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南京市秦淮中學一輪復習專題-----三角中結構不良題型解題策略探究
編者的話：（1）三角中解題總體抓住“角，名，形，冪”四個字的和諧與統一。角能不能統一，不能統一，能不能利用角的關系轉化或者減少角的個數，函數名能不能統一？充分利用誘導公式以及輔助角公式，統一函數名，以達到簡化式子的目的。式子的形狀接近正弦定理，還是余弦定理，是兩角和差（闊闊撒撒，還是撒闊闊撒）這一款，還是和差乘積平方切換這一款，等等，抓住式子的形狀轉化化歸，以達到簡化條件之目的。至于冪，往往升冪半角，降冪倍角以達到角的統一，以及涉及常數1的代換問題。
（2）一般涉及解三角形問題，我們一定得回歸到三角形中。有什么，要什么，作出方案的選擇，加以優化，從而達到提高解題速度之目的。
引例：
1.【2020年高考北京】在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面積．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
【解析】選擇條件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
選擇條件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
例題講解：
例1：在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求這個三角形的面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．
問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且
【解析】給定條件復雜，選項簡單，需要對給定條件進行分析，再做出初步判斷
由且正弦定理得
在中,
且
方案一：選條件①．得由正弦定理得由
因此不存在這樣的三角形
方案二：選條件②，由正弦定理
這個與
符合，因此不存在這樣的三角形。此時
方案三：選條件③．，，由正弦定理
這個與符合
由余弦定理得代入解之得或者
當時，當時
因此存在這樣的三角形。
例2【2020年新高考全國Ⅰ卷】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．
問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】方案一：選條件①．由和余弦定理得．
由及正弦定理得．于是，由此可得．
由①，解得．
因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時．
方案二：選條件②．由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時．
方案三：選條件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．于是，由此可得．
由③，與矛盾．
因此，選條件③時問題中的三角形不存在．
課堂練習：
1.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求這個三角形的周長；若問題中的三角形不存在，說明理由．
問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且面積為，且，______?
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】
在中,
方案一：選條件①．得（三角及其一邊對角）
由正弦定理得，此時周長為
方案二：選條件②綜合題意：解答出，結合得。即顯然不存在這樣的三角形。
方案三：選條件③，又又根據余弦定理
，此時周長為
2.在①②
③這三個條件中任選一個,補充在面問題中,然后補充在下面的問題中，并加以解答
在中，內角所對的邊分別為a,b,c.且滿足______________
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
(1)求(2)已知,的外接圓半徑為，求在的邊AB上的高h
【解析】(1)方案一：選條件①．
且正弦定理
即
在中,
在中,
在中,
方案二：選條件②．由降冪得
解得或在中,
方案三：選條件③．
且正弦定理
在中,
在中,
(2)
由于（1）中三個選項所得答案由正弦定理得
由余弦定理得代入
得于是的面積
課后練習
3.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．
已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
，A＝，b＝，求△ABC的面積．
【解析】方案一：選條件①．由
則根據余弦定理得
方案二：選條件②．由且正弦定理得
方案三：選條件③．由得
在選擇條件①②③都解得的前提下
由正弦定理得，又
的面積
4．在①，②，③三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．
已知的內角，，所對的邊分別是，，，若______，且，，成等差數列，則是否為等邊三角形?若是，寫出證明；若不是，說明理由，
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】方案一：選條件①．∵，∴，
即，解得（舍去）或．
∵∴或，又∵，，成等差數列，∴，∴不是三角形中最大的邊，即，由，得，即，
故是等邊三角形．
方案二：選條件②．由正弦定理可得，
故．整理得．
∵，∴．即．∵．∴．
又∵，，成等差數列．∴．由余弦定理．可得，即．故是等邊三角形．
方案三：選條件③．由正弦定理得，∵，∴．
即，∵，∴，即，可得．
由余弦定理．可得，即．故是等邊三角形．
5．在①，，且，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并給出解答．
在中，角，，的對邊分別為，，，且______．
（1）求角；
（2）若，求周長的最大值．
【分析】
（1）若選①，根據向量數量積的坐標表示，以及余弦定理，即可求出角；若選②，根據正弦定理，化簡整理，即可求出角；若選③，先將條件化簡，得到，即可求出角；
（2）先由余弦定理，根據（1）的結果，得到，再由基本不等式，求出，即可得出周長的最值.
【詳解】
（1）方案一：選條件①．由，得，
即，所以，
……………………
3分
又因為，所以，因此．
……………………
5分
方案二：選條件②根據正弦定理，由得，
又因為，
所以，又因為，
所以，又因為，所以．
……………………
5分
方案三：選條件③∵，，且，
∴．
……………………
2分
化簡得，，由余弦定理得，
又因為，∴．
……………………
5分
（2）由余弦定理，得．
又∵，∴，當且僅當時等號成立.………………
7分
∴，解得，，
當且僅當時，等號成立．
∴．
∴的周長的最大值為12．
……………………
10分
6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c＝2．有以下3個條件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．
請在以上3個條件中選擇一個，求△ABC面積的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
解：方案一：選條件①．
由正弦定理可將化為：
又，所以
所以即，
，
所以（當時取到等號）
所以面積的最大值為2.
方案二：選條件②由正弦定理可將化為：
又，所以
所以
即，又，
又由余弦定理可得：
（當且僅當時取等號）
所以面積的最大值為.
方案三：選條件③因為，所以（當且僅當時取等號）又由余弦定理得：
（當且僅當時取等號）
（當且僅當時取等號）
所以面積的最大值為.
7.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S．現在以下三個條件：①(2c＋b)cosA＋acosB＝0；②sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0；③a2﹣b2﹣c2＝S．請從以上三個條件中選擇一個填到下面問題中的橫線上，并求解．
已知向量＝(4sinx，)，＝(cosx，sin2x)，函數，在△ABC中，a＝，且
，求2b＋c的取值范圍．
【解析】由題意得
【解析】方案一：選條件①．．(2c＋b)cosA＋acosB＝0；且正弦定理
即
因為C為三角形內角，sinC＞0，可得，因為，可得．
方案二：選條件②．
若sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，因為，可得．
方案三：選條件③．
③若a2﹣b2﹣c2＝S，則，
所以，可得，因為，可得．
由正弦定理
，，，即2b＋c的取值范圍為．

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