標為（3，0）．
②如圖4，當時，，解得．此時OD＝，點D的坐標為（，0）．
圖3 圖4
考點伸展
在本題情境下，我們還可以探求△B′CD與△AB B′相似，其實這是有公共底角的兩個等腰三角形，容易想象，存在兩種情況．
我們也可以討論△B′CD與△CB B′相似，這兩個三角形有一組公共角∠B，根據對應邊成比例，分兩種情況計算．
例5 2009年臨沂市中考第26題
如圖1，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．
,
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，△PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側”、“ P在x軸上方”和“P在A右側”，可以顯示△PAM與△OAC相似的三個情景．
雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察△DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，△DCA的面積最大．
思路點撥
1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點式比較簡便．
2．數形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．
3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．
4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．
滿分解答
（1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．
（2）設點P的坐標為．
①如圖2，當點P在x軸上方時，1＜x＜4，，．
如果，那么．解得不合題意．
如果，那么．解得．
此時點P的坐標為（2，1）．
②如圖3，當點P在點A的右側時，x＞4，，．
解方程，得．此時點P的坐標為．
解方程，得不合題意．
③如圖4，當點P在點B的左側時，x＜1，，．
解方程，得．此時點P的坐標為．
解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．
綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或．
圖2 圖3 圖4
（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．
設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為．所以．
因此．
當時，△DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1）．
圖5 圖6
考點伸展
第（3）題也可以這樣解：
如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△CDN和△ADM的面積．
設點D的橫坐標為（m，n），那么
．
由于，所以．
例6 2009年上海市閘北區中考模擬第25題
如圖1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D為射線BA上的點（點D不與點B重合），作DE//BC交射線CA于點E.．
(1) 若CE＝x，BD＝y，求y與x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
(2) 當分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；
(3) 當點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使△ABC與△DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由．
圖1 備用圖 備用圖
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09閘北25”，拖動點D可以在射線BA上運動．雙擊按鈕“第（2）題”，拖動點D可以體驗到兩圓可以外切一次，內切兩次．
雙擊按鈕“第（3）題”，再分別雙擊按鈕“DE為腰”和“DE為底邊”，可以體驗到，△DEF為等腰三角形．
思路點撥
1．先解讀背景圖，△ABC是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的△DEF也是等腰三角形．
2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）題的先決條件，注意點E的位置不同，DE、MN表示的形式分兩種情況．
3．求兩圓相切的問題時，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗方程的解的位置是否符合題意．
4．第（3）題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論，運用典型題目的結論可以幫助我們輕松解題．
滿分解答
（1）如圖2，作BH⊥AC，垂足為點H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝，所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 為等腰三角形，AB＝CB＝5．
因為DE//BC，所以，即．于是得到，（）．
（2）如圖3，圖4，因為DE//BC，所以，，即，．因此，圓心距．
圖2 圖3 圖4
在⊙M中，，在⊙N中，．
①當兩圓外切時，．解得或者．
如圖5，符合題意的解為，此時．
②當兩圓內切時，．
當x＜6時，解得，如圖6，此時E在CA的延長線上，；
當x＞6時，解得，如圖7，此時E在CA的延長線上，．
圖5 圖6 圖7
（3）因為△ABC是等腰三角形，因此當△ABC與△DEF相似時，△DEF也是等腰三角形．
如圖8，當D、E、F為△ABC的三邊的中點時，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時BF＝2.5．根據對稱性，當F在BC邊上的高的垂足時，也符合題意，此時BF＝4.1．
如圖9，當DE為等腰三角形DEF的底邊時，四邊形DECF是平行四邊形，此時．
圖8 圖9 圖10 圖11
考點伸展
第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH是△ABC的高，D、E、F為△ABC的三邊的中點，那么四邊形DEHF是等腰梯形．
例 7 2008年杭州市中考第24題
如圖1，在直角坐標系xOy中，設點A（0，t），點Q（t，b）．平移二次函數的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：①頂點為Q；②與x軸相交于B、C兩點（∣OB∣<∣OC∣），連結A，B．
（1）是否存在這樣的拋物線F，使得？請你作出判斷，并說明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求拋物線F對應的二次函數的解析式．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08杭州24”，拖動點A在y軸上運動，可以體驗到，AQ與BC保持平行，OA∶OB與OA∶OB′保持3∶2．
雙擊按鈕“t＝3”，“t＝0．6”，“t＝－0．6”，“t＝－3”，拋物線正好經過點B（或B′）．
思路點撥
1．數形結合思想，把轉化為．
2．如果AQ∥BC，那么以OA、AQ為鄰邊的矩形是正方形，數形結合得到t＝b．
3．分類討論tan∠ABO＝，按照A、B、C的位置關系分為四種情況．A在y軸正半軸時，分為B、C在y軸同側和兩側兩種情況；A在y軸負半軸時，分為B、C在y軸同側和兩側兩種情況．
滿分解答
（1）因為平移的圖象得到的拋物線的頂點為（t，b），所以拋物線對應的解析式為．
因為拋物線與x軸有兩個交點，因此．
令，得，．
所以)( )| ．即．所以當時，存在拋物線使得．
（2）因為AQ//BC，所以t＝b，于是拋物線F為．解得．
①當時，由，得．
如圖2，當時，由，解得．此時二次函數的解析式為．
如圖3，當時，由，解得．此時二次函數的解析式為＋＋．
圖2 圖3
②如圖4，如圖5，當時，由，將代,可得，．此時二次函數的解析式為＋－或．
圖4 圖5
考點伸展
第（2）題還可以這樣分類討論：
因為AQ//BC，所以t＝b，于是拋物線F為．由，得．
①把代入，得（如圖2，圖5）．
②把代入，得（如圖3，圖4）．
第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.2 因動點產生的等腰三角形問題
例1 2011年湖州市中考第24題
如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．
（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值；
（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）．當點P從O向C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經過的路長（不必寫解答過程）．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11湖州24”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，△APD的三個頂點有四次機會可以落在對邊的垂直平分線上．雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點P由O向C運動，可以體驗到，點H在以OM為直徑的圓上運動．雙擊按鈕“第(2)題”可以切換．
思路點撥
1．用含m的代數式表示表示△APD的三邊長，為解等腰三角形做好準備．
2．探求△APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解．
3．猜想點H的運動軌跡是一個難題．不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？Rt△OHM的斜邊長OM是定值，以OM為直徑的圓過點H、C．
滿分解答
