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2021上海高考數學考點筆記大全
1．上海高考數學重難點：
重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何。
難點：函數、數列、圓錐曲線。
2．上海高考數學考點：
（1）集合與命題：集合的概念與運算、命題、充要條件。
（2）不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用。
（3）函數：函數的定義、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數的零點、函數圖象、指數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用。
（4）三角比與三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、萬能公式、輔助角公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用、反三角函數、最簡三角方程。
（5）平面向量：有關概念與初等運算、線性運算、三點共線、坐標運算、數量積、三角形“四心”及其應用。
（6）數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、通項公式求法、數列求和、數列的應用、數學歸納法、數列的極限與運算、無窮等比數列。
⑺直線和圓的方程：方向向量、法向量、直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓的方程、直線與圓的位置關系。
（8）圓錐曲線方程：橢圓的方程、雙曲線的方程、拋物線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、中點弦問題、圓錐曲線的應用、參數方程。
（9）立體幾何與空間向量：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球與球面距離、幾何體的三視圖與直觀圖、幾何體的表面積與體積、空間向量。
（10）排列、組合：排列、組合應用題、二項式定理及其應用。
（11）概率與統計：古典概型、系統抽樣、分層抽樣、互斥事件、對立事件、獨立事件、平均數、中位數、眾數、頻率分布直方圖。
（12）復數：復數的概念與運算、復數的平方根與立方根計算、實系數一元二次方程。
（13）矩陣與行列式初步：二元線性方程組、矩陣的基本運算、二階行列式、三階行列式、對角線法則、余子式與代數余子式。
（14）算法初步：流程圖、算法語句、條件語句、循環語句。
第一章
集合和命題
1.
集合及其表示法
能夠確切指定的一些對象組成的整體叫做集合，簡稱集；
集合中的各個對象叫做這個集合的元素；集合的元素具有確定性、互異性和無序性；
集合常用大寫字母表示，集合中的元素用小寫字母表示；如果是集合的元素，就
記作，讀作“屬于”；如果不是集合的元素，就記作，讀作“不屬于”；
數的集合簡稱數集；全體自然數組成的集合，即自然數集，記作，不包括零的自然數組成的集合，記作；全體整數組成的集合即整數集，記作；全體有理數組成的集合即有理數集，記作；全體實數組成的集合即實數集，記作；另外正整數集、負整數集、正有理數集、負有理數集、正實數集、負實數集分別表示
為；點的集合簡稱點集，即以直角坐標平面內的點作為元素構成的集合；
含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集；規定空集不含元素，記作.
集合的表示方法常用列舉法和描述法；將集合中的元素一一列出來，并且寫在大括號內，這種表示集合的方法
叫做列舉法；在大括號內先寫出這個集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，即滿足性質，這種表示集合的方法叫做描述法.
2.
集合之間的關系
對于兩個集合和，如果集合中任何一個元素都屬于集合，那么集合叫做集合的子集，記作或，讀作“包含于”或“包含”；空集包含于任何一個集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若，不要遺漏的情況；
對于一個含有個元素的集合，它的子集個數為，真子集個數為，非空子集個數為，非空真子集的個數為；
用平面區域來表示集合之間關系的方法叫做集合的圖示法，所用圖叫做文氏圖；
對于兩個集合和，如果且，那么叫做集合與集合相等，記作，讀作“集合等于
集合”，因此，如果兩個集合所含的元素完全相等，那么這兩個集合相等；
對于兩個集合和，如果，并且中至少有一個元素不屬于，那么集合叫做集合的真子集，記作或，讀作“真包含于”或“真包含”；
對于數集來說，有；
3.
集合的運算
一般地，由集合和集合的所有公共元素組成的集合叫做與的交集，記作，讀作“交”，即且；
由所有屬于集合或者屬于集合的元素組成的集合叫做集合、的并集，記作，讀作“并”，即或；
在研究集合與集合之間的關系時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個確定的集合叫做全集，常用符合表示；即全集含有我們所要研究的各個集合的全部元素；
設為全集，是的子集，則由中所有不屬于的元素組成的集合叫做集合在全集中的補集，記作，讀作“補”，即；
德摩根定律：；；
容斥原理：用表示集合的元素個數，則；
；
4.
命題
可以判斷真假的語句叫做命題，命題通常用陳述句表述，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題；如果命題成立可以推出命題也成立，那么就說由可以推出，記作，讀作“推出”，換言之，表示以為條件、為結論的命題是真命題；
如果，并且，那么記作，叫做與等價；推出關系滿足傳遞性：，，那么；一個數學命題用條件，結論表示就是“如果，那么”，如果把結論和條件互相交換，就得到一個新命題“如果，那么”，這個命題叫做原命題的逆命題；
一個命題的條件與結論分別是另一個命題的條件的否定與結論的否定，我們把這樣兩個命題叫做互否命題，如果其中一個叫原命題，那么另一個命題就叫做原命題的否命題；如果把、的否定分別記作、，那么命題
“如果，那么”的否命題就是“如果，那么”；
如果把原命題“如果，那么”結論的否定作條件，把條件的否定作結論，那么就可得到一個新命題，
我們把它叫做原命題的逆否命題，即“如果，那么”；
如果、是兩個命題，，，
那么、叫做等價命題；
原命題與逆否命題是等價命題；
不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題，由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題叫做復合命題；復合命題有三類：或，且，非；
非
或
且
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
一些常用結論的否定形式：
原結論
反設詞
原結論
反設詞
是
不是
至少有一個
一個也沒有
都是
不都是
至多有一個
至少有兩個
大于
不大于
至少有個
至多有個
小于
不小于
至多有個
至少有個
或
非且非
對所有成立
存在某個不成立
且
非或非
對任何不成立
存在某個成立
5.
充要條件
一般地，用、分別表示兩個命題，如果命題成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分條件，叫做的必要條件；
一般地，用、分別表示兩個命題，如果既有，又有，即，那么既是的充分條件，又是的必要條件，這時我們就說，是的充分必要條件，簡稱充要條件；
設具有性質的對象組成集合，具有性質的對象組成集合，則
①
若，則是的充分條件；
②
若，則是的充分非必要條件；
③
若，則是的必要條件；
④
若，則是的必要非充分條件；
⑤
若，則互為充要條件；
等價關系：“”“”“”“”
“”“”“”（注意考慮的情況）；
第二章
不等式
1.