（1）因為PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到點D的坐標為(2，4－m)．
（2）在△APD中，，，．
①當AP＝AD時，．解得（如圖3）．
②當PA＝PD時，．解得（如圖4）或（不合題意，舍去）．
③當DA＝DP時，．解得（如圖5）或（不合題意，舍去）．
綜上所述，當△APD為等腰三角形時，m的值為，或．
圖3 圖4 圖5
（3）點H所經過的路徑長為．
考點伸展
第（2）題解等腰三角形的問題，其中①、②用幾何說理的方法，計算更簡單：
①如圖3，當AP＝AD時，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．
②如圖4，當PA＝PD時，P在AD的垂直平分線上．所以DA＝2PO．因此．解得．
第（2）題的思路是這樣的：
如圖6，在Rt△OHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的⊙G經過點H，也就是說點H在圓弧上運動．運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點H運動的起點，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．
圖6 圖7
例2 2011年鹽城市中考第28題
如圖1，已知一次函數y＝－x＋7與正比例函數 的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖像中可以看到，△APR的面積有一個時刻等于8．觀察△APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在AP＝AQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，△APQ是等腰三角形．
思路點撥
1．把圖1復制若干個，在每一個圖形中解決一個問題．
2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．
3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．
滿分解答
（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)．
令，得．所以點B的坐標是(7，0)．
（2）①如圖2，當P在OC上運動時，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當P在CA上運動時，△APR的最大面積為6．
因此，當t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．
圖2 圖3 圖4
②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．
如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．
因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．
此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 為定值，，．
如圖5，當AP＝AQ時，解方程，得．
如圖6，當QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，當PA＝PQ時，那么．因此．解方程，得．
綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．
圖5 圖6 圖7
考點伸展
當P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．
例3 2010年上海市閘北區中考模擬第25題
如圖1，在直角坐標平面內有點A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P．
(1)求證：MN∶NP為定值；
(2)若△BNP與△MNA相似，求CM的長；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的長．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10閘北25”，拖動點M在CA上運動，可以看到△BNP與△MNA的形狀隨M的運動而改變．雙擊按鈕“△BNP∽△MNA”，可以體驗到，此刻兩個三角形都是直角三角形．分別雙擊按鈕“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延長線上”，可以準確顯示等腰三角形BNP的三種情況．
思路點撥
1．第（1）題求證MN∶NP的值要根據點N的位置分兩種情況．這個結論為后面的計算提供了方便．
2．第（2）題探求相似的兩個三角形有一組鄰補角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似．
3．第（3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點N的位置分類，再按照頂角的頂點分類．注意當N在AB的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況．
4．探求等腰三角形BNP，N在AB上時，∠B是確定的，把夾∠B的兩邊的長先表示出來，再分類計算．
滿分解答
(1)如圖2，圖3，作NQ⊥x軸，垂足為Q．設點M、N的運動時間為t秒．
在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．
在圖2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
在圖3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
(2)因為△BNP與△MNA有一組鄰補角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形．只有當這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似．
如圖4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，，所以．解得．此時CM．
圖2 圖3 圖4
(3)如圖5，圖6，圖7中，，即．所以．
①當N在AB上時，在△BNP中，∠B是確定的，，．
(Ⅰ)如圖5，當BP＝BN時，解方程，得．此時CM．
(Ⅱ)如圖6，當NB＝NP時，．解方程，得．此時CM．
(Ⅲ)當PB＝PN時，．解方程，得t的值為負數，因此不存在PB＝PN的情況．
②如圖7，當點N在線段AB的延長線上時，∠B是鈍角，只存在BP＝BN的可能，此時．解方程，得．此時CM．
圖5 圖6 圖7
考點伸展
如圖6，當NB＝NP時，△NMA是等腰三角形，，這樣計算簡便一些．
例4 2010年南通市中考第27題
如圖1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數），BC＝8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE＝x，BF＝y．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數圖像，可以體驗到，y是x的二次函數，拋物線的開口向下．對照圖形和圖像，可以看到，當E是BC的中點時，y取得最大值．雙擊按鈕“m＝8”，拖動E到BC的中點，可以體驗到，點F是AB的四等分點．
拖動點A可以改變m的值，再拖動圖像中標簽為“y隨x” 的點到射線y＝x上，從圖形中可以看到，此時△DCE≌△EBF．
思路點撥
1．證明△DCE∽△EBF，根據相似三角形的對應邊成比例可以得到y關于x的函數關系式．
2．第（2）題的本質是先代入，再配方求二次函數的最值．
3．第（3）題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達．一段是說理，如果△DEF為等腰三角形，那么得到x＝y；一段是計算，化簡消去m，得到關于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結合，代入求出對應的m的值．
滿分解答
(1)因為∠EDC與∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因為∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y關于x的函數關系為．
(2)如圖2，當m＝8時，．因此當x＝4時，y取得最大值為2．
(3) 若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況．因為△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．將x＝y ＝2代入，得m＝6（如圖3）；將x＝y ＝6代入，得m＝2（如圖4）．
圖2 圖3 圖4
考點伸展
本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：
由第（1）題得到，
那么不論m為何值，當x＝4時，y都取得最大值．對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值．第（2）題m＝8是第（1）題一般性結論的一個特殊性．
再如，不論m為小于8的任何值，△DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程
總有一個根的．第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性．
例5 2009年重慶市中考第26題
已知：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝2，OC＝3，過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．
（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G．如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF＝2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在成立，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09重慶26”，拖動點G在OC上運動，可以體驗到，△DCG與△DEF保持全等，雙擊按鈕“M的橫坐標為1.2”，可以看到，EF＝2，GO＝1．
拖動點P在AB上運動的過程中，可以體驗到，存在三個時刻，△PCG可以成為等腰三角形．
思路點撥
1．用待定系數法求拋物線的解析式，這個解析式在第（2）、（3）題的計算中要用到．
2．過點M作MN⊥AB，根據對應線段成比例可以求FA的長．
3．將∠EDC繞點D旋轉的過程中，△DCG與△DEF保持全等．
4．第（3）題反客為主，分三種情況討論△PCG為等腰三角形，根據點P的位置確定點Q的位置，再計算點Q的坐標．
滿分解答
（1）由于OD平分∠AOC，所以點D的坐標為（2，2），因此BC＝AD＝1．
由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此點E的坐標為（0，1）．
設過E、D、C三點的拋物線的解析式為，那么 解得，．因此過E、D、C三點的拋物線的解析式為．
（2）把代入，求得．所以點M的坐標為．
如圖2，過點M作MN⊥AB，垂足為N，那么，即．解得．
因為∠EDC繞點D旋轉的過程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，EF＝2GO．
（3）在第（2）中，GC＝2．設點Q的坐標為．
①如圖3，當CP＝CG＝2時，點P與點B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此時，因此。由此得到點Q的坐標為．
②如圖4，當GP＝GC＝2時，點P的坐標為（1，2）．此時點Q的橫坐標為1，點Q的坐標為．
③如圖5，當PG＝PC時，點P在GC的垂直平分線上，點P、Q與點D重合．此時點Q的坐標為（2，2）．
圖3 圖4 圖5
考點伸展
在第（2）題情景下，∠EDC繞點D旋轉的過程中，FG的長怎樣變化？
設AF的長為m，那么．
點F由E開始沿射線EA運動的過程中，FG先是越來越小，F與A重合時，FG達到最小值；F經過點A以后，FG越來越大，當C與O重合時，FG達到最大值4．
例6 2009年上海市中考第24題
在平面直角坐標系內，O為原點，點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，4），直線CM//x軸（如圖1所示）．點B與點A關于原點對稱，直線y＝x＋b（b為常數）經過點B，且與直線CM相交于點D，聯結OD．
（1）求b的值和點D的坐標；
（2）設點P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓與圓O外切，求圓O的半徑．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09上海24”，拖動點P在x軸正半軸上運動，可以體驗到，△POD的形狀可以成為等腰三角形，分別雙擊按鈕“PD＝PO”、“OD＝OP”和“DO＝DP”可以顯示三個等腰三角形．在點P運動的過程中，兩個圓保持相切，可以體驗到，當PD＝PO時，圓O不存在．
思路點撥
1．第（1）題情景簡單，內容豐富，考查了對稱點的坐標特征、待定系數法、代入求值、數形結合．
2．分三種情況討論等腰三角形POD的存在性，三個等腰三角形的求解各具特殊性．
3．圓O與圓P的半徑、圓心距都是隨點P而改變，但是兩圓外切，圓心距等于半徑和的性質不變．
滿分解答
（1）因為點A的坐標為（1，0），點B與點A關于原點對稱，所以點B的坐標為（－1，0）．將B（－1，0）代入y＝x＋b，得b＝1．將y＝4代入y＝x＋1，得x＝3．所以點D的坐標為（3，4）．
（2）因為D（3，4），所以OD＝5，．
①如圖2，當PD＝PO時，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此時點P的坐標為．
②如圖3，當OP＝OD＝5時，點P的坐標為．
③如圖4，當DO＝DP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點P的坐標為．
圖2 圖3 圖4
（3）圓P的半徑，兩圓的圓心距為OP．當兩圓外切時，圓O的半徑．
①如圖2，當PD＝PO時，，此時圓O不存在．
②如圖3，當OP＝OD＝5時，作DH⊥OP于H．在Rt△DHP中，DH＝4，HP＝2，所以．此時．
③如圖4，當DO＝DP時，．
考點伸展
如圖5，在本題情景下，如果圓P與圓C外切，那么點P的變化范圍是什么？
如圖6，當圓P經過點C時，點P在CD的垂直平分線上，點P的坐標為．
因此當點P在x軸上點的右邊時，圓P與圓C外切．
圖5 圖6
第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.3 因動點產生的直角三角形問題
例1 2011年沈陽市中考第25題
如圖1，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C(0，－3)，對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）求直線BC的函數表達式；
（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．
①當線段時，求tan∠CED的值；
②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．
溫馨提示：考生可以根據第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11沈陽25”，拖動點E或F在y軸上運動，可以體驗到，△CDE有兩次機會成為等腰直角三角形．雙擊按鈕“PQ＝3”可以準確顯示時的位置．
思路點撥
1．第（1）、（2）題用待定系數法求解析式，它們的結果直接影響后續的解題．
2．第（3）題的關鍵是求點E的坐標，反復用到數形結合，注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關系．
3．根據C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了．
滿分解答
（1）設拋物線的函數表達式為，代入點C(0，－3)，得．所以拋物線的函數表達式為．
（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．設直線BC的函數表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，－3)，得 解得，．所以直線BC的函數表達式為．
（3）①因為AB＝4，所以．因為P、Q關于直線x＝1對稱，所以點P的橫坐標為．于是得到點P的坐標為，點F的坐標為．所以，．
進而得到，點E的坐標為．
直線BC:與拋物線的對稱軸x＝1的交點D的坐標為（1，－2）．
過點D作DH⊥y軸，垂足為H．
在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．
②，．
圖2 圖3 圖4
考點伸展
第（3）題②求點P的坐標的步驟是：
如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標，再求出CE的中點F的坐標，把點F的縱坐標代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標．
例2 2011年浙江省中考第23題
設直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線．
（1）已知直線①；②；③；④和點C(0，2)，則直線_______和_______是點C的直角線（填序號即可）；
（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，∠APB有兩個時刻可以成為直角，此時△BCP∽△POA．
答案
（1）直線①和③是點C的直角線．
（2）當∠APB＝90°時，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．
如圖2，當OP＝6時，l1：， l2：y＝－2x＋6．
如圖3，當OP＝1時，l1：y＝3x＋1， l2：．
圖2 圖3
例3 2010年北京市中考第24題
在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上．
（1）求點B的坐標；
（2）點P在線段OA上，從點O出發向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得ED＝PE，以PD為斜邊，在PD右側作等腰直角三角形PCD（當點P運動時，點C、D也隨之運動）．
①當等腰直角三角形PCD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；
②若點P從點O出發向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點Q到達點O時停止運動，點P也停止運動）．過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FM＝QF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN（當點Q運動時，點M、N也隨之運動）．若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10北京24”，拖動點P從O向A運動，可以體驗到，兩個等腰直角三角形的邊有三個時刻可以共線．
思路點撥
1．這個題目最大的障礙，莫過于無圖了．
2．把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長．
3．點C的坐標始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計算此刻OP的長．
4．當兩個等腰直角三角形有邊共線時，會產生新的等腰直角三角形，列關于t的方程就可以求解了．
滿分解答
(1) 因為拋物線經過原點，所以． 解得，（舍去）．因此．所以點B的坐標為（2，4）．
(2) ①如圖4，設OP的長為t，那么PE＝2t，EC＝2t，點C的坐標為(3t, 2t)．當點C落在拋物線上時，．解得．
②如圖1，當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合．此時3t＝10．解得．