不等式的基本性質
性質1
如果，那么；
性質2
如果，那么；
性質3
如果，，那么；如果，，那么；
性質4
如果，那么；
性質5
如果，那么；
性質6
如果，那么；
性質7
如果，那么；
性質8
如果，那么；
2.
不等式的解法
（1）一元二次不等式
對于一個整式不等式，它只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是或（）；一般地，設一元二次不等式為或（），當對應的一元二次方程的根的判別式時，先求出方程的兩個實數根（不妨設），于是不等式的解集為或，不等式的解集為；
不等式的解集經常用區間來表示，設都為實數，并且，我們規定：
①
集合叫做閉區間，表示為；
②
集合叫做開區間，表示為；
③
集合或叫做半開半閉區間，分別表示為或；
④
實數集表示為，集合、、和分別用區間、、和表示；與也叫做區間的端點，“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”；
前面討論的是判別式的情形，當時，拋物線與軸沒有交點，整個圖像都在軸的上方，于是不等式的解集為實數集，不等式的解集為空集；
當時，拋物線與軸兩個交點重合，即，
除了這一個點外，拋物線的其余部分都在軸的上方，于是不等式的解集為，不等式的解集為空集；
（2）高次不等式
高次不等式常用“數軸標根法”來解，其步驟是：
①
等價變形后的不等式一邊是零，一邊是各因式的積（未知數系數一定是正數）；
②
把各因式的根標在數軸上；
③
從右上角起，用曲線穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看圖像寫出解集；
如圖：（假設）的解為；
（3）分式不等式
型如（或）或（或）（其中、為整式且）
的不等式稱為分式不等式；解分式不等式的關鍵是轉化為整式不等式；
，；
（或）（或）且；
（4）含絕對值不等式
表示實數在數軸上所對應的點到原點的距離；所以，不等式的解集為，類似地，不等式的解集為；解絕對值不等式的關鍵在于去掉絕對值，一般有如下方法：①
定義法；②
零點分段法；③
平方法；④
數形結合法；
絕對值不等式的性質：
（5）無理不等式
只含有一個未知數，并且未知數在根號中的不等式叫做無理不等式；解無理不等式，關鍵是轉化為有理不等式；；
或；
（6）指數對數不等式
解指數對數不等式的關鍵是化成相同的底數，然后同時去掉底數；
①
當時，，
；
②
當時，，
3.
基本不等式
基本不等式1
對任意實數和，有，當且僅當時等號成立；
基本不等式2
對任意正數和，有，當且僅當時等號成立；
推論1
若，則，當且僅當時等號成立；
推論2
若，則，當且僅當時等號成立；
推論3
，；
均值不等式
，；
柯西不等式
；
注意：一正二定三相等；和定積最大，積定和最小；
4.
不等式的證明
（1）比較法
要證明，只要證明，同樣，要證明，只要證明，這種證明不等式的方法叫做比較法；
用比較法證明不等式的一般步驟是：先作出要求證的不等式兩邊的差，通過對這個差的變形，確定其值是正的還是負的，從而證明不等式成立；
（2）分析法
從要求證的結論出發，經過適當的變形，分析出使這個結論成立的條件，把證明結論轉化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結論成立，這種證明方法叫做分析法；
（3）綜合法
從已知條件出發，利用各種已知的命題和運算性質作為依據，推導出要求證的結論，這種方法叫做綜合法；
（4）放縮法
在證明過程中，根據不等式傳遞性，常采用舍去（或添加）一些項而使不等式的各項之和變小（或變大），或
把某些項換成較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式的分子（或分母），從而達到證明的目的，這種證明不等式的方法叫做放縮法；
（5）換元法
根據證明需要進行一些等量代換，選擇適當的輔助參數簡化問題的一種方法；
（6）判別式法
根據證明需要，通過構造一元二次方程，利用關于某一變量的二次三項式有實根時的判別式的取值范圍來證明不等式；
（7）分解法
按照一定的法則，把一個數（或式）分解為幾個數（或式），使復雜的問題轉化為簡單易解的基本問題，然后各個擊破，從而證明不等式的一種方法；
（8）反證法
（9）數學歸納法
5.
線性規劃
在線性規劃問題中，所應滿足的條件叫做線性約束條件，要求最值的函數叫做線性目標函數，把在線性約束條件下尋求線性目標函數的最大（小）值的問題叫做線性規劃問題；建立線性規劃模型的一般步驟如下：①
根據題意設未知量等；②
建立線性目標函數；③
找出未知量滿足的不等式，得未知量的線性約束條件；
在線性規劃問題中，滿足線性約束條件的解叫做可行解，所有可行解構成的區域叫做可行域；它是二元一次不等式組的解集所表示的一個平面區域；
在線性規劃問題中，使目標函數達到最大（小）值的可行解叫做最優解；
例
求滿足下列約束條件的目標函數的最小值：
⑴二元一次不等式所表示的平面區域的判斷：
法一：取點定域法：
由于直線的同一側的所有點的坐標代入后所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區域.
即：直線定邊界，分清虛實；選點定區域，常選原點.
法二：根據或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區域；若異號，則表示直線上方的區域.即：同號上方，異號下方.
⑵二元一次不等式組所表示的平面區域：
不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部分.
⑶利用線性規劃求目標函數為常數）的最值：
法一：角點法：
如果目標函數
（即為公共區域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數，得到一組對應值，最大的那個數為目標函數的最大值，最小的那個數為目標函數的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線
，平移直線（據可行域，將直線平行移動）確定最優解；第三步，求出最優解；第四步，將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值
.
第二步中最優解的確定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；
②若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.
⑷常見的目標函數的類型：①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距離”型：或或
在求該“三型”的目標函數的最值時，可結合線性規劃與代數式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.
第三章
函數的基本性質
1.