如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此時．解得．
如圖3，當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此時．解得．
圖1 圖2 圖3
考點伸展
在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值．
如圖5，當P、Q重合時，兩圓內切，．
如圖6，當兩圓外切時，．
圖4 圖5 圖6
例4 2009年嘉興市中考第24題
如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，，，．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，設．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面積？
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動點B在AN上運動，可以體驗到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角；觀察函數的圖象，可以看到，圖象是一個開口向下的“U”形，當AB等于1.5時，面積達到最大值．
思路點撥
1．根據三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關于x的不等式組，可以求得x的取值范圍．
2．分類討論直角三角形ABC，根據勾股定理列方程，根據根的情況確定直角三角形的存在性．
3．把△ABC的面積S的問題，轉化為S2的問題．AB邊上的高CD要根據位置關系分類討論，分CD在三角形內部和外部兩種情況．
滿分解答
（1）在△ABC中，，，，所以 解得．
（2）①若AC為斜邊，則，即，此方程無實根．
②若AB為斜邊，則，解得，滿足．
③若BC為斜邊，則，解得，滿足．
因此當或時，△ABC是直角三角形．
（3）在△ABC中，作于D，設，△ABC的面積為S，則．
①如圖2，若點D在線段AB上，則．移項，得．兩邊平方，得．整理，得．兩邊平方，得．整理，得
所以（）．
當時（滿足），取最大值，從而S取最大值．
圖2 圖3
②如圖3，若點D在線段MA上，則．
同理可得，（）．
易知此時．
綜合①②得，△ABC的最大面積為．
考點伸展
第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設，
例如在圖2中，由列方程．
整理，得．所以
．
因此
．
例 5 2008年河南省中考第23題
如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）．
（1）試說明△ABC是等腰三角形；
（2）動點M從A出發沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度．當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動．設M運動t秒時，△MON的面積為S．
① 求S與t的函數關系式；
② 設點M在線段OB上運動時，是否存在S＝4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；
③在運動過程中，當△MON為直角三角形時，求t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動點M從A向B運動，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗到，當M在AO上時，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當M在OB上時，S隨t的增大而增大．
觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
觀察△MON的形狀，可以體驗到，△MON可以兩次成為直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路點撥
1．第（1）題說明△ABC是等腰三角形，暗示了兩個動點M、N同時出發，同時到達終點．
2．不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論．
3．將S＝4代入對應的函數解析式，解關于t的方程．
4．分類討論△MON為直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
滿分解答
（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．點A的坐標是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如圖2，圖3，過點N作NH⊥AB，垂足為H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如圖2，當M在AO上時，OM＝2－t，此時
．
定義域為0＜t≤2．
如圖3，當M在OB上時，OM＝t－2，此時
．
定義域為2＜t≤5．
圖2 圖3
②把S＝4代入，得．解得，（舍去負值）．因此，當點M在線段OB上運動時，存在S＝4的情形，此時．
③如圖4，當∠OMN＝90°時，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．
如圖5，當∠OMN＝90°時，N與C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，當或者時，△MON為直角三角形．
圖4 圖5
考點伸展
在本題情景下，如果△MON的邊與AC平行，求t的值．
如圖6，當ON//AC時，t＝3；如圖7，當MN//AC時，t＝2.5．
圖6 圖7
例6 2008年天津市中考第25題
已知Rt△ABC中，，，有一個圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線交于點M，N．
（1）當扇形繞點C在的內部旋轉時，如圖1，求證：；
思路點撥：考慮符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△沿直線對折，得△，連，只需證，就可以了．請你完成證明過程．
（2）當扇形CEF繞點C旋轉至圖2的位置時，關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08天津25”，拖動點E繞點C任意旋轉，可以體驗到，△ACM≌△DCM，△BCN≌△DCN．觀察度量值，可以看到∠MDN總是等于90°．
思路點撥
1．本題的證明思路是構造△ACM≌△DCM，證明△BCN≌△DCN．
2．證明△BCN≌△DCN的關鍵是證明．
3．證明的結論是勾股定理的形式，基本思路是把三條線段AM、BN、MN集中在一個三角形中，設法證明這個三角形是直角三角形．
滿分解答
（1）如圖3，將△沿直線對折，得△，連，則△≌△．因此，，，．
又由，得 ．由，，得．
又，所以△≌△．因此，．
所以．
在Rt△中，由勾股定理，得．即．
圖3 圖4
（2）關系式仍然成立．
如圖4，將△沿直線對折，得△，連，則△≌△．
所以，，，．
又由，得 ．由，，得．
又，所以△≌△．因此，．
又由于
，
所以．
在Rt△中，由勾股定理，得．即．
考點伸展
當扇形CEF繞點C旋轉至圖5，圖6，圖7的位置時，關系式仍然成立．
圖5 圖6 圖7
1.4 因動點產生的平行四邊形問題
例 1 2011年上海市中考第24題
已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數的圖像與y軸交于點A，點M在正比例函數的圖像上，且MO＝MA．二次函數
y＝x2＋bx＋c的圖像經過點A、M．
（1）求線段AM的長；
（2）求這個二次函數的解析式；
（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖像上，點D在一次函數的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動點B在y軸上點A下方運動，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次機會落在拋物線上．
思路點撥
1．本題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數．
2．根據MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟．
3．第（3）題求點C的坐標，先根據菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．
滿分解答
（1）當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3．
如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標為．因此．
（2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數的解析式為．
（3）如圖3，設四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．
在Rt△ADE中，設AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
因此點C的坐標可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．
因此點C的坐標為（2，2）．
圖2 圖3
考點伸展
如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：
如圖4，點C的坐標為．
圖4
例2 2011年江西省中考第24題
將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．
（1）請直接寫出拋物線c2的表達式；
（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．
①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；