函數概念與運算
（1）函數概念
在某個變化過程中有兩個變量，如果對于在某個實數集合內的每一個確定的值，按照某個對應法則，都有唯一確定的實數值與它對應，那么就是的函數，記作，，叫做自變量，叫做因變量，的取值范圍叫做函數的定義域，和的值相對應的的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域；
求函數定義域時，主要考慮以下因素：
分母不為零；②
偶次方根號內大于等于零；③
真數大于零；④
實際意義；
求定義域時，遵循“括號內范圍一致”原則；當我們要用數學方法解決實際問題時，首先要把問題中的有關變量及其關系用數學的形式表示出來，通常這個過程叫做建模；
（2）函數的和與積
一般地，已知兩個函數，，設，并且，那么當時，與都有意義，于是把函數叫做函數與的和；類似于求兩個函數的和，我們也可以求兩個函數的積，同樣考慮兩函數的公共定義域后，可以定義兩個函數的積；
2.
函數的基本性質
（1）奇偶性
一般地，如果對于函數的定義域內的任意實數，都有，那么就把函數
叫做偶函數；如果函數是偶函數，那么的圖像關于軸成軸對稱圖形，反過來，如果
一個函數的圖像關于軸成軸對稱圖形，那么這個函數必是偶函數；
如果對于函數的定義域內的任意實數，都有，那么就把函數叫做
奇函數；如果函數是奇函數，那么的圖像關于原點成中心對稱圖形，反過來，
如果一個函數的圖像關于原點成中心對稱圖形，那么這個函數必是奇函數；
由上可知，函數定義域關于原點對稱是這個函數有奇偶性的必要非充分條件；
奇偶性分類：①
奇函數；②
偶函數；③
既是奇函數又是偶函數；④
非奇非偶函數；
奇偶性常用性質結論：
①
奇函數在處有意義；②
奇函數關于原點對稱；偶函數關于軸對稱；
③
對于多項式函數；
若是奇函數偶次項的系數全為零；
若是偶函數奇次項的系數全為零；
④
為奇函數；
為偶函數；
⑤
為奇函數；
為偶函數；
⑥
任意一個定義域關于原點對稱的函數都可以表示成一個奇函數和一個偶函數的和；
即：；
復合函數奇偶性：
①
對于，同奇則奇，有偶則偶；
②
奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇；
（2）單調性
一般地，對于給定區間上的函數：如果對于屬于這個區間的自變量的任意兩個值，當時，都有，那么就說函數在這個區間上是單調增函數，簡稱增函數；如果對于屬于這個區間的自變量的任意兩個值，當時，都有，那么就說函數在這個區間上是單調
減函數，簡稱減函數；
如果函數在某個區間上是增（減）函數，那么說函數在區間上是單調函數，區間叫做函數的單調區間；
證明單調性步驟：①
在定義域上任取；②
作差；③
變形判斷；
單調性常用性質結論：
①
在對稱的兩個區間上，奇函數單調性相同，偶函數單調性相反；②
互為反函數的兩個函數有相同的單調性
復合函數單調性：
①
對于，同增異減；②
增＋增＝增；減＋減＝減；增－減＝增；減－增＝減；
注意：單調性是函數局部的性質，奇偶性是整體的性質；
（3）最值
一般地，設函數在處的函數值是，如果對于定義域內任意，不等式都成立，那么叫做函數的最小值，記作；如果對于定義域內任意，不等式都
成立，那么叫做函數的最大值，記作；
求函數最值的方法：
①
利用基本初等函數的值域：反比例函數、一次函數、二次函數、冪指對函數等；
②
配方法：主要用于二次函數求最值；
③
換元法：無理函數，復合函數等，包括三角換元，注意新變量的取值范圍；
④
數形結合法：利用函數圖像求最值，或根據幾何意義（斜率、距離等）；
⑤
單調性法：結合函數單調性求最值；
⑥
不等式法：利用常見的基本不等式，注意一正二定三相等；
⑦
分離常數法：分式函數；
⑧
判別式法：定義域為，有二次項的分式方程，
⑨
轉化法：利用某些式子的有界性進行轉化求最值；或轉化成求反函數的定義域；
⑩
其他法：包括向量法、構造法、平方法、導數法等；
（4）零點
一般地，對于函數，如果存在實數，當時，，那么就把叫做
函數的零點；實際上，函數的零點就是方程的解，也就是函數的
圖像與軸的交點的橫坐標；通過每次把的零點所在的小區間收縮一半的方法，使區間的兩個端點逐步
逼近函數的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法；
零點定理：若，則方程在區間內至少有一個實根；
（5）周期性
一般地，對于函數，如果存在一個常數，使得當取定義域內的任意值時，都有成立，那么函數叫做周期函數，常數叫做函數的周期，對于一個周期函數來說，如果在所有的周期中存在一個最小正數，那么這個最小正數就叫做函數的最小正周期；
周期性的判斷：
①
，；，；
②
，，，；
③
或，；
④
，，；
⑤
，；
，；
，；
（6）對稱性
①
一個函數的對稱性
對于函數，若或恒成立，則函數對稱軸是；若恒成立，則函數對稱軸是；
若或恒成立，則函數對稱中心是；若，則函數的對稱中心是；
注意：括號內相減得常數，一般有周期性；括號內相加得常數，一般有對稱性；
②
兩個函數的對稱性
函數與函數的圖像關于直線對稱；
函數與函數的圖像關于直線對稱；
函數與函數的圖像關于點對稱；
3.
函數的圖像變換
（1）平移變換
①
左加右減
；；
②
上加下減
；；
（2）伸縮變換
①
；
②
；
（3）翻折變換
①
；函數圖像在軸上方的部分保持不變，將函數圖像在軸下方的部分對稱翻折到軸上方；
②
；保留圖像在軸右邊的部分，并將軸右邊的部分沿軸對稱翻折到軸左邊，替代原有的軸左邊圖像；
（4）對稱變換
函數與函數的圖像關于軸對稱；
函數與函數的圖像關于軸對稱；
函數與函數的圖像關于原點對稱；
函數與函數的圖像關于直線對稱；
函數與函數的圖像關于直線對稱；
函數與函數的圖像關于點對稱；
第四章
冪函數、指數函數和對數函數
1.
冪函數
一般地，函數（為常數，）叫做冪函數；
冪函數（）的性質：
①
冪函數的圖像最多只能同時出現在兩個象限，且不經過第四象限；如果與坐標軸相交，則交點一定是原點；
②
所有冪函數在上都有定義，并且圖像都經過點；
③
若，冪函數圖像都經過點和，在第一象限內遞增；若，冪函數圖像只經過點，在第一象限內遞減；
注意：畫冪函數圖像時，先畫第一象限的部分，再根據奇偶性完成整個圖像；
2.
指數函數
一般地，函數且叫做指數函數，自變量叫做指數，叫做底數，函數的定義域是；
指數運算法則：；
；
；
一般地，指數函數在底數及這兩種情況下的圖像如圖所示：
指數函數有下列性質：
性質1
指數函數的函數值恒大于零，定義域為，值域；
性質2
指數函數的圖像經過點；
性質3
函數在上遞增，函數在上遞減；
3.
對數及其運算
一般地，如果的次冪等于，即，那么叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數；
根據對數定義，可知：①零和負數沒有對數，真數大于零；②1的對數為0，即；③底的對數等于1，即；④對數恒等式：成立；
通常將以10為底的對數叫做常用對數，常用對數簡記作；以無理數為底的對數叫做自然對數，自然對數簡記作；
對數運算性質：如果，那么：
；；；
對數換底公式：（其中）；
常用恒等式：①
；②
；③
；
④
；⑤
；
4.
反函數
一般地，對于函數，設它的定義域為，值域為，如果對中任意一個值，在中總有唯一確定的值與它對應，且滿足，這樣得到的關于的函數叫做的反函數，記作，在習慣上，自變量常用表示，而函數用表示，所以把它改寫為；
反函數的判定：
①
反函數存在的條件是原函數為一一對應函數；定義域上的單調函數必有反函數；
②
周期函數不存在反函數；定義域為非單元素的偶函數不存在反函數；
反函數的性質：
原函數和反函數的圖像關于直線對稱；若點在原
函數上，則點必在其反函數上；
函數與互為反函數；原函數的定義域是它反函數
的值域；原函數的值域是它反函數的定義域；
③
原函數與反函數具有對應相同的單調性；奇函數的反函數也是奇函數；
求反函數步驟：
①
用表示，即求出；②
互換，即寫出；
③
確定反函數定義域；注意事項：若函數存在反函數，則其反函數為，而不是，函數是的反函數；
5.
對數函數
一般地，對數函數且就是指數函數且的反函數；因為的值域是，所以，函數的定義域是；
對數函數且在及兩種情形下的圖像如圖所示：
對數函數且的性質：
性質1
對數函數的圖像都在軸的右方，定義域，值域為；
性質2
對數函數的圖像都經過點；
性質3
對數函數，當時，；當時，；
對數函數
，當時，；當時，；
性質4
對數函數在上是增函數，
在上是減函數；
6.
指數對數方程
我們把指數里含有未知數的方程叫做指數方程；在解指數方程時，常利用指數函數的性質：，其中且，將指數方程化為整式方程求解；
在對數符號后面含有未知數的方程叫做對數方程；解對數方程時，必須對求得的解進行檢驗，因為在利用對數的性質將對數方程變形過程中，如果未知數的允許值范圍擴大，那么可能產生增解；
解指數對數方程的基本思路是通過“化成相同底數”“換元”等方法轉化成整式方程；
7.
抽象函數
抽象函數的解法：
①
賦值法；如賦值、、、等；
②
結構變換法；如、等；
抽象函數特征
可能對應函數
或，
正比例函數
或，
指數函數且
或，
對數函數且
，
冪函數
第五章
三角比
1.
角的概念與度量
一條射線繞端點按逆時針方向旋轉所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時針方向旋轉所形成的角為負角，其度量值是負的；特別地，當一條射線沒有旋轉時，我們也認為形成了一個角，這個角叫做零角；
在平面直角坐標系中，把角的頂點置于坐標原點，角的始邊與軸的正半軸重合，此時角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角，或者說這個角屬于第幾象限；當角的終邊在坐標軸上時，就認為這個角不屬于任何象限；我們把所有與角有重合終邊的角
（包括角本身）的集合表示為；
在平面幾何里，我們把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，這種用“度”作為單位來度量角的單位制叫做角度制；
我們也可以用圓弧的長與圓半徑的比值來表示這個圓弧或圓弧所對的圓心角的大小；把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號表示，讀作弧度；用“弧
度”作為單位來度量角的單位制叫做弧度制；
如果一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長為，那么比值就是角的弧度數的絕對值，即，這里的正負由它的終邊的旋轉方向決定；零角的弧度數為零；
弧度制與角度制的換算關系：1弧度；弧度；在弧度制下，角的集合與實數集之間建立起一一對應的關系；例如，與角終邊相同的角可以表示為，與角終邊共線的角可以表示為；弧長公式：；
扇形面積公式：；
附表：由的象限判斷、、、的象限：
一
二
三
四
一、二
三、四
一、二
三、四
一、二、三
一、二、四
一、三、四
二、三、四
一、三
一、三
二、四
二、四
一、二、三
一、二、四
一、三、四
二、三、四
2.
任意角的三角比
在任意角的終邊上任取一點，設的坐標為，，則
，我們規定：；；；；
；；
根據三角比的定義，各三角比的正負值如下所示：
在平面直角坐標系中，稱以原點為圓心，以1為半徑的圓為單位圓，把點看作角的終邊與單位圓的交點，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，過點作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角的終邊或其反向延長線相交于點；
于是，，，；所以點坐標總可以表示成；我們把、、這三條線段分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，這些線段通稱為三角函數線；
由三角函數線得出的常用三角不等式：
①
，，；②
若，則；
附表：特殊角的三角比
不存在
不存在
3.
同角三角比關系與誘導公式
（1）同角三角比關系
倒數關系：，，；
商數關系：，；
平方關系：，，；
利用同角三角比的關系，可以實現“弦”、“切”、“割”之間的互化：
①
切割化弦，“切”通過商數關系化為“弦”，“割”通過倒數關系化為“弦”；
②
弦化切，一般和“齊次式”有關，通過分式上下同時除以或得到“切”；
③
1的代換，通過平方關系，將1代換成所需的三角比；
（2）誘導公式：奇變偶不變，符號看象限；
第一組：；；；
第二組：；；；
第三組：；；；
第四組：；；；
第五組：；；；
第六組：；；；
4.