②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11江西24”，拖動點M向左平移，可以體驗到，四邊形ANEM可以成為矩形，此時B、D重合在原點．觀察B、D的位置關系，可以體驗到，B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況．
思路點撥
1．把A、B、D、E、M、N六個點起始位置的坐標羅列出來，用m的式子把這六個點平移過程中的坐標羅列出來．
2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關系列關于m的方程．
3．根據矩形的對角線相等列方程．
滿分解答
（1）拋物線c2的表達式為．
（2）拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．
拋物線c2：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為．
拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．
拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為，與x軸的兩個交點為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．
①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：
情形一，如圖2，B在D的左側，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．
情形二，如圖3，B在D的右側，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．
圖2 圖3 圖4
②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如圖4）．
考點伸展
第（2）題②，探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：
在等腰三角形ABM中，因為AB＝2，AB邊上的高為，所以△ABM是等邊三角形．
同理△DEN是等邊三角形．當四邊形ANEM是矩形時，B、D兩點重合．
因為起始位置時BD＝2，所以平移的距離m＝1．
例3 2010年河南省中考第23題
如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MAB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10河南23”，拖動點M在第三象限內拋物線上運動，觀察S隨m變化的圖像，可以體驗到，當D是AB的中點時，S取得最大值．拖動點Q在直線y＝－x上運動，可以體驗到，以點P、Q、B、O為頂點的四邊形有3個時刻可以成為平行四邊形，雙擊按鈕可以準確顯示．
思路點撥
1．求拋物線的解析式，設交點式比較簡便．
2．把△MAB分割為共底MD的兩個三角形，高的和為定值OA．
3．當PQ與OB平行且相等時，以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，按照P、Q的上下位置關系，分兩種情況列方程．
滿分解答
(1) 因為拋物線與x軸交于A(－4,0)、C(2,0)兩點，設y＝a(x＋4)(x－2)．代入點B(0,－4)，求得．所以拋物線的解析式為．
(2)如圖2，直線AB的解析式為y＝－x－4．過點M作x軸的垂線交AB于D，那么．所以
．
因此當時，S取得最大值，最大值為4．
(3) 如果以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．
設點Q的坐標為，點P的坐標為．
①當點P在點Q上方時，．解得．
此時點Q的坐標為（如圖3），或（如圖4）．
②當點Q在點P上方時，．
解得或（與點O重合，舍去）．此時點Q的坐標為(－4,4) （如圖5）．
圖3 圖4 圖5
考點伸展
在本題情境下，以點P、Q、B、O為頂點的四邊形能成為直角梯形嗎？
如圖6，Q(2,－2)；如圖7，Q(－2,2)；如圖8，Q(4,－4)．
圖6 圖7 圖8
例4 2010年山西省中考第26題
在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．
（1）求點B的坐標；
（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；
（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10山西26”，拖動點M可以在直線DE上運動．分別雙擊按鈕“DO、DM為鄰邊”、“ DO、DN為鄰邊”和“DO為對角線”可以準確顯示菱形．
思路點撥
1．第（1）題和第（2）題蘊含了OB與DF垂直的結論，為第（3）題討論菱形提供了計算基礎．
2．討論菱形要進行兩次（兩級）分類，先按照DO為邊和對角線分類，再進行二級分類，DO與DM、DO與DN為鄰邊．
滿分解答
(1)如圖2，作BH⊥x軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此點B的坐標為(3,6)．
(2) 因為OE＝2EB，所以，，E(2,4)．
設直線DE的解析式為y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直線DE的解析式為．
(3) 由，知直線DE與x軸交于點F(10,0)，OF＝10，DF＝．
①如圖3，當DO為菱形的對角線時，MN與DO互相垂直平分，點M是DF的中點．此時點M的坐標為(5,)，點N的坐標為(－5,)．
②如圖4，當DO、DN為菱形的鄰邊時，點N與點O關于點E對稱，此時點N的坐標為(4,8)．
③如圖5，當DO、DM為菱形的鄰邊時，NO＝5，延長MN交x軸于P．
由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此時點N的坐標為．
圖3 圖4
考點伸展
如果第（3）題沒有限定點N在x軸上方的平面內，那么菱形還有如圖6的情形．
圖5 圖6
例 5 2009年福州市中考第21題
如圖1，等邊△ABC的邊長為4，E是邊BC上的動點，EH⊥AC于H，過E作EF∥AC，交線段AB于點F，在線段AC上取點P，使PE＝EB．設EC＝x（0＜x≤2）．
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段AC上的動點，當四邊形EFPQ是平行四邊形時，求平行四邊形EFPQ的面積（用含的代數式表示）；
（3）當（2）中 的平行四邊形EFPQ面積最大值時，以E為圓心，r為半徑作圓，根據⊙E與此時平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數，求相應的r的取值范圍．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09福州21”，拖動點E在BC上運動，觀察面積隨x變化的圖象，可以體驗到，當E是BC的中點時，平行四邊形EFPQ的面積最大，此時四邊形EFPQ是菱形．
拖動點M在BC的垂直平分線上運動可以改變⊙E的大小，可以體驗到，⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點的總個數可能為2，4，6，3，0．
思路點撥
1．如何用含有x的式子表示平行四邊形的邊PQ，第（1）題作了暗示．
2．通過計算，求出平行四邊形面積最大時的x值，準確、規范地畫出此時的圖形是解第（3）題的關鍵，此時點E是BC的中點，圖形充滿了特殊性．
3．畫出兩個同心圓可以幫助探究、理解第（3）題：過點H的圓，過點C的圓．
滿分解答
（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條．
（2）如圖2，在Rt△CEH中，∠C＝60°，EC＝x，所以．因為PQ＝FE＝BE＝4－x，所以．
（3）因為，所以當x＝2時，平行四邊形EFPQ的面積最大．
此時E、F、P分別為△ABC的三邊BC、AB、AC的中點，且C、Q重合，四邊形EFPQ是邊長為2的菱形（如圖3）．
圖2 圖3
過點E點作ED⊥FP于D，則ED＝EH＝．
如圖4，當⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數是2個時，0＜r＜；
如圖5，當⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數是4個時，r＝；
如圖6，當⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數是6個時，＜r＜2；
如圖7，當⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數是3個時，r＝2時；
如圖8，當⊙E與平行四邊形EFPQ的四條邊交點的總個數是0個時，r＞2時．
圖4 圖5 圖6
圖7 圖8
考點伸展
本題中E是邊BC上的動點，設EC＝x，如果沒有限定0＜x≤2，那么平行四邊形EFPQ的面積是如何隨x的變化而變化的？
事實上，當x＞2時，點P就不存在了，平行四邊形EFPQ也就不存在了．
因此平行四邊形EFPQ的面積隨x的增大而增大．
例6 2009年江西省中考第24題
如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF//DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09江西24”，拖動點P在BC上運動，可以體驗到，四邊形PEDF可以成為平行四邊形．觀察△BCF的形狀和S隨m變化的圖象，可以體驗到，S是m的二次函數，當P是BC的中點時，S取得最大值．
思路點撥
1．數形結合，用函數的解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．
2．當四邊形PEDF為平行四邊形時，根據DE=FP列關于m的方程．
3．把△BCF分割為兩個共底FP的三角形，高的和等于OB．
滿分解答
（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對稱軸是x＝1．
（2）①直線BC的解析式為y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點E的坐標為（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以點D的坐標為（1，4）．
因此DE=2．
因為PF//DE，點P的橫坐標為m，設點P的坐標為，點F的坐標為，因此．