三角恒等變換
（1）和與差公式
；；
；；
；；
（2）輔助角公式：，通常取，
由，（或）確定；
常見類型：；；；
（3）倍角公式
；；；
（4）半角公式
；；；
（5）其他公式及恒等變換
①
萬能公式：；；；
②常見公式變形：；；
；；
；
⑥
常見角的變換：；；；
；；
；；
5.
解三角形
（1）三角形面積公式（其中是三角形外接圓半徑，是內切圓半徑，）
；；
；
（2）正弦定理：，其中是三角形外接圓半徑；
（3）余弦定理：，即；
，即；
，即；
（4）三角形中常見結論
①
；
②
或；；
③
成等差數列；
④
成等差數列，成等比數列△為等邊三角形；
（5）三角形中的恒等式
①
，，；
②，，；
第六章
三角函數
1.
正弦函數圖像
對任意一個實數都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數，表示為，它叫做正弦函數，它的定義域是實數集；
（1）值域和最值：正弦函數的值域是，，此時的集
合是，，此時的集合是；
（2）周期性：正弦函數是周期函數，是它的周期，是
的最小正周期；的周期是；
（3）奇偶性：是奇函數；
（4）單調性：在閉區間上都是增函數；在閉區間上都是減函數；
（5）對稱性：正弦函數既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸是，對稱中心；
2.
余弦函數圖像
對任意一個實數都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數，表示為，它叫做余弦函數，它的定義域是實數集；
（1）值域和最值：余弦函數的值域是，，此時的集合是，，此時的集合是；
（2）周期性：余弦函數是周期函數，是它的周期，是它的最小正周期；的周期是；
（3）奇偶性：是偶函數；
（4）單調性：余弦函數在閉區間上是增函數；在閉區間上是減函數；
（5）對稱性：余弦函數既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱軸是；對稱中心；
3.
正切函數圖像
對任意一個實數都有唯一確定的值與它對應，按照這個對應法則所建立的函數，
表示為，叫做正切函數；
（1）值域和最值：由的定義可以得到它的值域是實數集，無最值；
（2）周期性：由可知正切函數是周期函數，是它的最小正周期；
（3）奇偶性：由可知正切函數是奇函數；
（4）單調性：正切函數在區間內都是增函數；
（5）對稱性：正切函數是中心對稱圖形，對稱中心是；
4.
函數的圖像與性質
函數中的常數對其圖像有如下影響：正數決定了函數的值域為，叫做該正弦曲線的振幅；如圖，與的圖像對比，橫坐標不變，縱坐標變成原來的2倍；
正數決定了函數的周期，，在單位時間里曲線振動的次數；叫做該
正弦曲線的頻率；的周期為；如圖，與的圖像對比，縱坐標不變，橫坐標變成原來的；
決定了在時所對應的角，也決定了該正弦曲線的左右位置，我們把叫做初相；
如圖，與的圖像對比，圖像整體往左平移個單位；
三角函數的圖像變換：
；
5.
反三角函數
函數的反函數叫做反正弦函數，記作；函數的反函數叫做反余弦函數，記作；函數的反函數叫做反正切函數，記作；
（1）值域：；；；
（2）奇偶性：與為奇函數；為非奇非偶函數；
（3）單調性：與為增函數；為減函數；
（4）對稱性：與關于原點成中心對稱，關于點
成中心對稱；
由反三角函數的定義有以下恒等式：
；；
；；
；；
；；
6.
最簡三角方程
含有未知數的三角函數的方程叫做三角方程；滿足三角方程的所有的集合叫做三角方程的解集；在三角方程中，形如的方程叫做最簡三角方程；
最簡三角方程的解集：
（1）的解集為；
（2）的解集為；
（3）的解集為.
第七章
數列與數學歸納法
1.
數列概念
按一定順序排列起來的一列數叫做數列；數列中的每一個數叫做這個數列的項；數列的一般形式可以寫成，其中是數列的第項，是的序數，上面的數
列可以簡單記作；
項數有限的數列叫做有窮數列，項數無限的數列叫做無窮數列；從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列
叫做遞增數列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列；各項相等的數列叫做常數列；
若存在正常數，使得數列每一項的絕對值都不大于，這樣的數列叫做有界數列，否則叫做無界數列；
如果數列的第項與項的序數之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的
通項公式；如果已知數列的任一項與它的前一項（或前幾項）之間的關系可用一個公式來表示，那么
這個公式就叫做這個數列的遞推公式；
一般地，我們稱為數列的前項和，用表示；根據數列前項和的定義；
2.
等差數列
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列叫做等差數列，
這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用小寫字母表示；
等差中項：如果，那么叫做與的等差中項；如果三個數成等差數列，那么等差中項等于另兩項的算術平均數；
等差數列的通項公式：；等差數列的遞推公式：；
等差數列的前項和公式：；
等差數列的性質：
①
；
②
若，則；
③
，，，……，成等差數列，公差為；
④
，，，，……，成等差數列，公差為；
⑤
數列成等差數列，，；
⑥
若數列是等差數列，則為等比數列，；
⑦
是前項和，表示奇數項的和，表示偶數項的和，則；
當為偶數時，；當為奇數時，，，；
⑧
設和分別表示等差數列、的前項和，則；
⑨
若，，，則，；若，，，則；
若，，則；
3.
等比數列
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用小寫字母表示；
等比中項：如果，那么叫做與的等比中項；如果三個數成等比數列，
那么等比中項的平方等于另兩項的積；
等比數列的通項公式：；等比數列的遞推公式：；
等比數列的前項和公式：；；
等比數列的性質：
①
；
②
若，則；
③
，，，……，成等比數列，公比為；
④
，，，，……，成等比數列，公比為；
⑤
數列成等比數列，，；
⑥
若數列是等比數列，則為等差數列，；
⑦
是前項和，表示奇數項的和，表示偶數項的和，則；
當為偶數時，；當為奇數時，；
⑧
設是前項積，表示奇數項的積，表示偶數項的積，則；
當為偶數時，；當為奇數時，；
4.
求數列通項方法
（1）公式法：等差數列通項，等比數列通項；
（2）累加法（累乘法）：，，；
（3）作差法（作商法）：若，則，；
若，則，；
（4）構造法：；；；
；；，其他類型；
（5）不動點法：適用于分式遞推數列；
（6）特征根法：適用于；
（7）數學歸納法：對數列通項進行歸納猜想，然后按數學歸納法步驟進行證明；
5.
數列求和方法
（1）求和公式法：等差數列前項和公式：；
等比數列前項和公式：；
；
；
（2）倒序相加法：首尾距離相等的兩項有共性或數列的通項與組合數相關聯；
（3）錯位相減法：數列通項由等差數列與等比數列相乘構成；
（4）裂項相消法：將數列中的每項進行分解，然后重新組合，達到消項的目的；
；；
；
；；
；；
（5）分組求和法：將通項中有共同規律的部分進行分組，分別求和；
（6）數學歸納法：對數列前項和進行歸納猜想，然后按數學歸納法步驟進行證明；
6.
數學歸納法
由特殊到一般的推理方法，叫做歸納法；
數學家通過對正整數的深入研究，找到了一種證明與正整數有關的數學命題的簡單有效的方法，它的步驟是：
（1）證明當取第一個值例如或時，命題成立；
（2）假設當時命題成立，證明當時命題也成立；
在完成了上面兩個步驟后，我們就可以斷定這個命題對于從開始的所有正整數都成立，這種證明方法叫做數學歸納法；
在數學問題的探索中，為了尋求一般規律，往往先考察一些特例，進行歸納，形成猜想，然后再去證明這些猜想正確與否，一些與正整數有關的等式也可以通過這樣的途徑得到；
數學歸納法的形式;
第一數學歸納法：教材上的數學歸納法，稱之為第一數學歸納法，是歸納法的基本形式；
第二數學歸納法：①
當時，成立；②
假設當時，成立，由此推出，也成立，那么命題成立；
跳躍數學歸納法：①
當時，成立；②
假設
當時，成立，由此推出時，也成立，那么
對一切正整數，命題成立；
反向數學歸納法：①
對無窮多個正整數成立；②
假設當時，命題成立，
由此推出時也成立，那么對一切正整數，命題成立；
7.
數列極限
一般地，在無限增大的變化過程中，如果無窮數列中的無限趨近于一個常數，那么叫做數列的極限，或叫做數列收斂于，記作，讀作“趨向于無窮大時，的極限等于”；
三個常用極限：①（為常數）；②；③當時，；
在數列極限的描述中，我們可以用是否無限趨近于零來判斷是否有極限；如果，，那么（1）；（2）；
（3）；我們把的無窮等比數列的前項和當時的極限叫做無窮
等比數列各項的和，并用符號表示，即；
8、非等差、等比數列通項公式的求法
類型Ⅰ
觀察法：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據
規律寫出此數列的一個通項。
類型Ⅱ
公式法：若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式
構造兩式作差求解。
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為
一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）。
類型Ⅲ
累加法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;
②
若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;
③若是關于的二次函數，累加后可分組求和;
④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和.
類型Ⅳ
累乘法：
形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。
類型Ⅴ
構造數列法：
㈠形如（其中均為常數且）型的遞推式：
（1）若時，數列{}為等差數列;
（2）若時，數列{}為等比數列;
（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求.方法有如下兩種：
法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數（待定系數法）得,即構成以為首項，以為公比的等比數列.再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列.求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的遞推式：
⑴當為一次函數類型（即等差數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出
，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵當為指數函數類型（即等比數列）時：
法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以
得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q,
r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決。
⑶當為任意數列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化
為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.
類型Ⅵ
對數變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）。
類型Ⅶ
倒數變換法：
形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出
的表達式，再求.
類型Ⅷ
形如型的遞推式：
用待定系數法，化為特殊數列的形式求解。方法為：設，比較系數
得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型。
總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式
9、非等差、等比數列前項和公式的求法
⑴錯位相減法
①若數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和就要采用此法.
②將數列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列的前項和.
此法是在推導等比數列的前項和公式時所用的方法.
⑵裂項相消法
一般地，當數列的通項
時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.
可用待定系數法進行裂項：
設，通分整理后與原式相比較，根據對應項系數相等得，從而可得
常見的拆項公式有：
②
③④⑤
⑶分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.
⑷倒序相加法
如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，
就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：
⑸記住常見數列的前項和：
①
②
③
第八章
平面向量的坐標表示
1.
向量的坐標表示及其運算
在平面直角坐標系內，方向分別與軸和軸正方向相同的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為和；
將向量的起點置于坐標原點，作，我們將叫做位置
向量，平面上任一向量都有與它相等的位置向量；
如果點的坐標為，它在軸、軸上的投影分別為，那么由向量加法的平行四邊形法則可知，由向量與實數相乘的意義，，，于是，向量能表示成兩個相互垂直的向量、分別乘以實數、后組成的和式，該和式稱為、的線性組合，這種向量的表示方法叫做向量的正交分解；
平面上任一向量都有與它相等的位置向量，所以，它們的系數、是與向量相等的位置向量的終點的坐標，通常我們用有序實數對表示向量，并稱為向量的坐標，記作；
有了向量的坐標表示后，向量的運算可轉化為其坐標的相應運算；設是一個實數，
，，則：；
；
2.
向量的數量積
由兩點間距離公式，可求得向量的模；
對于兩個非零向量和，如果以為起點，作，，那么射線的夾角叫做向量與向量的夾角，的取值范圍是；
當時，表示向量與向量方向相同；
當時，表示向量與向量方向相反；夾角或的兩個向量是相互平行的，
夾角的兩個向量是相互垂直的，記作；
如果兩個非零向量和的夾角為，那么把叫做向量與向量的數量積，
記作，即；特別地，，；
的幾何意義：兩個向量和的數量積是其中的一個向量的
模與另一個向量在向量方向上的投影的乘積；
向量數量積運算滿足下列性質：
①
，當時，；②
；
③
；
④
；
對于用坐標表示的向量，，有，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積之和；
兩個向量與垂直的充要條件是，即；
兩個向量與平行的充要條件是，即；
兩個向量與的夾角公式；
3.