當四邊形PEDF是平行四邊形時，DE=FP．于是得到．解得，（與點E重合，舍去）．
因此，當m=2時，四邊形PEDF是平行四邊形時．
②設直線PF與x軸交于點M，那么OM+BM=OB=3．因此
．
m的變化范圍是0≤m≤3．
圖2 圖3
考點伸展
在本題條件下，四邊形PEDF可能是等腰梯形嗎？如果可能，求m的值；如果不可能，請說明理由．
如圖4，如果四邊形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．
于是．解得（與點CE重合，舍去），（與點E重合，舍去）．
因此四邊形PEDF不可能成為等腰梯形．
圖4
例 7 2008年太原市中考第29題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點．
（1）求點A、B、C的坐標．
（2）當△CBD為等腰三角形時，求點的坐標．
（3）在直線AB上是否存在點E，使得以點E、D、O、A為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“08太原29”，拖動點D可以在直線AC上運動．
分別雙擊按鈕“BC＝BD”，“CB＝CD”和“DB＝DC”，可以準確顯示△CBD為等腰三角形．
雙擊按鈕“平行四邊形”，可以體驗到，以點E、D、O、A為頂點的平行四邊形有三個．
思路點撥
1．數形結合，由兩條直線的解析式組成的方程組的解，就是點A的坐標．
2．分類討論等腰三角形CBD，按照頂角的頂點分三種情況討論．
3．在計算點D的坐標時，構造以C為頂點的直角三角形，靈活運用三邊比3∶4∶5．
4．畫平行四邊形時，是點E決定點D的位置：過點O作AC的平行線交AB于E，由OE與AD平行且相等得到點D的兩個位置，這樣就容易得到三個平行四邊形．
滿分解答
（1）在中，當時，，所以點的坐標為．在中，當時，，所以點的坐標為（4，0）．解方程組 得，．所以點的坐標為．
（2）因為點D在直線上，設點D的坐標為．當△CBD為等腰三角形時，有以下三種情況：
①如圖2，當DB＝DC時，設底邊BC上的高為DM．在Rt△CDM中，，所以．這時點D的坐標為．
②如圖3，當CD＝CB＝5時，點D恰好落在y軸上，此時點D的坐標為（0，3）．根據對稱性，點D關于點C對稱的點D′的坐標為（8，－3）．
③如圖4，當BC＝BD時，設BC、DC邊上的高分別為DM、BN．在Rt△BCN中，BC＝5，所以CN＝4，因此DC＝8．在Rt△DCM中，DC＝8，所以，．這時點D的坐標為．
綜上所述，當△CBD為等腰三角形時，點D的坐標為、（0，3）、（8，－3）或．
圖2 圖3 圖4
（3）如圖5，以點E、D、O、A為頂點的四邊形是平行四邊形有以下三種情形：
①當四邊形AEOD為平行四邊形時，．
②當四邊形ADEO為平行四邊形時，．
③當四邊形AODE為平行四邊形時，．
考點伸展
如圖5，第（3）題這樣解：
在△ABC中，已知BC＝5，BC邊上的高為，解得AB＝，AC＝．
由，得，所以．
由，得，所以．
結合圖5，可以計算出，或．
1.5 因動點產生的梯形問題
例1 2011年北京市海淀區中考模擬第24題
已知平面直角坐標系xOy中， 拋物線y＝ax2－(a＋1)x與直線y＝kx的一個公共點為A(4，8)．
（1）求此拋物線和直線的解析式；
（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；
（3）記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積．
備用圖
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11海淀24”，拖動點P在OA上運動，觀察PQ的長隨點P變化的跟蹤點，可以體驗到，當P運動到OA的中點時，PQ的長取得最大值．
答案
（1）拋物線的解析式為y＝x2－2x，直線的解析式為y＝2x．
（2）如圖1，當P為OA的中點時，的長度取得最大值為4．
（3）如圖2，如果四邊形AOMN是梯形，那么點N的坐標為(3，3)，梯形AOMN的面積為9．
圖1 圖2
例 2 2011年義烏市中考第24題
已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x＝4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線 y＝2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN//x軸，交PB于點N． 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN． 在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11義烏24”，拖動點M從P向O運動，可以體驗到，M在到達PO的中點前，重疊部分是三角形；經過中點以后，重疊部分是梯形．
思路點撥
1．第（2）題可以根據對邊相等列方程，也可以根據對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．
2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個階段，臨界點是PO的中點．
滿分解答
（1）設拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12) 兩點，得 解得
所以二次函數的解析式為，頂點P的坐標為（4，－4）．
（2）由，知點B的坐標為（6，0）．
假設在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．設點D的坐標為(x，2x)．
由兩點間的距離公式，得．解得或x＝－2．
如圖3，當x＝－2時，四邊形ODPB是平行四邊形．
所以，當點D的坐標為(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形．
圖3 圖4 圖5
（3）設△PMN與△POB的高分別為PH、PG．
在Rt△PMH中，，．所以．
在Rt△PNH中，，．所以．
① 如圖4，當0＜t≤2時，重疊部分的面積等于△PMN的面積．此時．
②如圖5，當2＜t＜4時，重疊部分是梯形，面積等于△PMN的面積減去△P′DC的面積．由于，所以．
此時．
考點伸展
第（2）題最好的解題策略就是拿起尺、規畫圖：
方法一，按照對角線相等畫圓．以P為圓心，OB長為半徑畫圓，與直線y＝2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點．
方法二，按照對邊相等畫圓．以B為圓心，OP長為半徑畫圓，與直線y＝2x有兩個交點，一個是等腰梯形的頂點，一個是平行四邊形的頂點．
例3 2010年杭州市中考第24題
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的解析式是y ＝，點C的坐標為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q(x，y)在拋物線上，點P(t，0)在x軸上．
(1) 寫出點M的坐標；
(2) 當四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時．
① 求t關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
② 當梯形CMQP的兩底的長度之比為1∶2時，求t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10杭州24”，拖動點Q在拋物線上運動，從t隨x變化的圖像可以看到，t是x的二次函數，拋物線的開口向下．還可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一種情況，此時Q在y軸上；CM∶PQ＝1∶2有兩種情況．
思路點撥
1．第（1）題求點M的坐標以后，Rt△OCM的兩條直角邊的比為1∶2，這是本題的基本背景圖．
2．第（2）題中，不變的關系是由平行得到的等角的正切值相等，根據數形結合，列關于t與x的比例式，從而得到t關于x的函數關系．
3．探求自變量x的取值范圍，要考慮梯形不存在的情況，排除平行四邊形的情況．
4．梯形的兩底的長度之比為1∶2，要分兩種情況討論．把兩底的長度比轉化為QH與MO的長度比．
滿分解答
(1)因為AB＝OC＝ 4，A、B關于y軸對稱，所以點A的橫坐標為2．將x＝2代入y＝，得y＝2．所以點M的坐標為（0，2）．
(2) ① 如圖2，過點Q作QH x軸，設垂足為H，則HQ＝y，HP＝x– t ．
因為CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．
如圖3，當P與C重合時，，解方程，得．
如圖4，當Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x＝ 2．
因此自變量x的取值范圍是，且x 2的所有實數．
圖2 圖3 圖4
②因為sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．
當時，．解方程，得（如圖5）．此時．
當時，．解方程，得．
如圖6，當時，；如圖6，當時，．
圖5 圖6 圖7
考點伸展
本題情境下，以Q為圓心、QM為半徑的動圓與x軸有怎樣的位置關系呢？
設點Q的坐標為，那么．
而點Q到x軸的距離為．
因此圓Q的半徑QM等于圓心Q到x軸的距離，圓Q與x軸相切．
例 4 2010年上海市奉賢區中考模擬第24題
已知，矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖1所示，點A的坐標為(4,0)，點C的坐標為，直線與邊BC相交于點D．
(1)求點D的坐標；
(2)拋物線經過點A、D、O，求此拋物線的表達式；
(3)在這個拋物線上是否存在點M，使O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10奉賢24”，分別雙擊按鈕“MO//AD”、“MA//OD”和“MD//OA”，可以體驗到，在“MO//AD”和“MA//OD”兩種情況下，根據兩直線平行，內錯角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD//OA”情況下，根據對稱性可以直接得到點M的坐標．
思路點撥
1．用待定系數法求拋物線的解析式，設交點式比較簡便．
2．過△AOD的三個頂點分別畫對邊的平行線與拋物線相交，可以確定存在三個梯形．
3．用拋物線的解析式可以表示點M的坐標．
滿分解答
(1)因為BC//x軸，點D在BC上，C(0,－2)，所以點D的縱坐標為－2．把y＝－2代入，求得x＝3．所以點D的坐標為(3,－2)．
(2)由于拋物線與x軸交于點O、A(4,0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入D (3,－2)，得．所求的二次函數解析式為．
(3) 設點M的坐標為．
①如圖2，當OM//DA時，作MN⊥x軸，DQ⊥x軸，垂足分別為N、Q．由tan∠MON＝tan∠DAQ，得．
因為x＝0時點M與O重合，因此，解得x＝7．此時點M的坐標為（7，14）．
②如圖3，當AM//OD時，由tan∠MAN＝tan∠DOQ，得．
因為x＝4時點M與A重合，因此，解得x＝－1．此時點M的坐標為．
③如圖4，當DM//OA時，點M與點D關于拋物線的對稱軸對稱，此時點M的坐標為（1，－2）．
圖2 圖3 圖4
考點伸展
第（3）題的①、②用幾何法進行計算，依據是兩直線平行，內錯角的正切相等．
如果用代數法進行，計算過程比較麻煩．以①為例，先求出直線AD的解析式，再求出直線OM的解析式，最后解由直線OM和拋物線的解析式組成的二元二次方程組．
例5 2009年廣州市中考第25題
如圖1，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，－1），△ABC的面積為．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數的圖象上是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09廣州25”，可以看到，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，拖動點M在y軸上運動，可以體驗到，過M的直線與圓相切或者相交時有公共點．
在拋物線上有兩個符合條件的點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形．
思路點撥
1．根據△ABC的面積和AB邊上的高確定AB的長，這樣就可以把兩個點的坐標用一個字母表示．
2．數形結合，根據點A、B、C的坐標確定OA、OB、OC間的數量關系，得到△AOC∽△COB，從而得到△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，再根據對稱性寫出m的取值范圍．
3．根據直角梯形的定義，很容易確定符合條件的點D有兩個，但是求點D的坐標比較麻煩，根據等角的正切相等列方程相對簡單一些．
滿分解答
（1）因為OC＝1，△ABC的面積為，所以AB＝．
設點A的坐標為（a，0），那么點B的坐標為（a＋，0）．
設拋物線的解析式為，代入點C（0，－1），得．解得或．
因為二次函數的解析式中，，所以拋物線的對稱軸在y軸右側．因此點A、B的坐標分別為，．
所以拋物線的解析式為．
（2）如圖2，因為，，所以．因此△AOC∽△COB．所以△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，外接圓的直徑為AB．
因此m的取值范圍是≤m≤．
圖2 圖3 圖4
（3）設點D的坐標為．
①如圖3，過點A作BC的平行線交拋物線于D，過點D作DE⊥x軸于E．
因為，所以．因此．解得．此時點D的坐標為．
過點B作AC的平行線交拋物線于D，過點D作DF⊥x軸于F．因為，所以．因此．解得．此時點D的坐標為．
綜上所述，當D的坐標為或時，以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形．
考點伸展
第（3）題可以用代數的方法這樣解：例如圖3，先求得直線BC為，再根據AD//BC求得直線AD為，由直線AD和拋物線的解析式組成的方程組，得到點D的坐標．
例6 2009年河北省中考第26題
如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．點P從點C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設P、Q運動的時間是t秒（t>0）．
（1）當t＝2時，AP＝_____，點Q到AC的距離是________；
（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數關系式（不必寫出t的取值范圍）；
（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由；
（4）當DE經過點C時，請直接寫出t的值．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09河北26”，拖動點Q由A向C運動，可以體驗到：
在點P從C向A運動的過程中，S關于t的函數圖象是開口向下的拋物線的一部分；
四邊形QBED可以兩次成為直角梯形，雙擊按鈕“直角梯形1”和“直角梯形1”可以準確顯示；
DE兩次經過點C，雙擊按鈕“P向A時，DE過C”和“P向C時，DE過C”可以準確顯示．
思路點撥
1．第（1）題求點Q到AC的距離，暗示了第（2）題求△APQ的高的方法．
2．分類討論直角梯形QBED的存在性，按照DE與AB、AC平行的可能性分兩種情況，列方程的依據是Rt△AQP的三邊比為3∶4∶5．
3．分類討論DE經過點C，按照P運動的方向分兩種情況，列方程的依據是PC＝QC．
滿分解答
（1）1；．
（2）如圖2，作QF⊥AC于F．
在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，所以BC＝4，．
在Rt△AQF中，AQ＝t，，所以．
因此．
（3）①如圖3，當DE//QB時，∠AQP＝90°．在Rt△AQP中，AP＝，AQ＝t，，所以．解得．
②如圖4，當DE//BC時，∠APQ＝90°．在Rt△AQP中，AP＝，AQ＝t，，所以．解得．
圖2 圖3 圖4
（4）或．
考點伸展
第（4）題可以這樣解：過點Q作QG⊥BC于G，那么
．
①如圖5，點P由C向A運動，DE經過點C，此時PC＝t．由，得．解得．
②如圖6，點P由A向C運動，DE經過點C，此時PC＝6－t．由，得．解得．
情形①還可以用幾何說理解答：由于CQ＝CP＝AQ，所以∠QAC＝∠QCA．
根據等角的余角相等，因此∠B＝∠BCQ．所以CQ＝BQ．于是得到Q是AB的中點，．
圖5 圖6
第一部分 函數圖象中點的存在性問題
1.6 因動點產生的面積問題
例 1 2011年南通市中考第28題
如圖1，直線l經過點A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點B(2，1)．過點(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11南通28”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，當直線MN經過（0，2）點時，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，MN＝4MP存在兩種情況．
思路點撥
1．第（2）題準確畫圖，點的位置關系盡在圖形中．
2．第（3）題把S△AMN＝4S△AMP轉化為MN＝4MP，按照點M與線段NP的位置關系分兩種情況討論．
滿分解答
（1）因為點B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設直線l的解析式為，代入點A(1，0)和點B(2，1)，得 解得 所以直線l的解析式為．
（2）由點(p＞1)的坐標可知，點P在直線上x軸的上方．如圖2，當y＝2時，點P的坐標為(3，2)．此時點M的坐標為(1，2)，點N的坐標為(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點的位置關系，可知△PMB為等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點的位置關系，可知△PNA為等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．
圖2 圖3 圖4
（3）△AMN和△AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．
當S△AMN＝4S△AMP時，MN＝4MP．
①如圖3，當M在NP上時，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此時點P在x軸下方，舍去）．此時．
②如圖4，當M在NP的延長線上時，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此時點P在x軸下方，舍去）．此時．
考點伸展
在本題情景下，△AMN能否成為直角三角形？
情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時點M的坐標為（1，2），點P的坐標為（3，2）．
情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．
不存在∠ANM＝90°的情況．
圖5 圖6
例2 2011年上海市松江區中考模擬第24題
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直角梯形OABC的頂點O為坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，點D在邊OC上，CD＝3，過點D作DB的垂線DE，交x軸于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）二次函數y＝－x2＋bx＋c的圖像經過點B和點E．
①求二次函數的解析式和它的對稱軸；
②如果點M在它的對稱軸上且位于x軸上方，滿足S△CEM＝2S△ABM，求點M的坐標．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“11松江24”，拖動點M在拋物線的對稱軸上運動，觀察面積比的度量值，可以體驗到，有兩個時刻，面積的比值等于2．
思路點撥
1．這三道題目步步為贏，錯一道題目，就要影響下一道的計算．
2．點M在拋物線的對稱軸上且位于x軸上方，要分兩種情況討論，分別為點M在線段FB和FB的延長線上．因為用點M的縱坐標表示△ABM的底邊長，因點M的位置不同而不同．
滿分解答