平面向量相關公式定理
（1）平面向量分解定理：如果是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數，使；我們把不平行的向量叫做這一平面內所有向量的一組基；
（2）三點共線定理：已知平面上三點共線，點在直線外存在實數，使，其中；
（3）定比分點公式：已知平面上兩點、，存在點，滿足，則點坐標為；
中點坐標公式：平面上兩點、的中點坐標為；
以為頂點的三角形重心為；
（4）三角形四心與向量
設為△所在平面上的一點，角所對的邊分別為；
①
為△外心；
②
為△外心；
③
為△重心；
④
為△垂心；
⑤
為△內心；
⑥
為△內心；
設為△所在平面上的一動點，實數；
①
動點的軌跡經過△重心；
②
動點的軌跡經過△重心；
③
動點的軌跡經過△內心；
④
動點的軌跡經過△垂心；
⑤
的軌跡經過△外心；
第九章
矩陣與行列式初步
1.
矩陣
（1）矩陣的定義
我們把矩形數表叫做矩陣，矩陣中的每個數叫做矩陣的元素；對于二元一次方程組，矩陣叫做方程組的系數矩陣，它是2行2列的矩陣，可記作；矩陣叫做方程組的增廣矩陣，它是2行3列的矩陣，可記作；1行2列的矩陣、叫做系數矩陣的兩個行向量；2行1列的矩陣、叫做系數矩陣的兩個列向量；
當行數與列數相等時，該矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，如是2階方矩陣；
我們把主對角線元素為1，其余元素均為0的方矩陣叫做單位矩陣，如；
元素全為零的矩陣稱為零矩陣；
我們把行列矩陣的第行第列的元素用圓括號括起來表示矩陣，為；若、是
兩個行數與行數相等、列數與列數相等的矩陣，當且僅當它們對應位置的元素都相等時，即，稱兩矩陣相等，記作；
（2）矩陣的變換
解方程的過程就是通過某些矩陣變換，使方程組的系數矩陣變為單位矩陣的過程；
矩陣變換有下列三種：
①
互換矩陣的兩行；
②
把某一行同乘以一個非零的數；
③
某一行乘以一個數加到另一行；若對矩陣實行
有限次初等變換變成矩陣，則稱矩陣與等價，記作，經初等變換得到的矩陣與變換前的矩陣不能用
等號聯結，它們是不相等的；
（3）矩陣的運算
①
矩陣的加減法及運算性質
若，都是行列矩陣，則矩陣叫做矩陣與的和，記作；求矩陣和的運算叫做矩陣的加法；
矩陣的加法運算性質：交換律
結合律
我們把記為，叫做兩矩陣與的差；求矩陣差的運算叫做矩陣的減法；矩陣的加法和矩陣的減法只有在兩矩陣的行數、列數都相同時才可以進行，兩矩陣相加減歸結為其對應元素相加減；
②
數乘矩陣及其運算性質
以實數乘矩陣的每個元素所得的矩陣叫做實數與矩陣的
乘積，記作；求數乘矩陣的運算叫做數與矩陣的乘法；
數與矩陣的乘法運算性質：；；；
③
矩陣的乘法
設，，，如果它們元素間的關系可以用下列等式表示：，那么矩陣叫做矩陣和的乘積，記作；
由上面的定義可知，是的第行的行向量與的第列的列向量的數量積，這個定義可以推廣到任意行
列的矩陣與行列的矩陣的乘積；
由此定義可知，只有當矩陣的列數等于矩陣的行數時，矩陣乘積才有意義；
2.
行列式
（1）二階行列式
我們用記號表示算式，即；該記號叫做行列式，并且因為它只有兩行
兩列，所以把它叫做二階行列式，算式叫做行列式的展開式，其計算結果叫做行列式的值，都叫做行列式的元素；
如上圖，我們把用實線表示的對角線稱之為主對角線，用虛線表示的對角線稱之為副對角線；不難發現，二階行列式的值等于主對角線上的元素的乘積減去副對角線上的元素乘積；這種展開二階行列式的方法叫做二階行列式展開的對角線法則；
設二元一次方程組，當時，方程組有唯一解：
，令，，，即；
其中行列式叫做方程組的系數行列式；
對于二元一次方程組，令，，；
①當時，方程組有唯一解，；
②當且中至少有一個不為零，方程組無解；
③當，方程組無窮多解；
是方程組有唯一解的充分必要條件，叫做方程組解的判別式；
（2）三階行列式
我們用記號表示算式；該記號叫做三階行列式，算式叫做三階行列式的展開式，都叫做行列式的元素；
①
三階行列式按對角線展開:
如上圖，三階行列式展開后的值為，等于每一條主對角線上的元素乘積的和減去每一條副對角線上的元素乘積的和，這種方法叫
做三階行列式展開的對角線法則；
②
三階行列式按一行（或一列）展開:
，其中、、分別叫做元素的余子式，即把三階行列式中某個元素所在的行和列劃去，將剩下的元素按原來的位置關系組成的二階行列式叫做該元素的余子式；
把余子式添上相應的符號，如、、分別叫做元素的代數余子式；
一個元素的代數余子式的符號決定于這個元素在行列式中的位置，如果下標之和是偶數，代數余子式取
正號，如果是奇數，代數余子式取負號；
三階行列式可以按其任意一行（或一列）展開成該行（或該列）元素與其對應的代數余子式的乘積之和；三階
行列式的某一行（或列）的各元素分別和另一行（或列）對應元素的代數余子式的乘積的和等于零；
對于三元一次方程組，設，，
，，叫做方程組解的判別式；
①當時，方程組有唯一解，，；
②當且中至少有一個不為零，則方程組無解；
③當，方程組有無窮多解；
（3）行列式的相關性質結論
性質1
把行列式的某一行的所有元素乘以一個實數，等于用乘以這個行列式；
推論1
行列式中某一行所有元素的公因數可以提到行列式記號的外邊；
推論2
如果行列式中某一行的元素全為零，那么這個行列式的值為零；
性質2
交換行列式的任意兩行，行列式的值變成原來的相反數；
推論3
如果行列式有兩行的對應元素相同，那么這個行列式的值為零；
推論4
如果行列式的某兩行的對應元素成比例，那么這個行列式的值為零；
性質3
如果行列式的某一行的元素都是二項式，那么這個行列式等于把這些二項式各取一項組成相應的行，而其余行不變的兩個行列式的和；
性質4
把行列式的某一行所有元素乘以同一個數，加到另一行的各個對應元素上，行列式的值不變；
性質5
行列式與它的轉置行列式相等；
由性質5可知，前面的性質及推論中，將“行”換成“列”，結果同樣成立；
三角形面積公式：
如果△的三個頂點的坐標分別為，，，那么△的面積；特別地，直角坐標平面上的三點，，共線.