（1）因為BC∥OA，所以BC⊥CD．因為CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因為BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以點E的坐標是（1，0）．
（2）①因為拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點B（3，4）和點E（1，0），所以 解得所以二次函數的解析式為y＝－x2＋6x－5，拋物線的對稱軸為直線x＝3．
②如圖2，如圖3，設拋物線的對稱軸與x軸交于點F，點M的坐標為（3，t）．
．
（ⅰ）如圖2，當點M位于線段BF上時，．解方程，得．此時點M的坐標為（3，）．
（ⅱ）如圖3，當點M位于線段FB延長線上時，．解方程，得．此時點M的坐標為（3，8）．
圖2 圖3
考點伸展
對于圖2，還有幾個典型結論：
此時，C、M、A三點在同一條直線上；△CEM的周長最小．
可以求得直線AC的解析式為，當x＝3時，．
因此點M（3，）在直線AC上．
因為點A、E關于拋物線的對稱軸對稱，所以ME＋MC＝MA＋MC．
當A、M、C三點共線時，ME＋MC最小，△CEM的周長最小．
例3 2010年廣州市中考第25題
如圖1，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(3,0)，(0,1)．點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式；
（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由．
圖1
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10廣州25”，拖動點D由C向B運動，觀察S隨b變化的函數圖像，可以體驗到，E在OA上時，S隨b的增大而增大；E在AB上時，S隨b的增大而減小．雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點D由C向B運動，可以觀察到，E在OA上時，重疊部分的形狀是菱形，面積不變．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換．
思路點撥
1．數形結合，用b表示線段OE、CD、AE、BE的長．
2．求△ODE的面積，要分兩種情況．當E在OA上時，OE邊對應的高等于OC；當E在AB邊上時，要利用割補法求△ODE的面積．
3．第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形．
4．圖形翻著、旋轉等運動中，計算菱形的邊長一般用勾股定理．
滿分解答
(1)①如圖2，當E在OA上時，由可知，點E的坐標為(2b,0)，OE＝2b．此時S＝S△ODE＝．
②如圖3，當E在AB上時，把y＝1代入可知，點D的坐標為(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，點E的坐標為，AE＝，BE＝．此時
S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD
＝
．
(2)如圖4，因為四邊形O1A1B1C1與矩形OABC關于直線DE對稱，因此DM＝DN，那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形．
作DH⊥OA，垂足為H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．
設菱形DMEN的邊長為m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重疊部分菱形DMEN的面積為．
圖2 圖3 圖4
考點伸展
把本題中的矩形OABC繞著它的對稱中心旋轉，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖5），那么這個菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為，如圖7所示．
圖5 圖6 圖7
例 4 2010年揚州市中考第28題
如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE＝x，△AEF的面積為y．
（1）求線段AD的長；
（2）若EF⊥AB，當點E在斜邊AB上移動時，
①求y與x的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）；
②當x取何值時，y有最大值？并求出最大值．
（3）若點F在直角邊AC上（點F與A、C不重合），點E在斜邊AB上移動，試問，是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．
圖1 備用圖
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10揚州28”，拖動點E在AB上運動，從y隨x變化的圖像可以體驗到，當F在AC上時，y隨x的增大而增大；當F在BC上時，y隨x變化的圖像是開口向下的拋物線的一部分，y的最大值對應拋物線的頂點．雙擊按鈕“第（3）題”，我們已經設定好了EF平分△ABC的周長，拖動點E，觀察圖像，可以體驗到，“面積AEF”的值可以等于3，也就是說，存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換。
思路點撥
1．第（1）題求得的AD的長，就是第（2）題分類討論x的臨界點．
2．第（2）題要按照點F的位置分兩種情況討論．
3．第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關于面積的方程，根據方程的解的情況作出判斷．
滿分解答
(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．
(2) ①如圖2，當F在AC上時，．在Rt△AEF中，．所以．
如圖3，當F在BC上時，．在Rt△BEF中，．所以．
②當時，的最大值為；
當時，的最大值為．
因此，當時，y的最大值為．
圖2 圖3 圖4
(3)△ABC的周長等于12，面積等于6．
先假設EF平分△ABC的周長，那么AE＝x，AF＝6－x，x的變化范圍為3＜x≤5．因此．解方程，得．
因為在3≤x≤5范圍內（如圖4），因此存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．
考點伸展
如果把第（3）題的條件“點F在直角邊AC上”改為“點F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分．
先假設EF平分△ABC的周長，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程無實數根．
例5 2009年蘭州市中考第29題
如圖1，正方形 ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸上運動，當P點到D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖2所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；
（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；
（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標．
（4）如果點P、Q保持原速度速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．
圖1 圖2
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“09蘭州29”，拖動點Q在x軸上運動，可以體驗到，點Q運動的起點為（1，0）；當P在AB上時，△OPQ的面積隨x變化的圖象是開口向下的拋物線的一部分；觀察點P與OQ的垂直平分線的位置關系，可以體驗到，有兩個時刻，PO=PQ．雙擊按鈕“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以準確顯示PO＝PQ．
思路點撥
1．過點B、C、P向x軸、y軸作垂線段，就會構造出全等的、相似的直角三角形，出現相等、成比例的線段，用含有t的式子表示這些線段是解題的基礎．
2．求點C的坐標，為求直線BC、CD的解析式作鋪墊，進而為附加題用兩點間的距離公式作準備．
3．不論點P在AB、BC還是CD上，點P所在的直角三角形的三邊比總是3∶4∶5，靈活運用方便解題．
4．根據二次函數的解析式求函數的最值時，要注意定義域與對稱軸的位置關系．
滿分解答
（1）(1,0)，點P每秒鐘運動1個單位長度．
（2）過點B作BE⊥y軸于點E，過點C作x軸的垂線交直線BE于F，交x軸于H．
在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此點C的坐標為（14，12）．
（3）過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥軸于N．因為PM//BE，所以，即．因此．于是．
設△OPQ的面積為(平方單位)，那么，定義域為0≤≤10．
因為拋物線開口向下，對稱軸為直線，所以當時，△OPQ的面積最大．此時P的坐標為(，)．
（4）當或時, OP與PQ相等．
圖3 圖4
考點伸展
附加題的一般思路是：點Q的橫坐標是點P的橫坐標的2倍．先求直線AB、BC、CD的解析式，根據直線的解析式設點P的坐標，再根據兩點間的距離公式列方程PO＝PQ．
附加題也可以這樣解：
①如圖4，在Rt△AMP中，設AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根據AP、OQ的長列方程組解得．
②如圖5，在Rt△GMP中，設GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根據GP、OQ的長列方程組解得．
③如圖6，設MP＝4m，那么OQ＝8m．根據BP、OQ的長列方程組解得，但這時點P不在BC上．
圖5 圖6
例6 2008年長春市中考第25題
在直角坐標系中，拋物線經過點（0，10）和點（4，2）．
（1）求這條拋物線的解析式.
（2）如圖1，在邊

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