第十章
算法初步
1.
算法概念
一般地，對于一類有待求解的問題，如果建立了一套通用的解題方法，按部就班地實施這套方法就能使該類問題得以解決，那么這套解題方法是求解該類問題的一種算法；
算法是由一些操作步驟組成的有序系列，這個系列具有以下特點：
①
操作步驟數必須是有限的，必須在有限步驟后獲得結論；
②
每一步操作都有確定的意義；
③
每一步操作都是可行的（或由基本的可行的操作組成）；
④
每個算法必須有已知信息的輸入和運算結果的輸出；
順序結構、條件結構和循環結構是算法中最常用的語句結構；
順序結構：算法各步驟的前后順序一般不能交換，否則會產生不一樣的效果；
條件結構：如果條件成立，那么執行指令，如果條件不成立，那么執行指令；
循環結構：重復執行同樣指令；其中變量的數值決定了循環的“繼續”還是“結束”，故稱為循環變量，稱
重復執行的指令組為循環體；
2.
程序框圖
為了使算法的表述更簡練，結構更清晰，人們常用含有算法內容的框和箭頭構成的圖來表示算法，這種圖叫做
算法的程序框圖；在程序框圖中常用的框如表所示：
程序框
名稱
功能
起止框
表示算法的開始和結束，一個算法只有一個開始，至少有一個結束
輸入、輸出框
表示數據的輸入和輸出
處理（執行）框
表示算法中的賦值、計算等指令，一個處理框只有一個入口、一個出口
判斷框
判斷框內是一個條件，它有一個入口
和兩個出口（分別標“是”和“否”）
順序結構、條件結構和循環結構的程序框圖：
順序結構
條件結構
循環結構
有了順序結構、條件結構和循環結構的程序框圖，我們就可以比較完整地構建算法的程序框圖，一般來說，一個完整的程序框圖應該包含起始框、結束框、輸入輸出框.
第十一章
坐標平面上的直線
1.
直線傾斜角和斜率
設直線與軸相交于點，將軸繞點按逆時針方向旋轉至與直線重合時所成的最小正角叫做直線的傾斜角；傾斜角的范圍是；當時，把的正切值叫做直線的斜率；當時，直線的
斜率不存在；
一般地，如果直線經過和，其中，那么是直線的一個方向向量，直線的
斜率；從圖像上觀察，直線越陡，斜率的絕對值越大；
2.
直線方程
直線的點方向式方程：我們把與直線平行的向量叫做直線的方向向量；如果直線經過點，方向
向量，那么直線的方程可寫作；
直線的點法向式方程：我們把與直線垂直的向量叫做直線的法向量；如果直線經過點，法向量，那么直線的方程可寫作；
直線的點斜式方程：如果直線經過點，斜率為，那么直線的方程可寫作
；
直線的斜截式方程：如果直線經過軸上的點，且斜率為，那么直線的方程可寫作；
直線的截距式方程：如果直線與軸和軸分別交于點、，、分別叫做直線在
坐標軸上的橫截距和縱截距，那么直線的方程可寫作；
直線的一般式方程：（不同時為零），是直線的一個法向量，是
直線的一個方向向量；
直線方程
方向向量
法向量
斜率
3.
兩條直線的位置關系
設直角坐標平面上兩條直線方程分別為和，如果直線的公共點
是，那么點的坐標必是兩條直線方程構成的二元一次方程組的解；方程組解的個數
即對應兩條直線的位置情況；
方程組系數構成的行列式的值：，，；
當，即時，方程組有唯一解，兩直線相交于一點；
當且或時，方程組無解，兩直線沒有公共點，即平行；
當時，方程組有無窮多解，即兩直線重合；
具體應用中，當直線方程形式為一般式時，即兩條直線分別為和，
可以用以下形式判斷直線的位置關系：
①
當時，兩直線相交；特殊地，當時，兩直線垂直；
②
當時，兩直線平行；
③
當時，兩直線重合；
當直線方程形式為斜截式時，即兩條直線分別為和，可以用以下形式判斷直線的位置關系：
①
當時，兩直線相交；特殊地，當時，兩直線垂直；
②
當且時，兩直線平行；
③
當且時，兩直線重合；
我們規定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角；如果兩條直線平行或重合，我們規定它們的
夾角為零；
如果已知兩條直線的方程分別為和，它們的方向向量分別取
和，由兩向量的夾角計算公式，可得兩條直線的夾角公式為
；；
如果已知兩條直線的方程分別為和，根據傾斜角的定義，可得兩條直線的夾角
公式為；當與相互垂直時，，；
4.
點到直線的距離
點到直線的距離公式：；兩平行線間距離公式：設兩條平行直線為和，，它們之間的距離；
已知點和直線（不同時為零），的符號確定了點關于直線的相對位置，在直線同側的所有點，的符號是相同的，在直線異側的點，的符號是相反的；
5.
與直線相關的幾類問題
（1）常用直線系
①
定點直線系方程：經過定點的直線系方程為，其中是待定系數；或者，其中是待定系數；
②
共點直線系方程：經過兩直線和的交點的直線系方程為，其中是待定系數；
③
平行直線系方程：與直線平行的直線系方程為，其中是待定系數，與直線平行的直線系方程為，其中是待定系數；
④
垂直直線系方程：與直線垂直的直線系方程為，其中是待定系數；
（2）對稱問題
①
點關于點對稱：若、兩點關于點對稱，則的對稱點的坐標為；
②
點關于直線對稱：若、兩點關于直線對稱，則的對稱點的坐標為
；
③
直線關于點對稱：若、兩直線關于點對稱，則直線的對稱直線的方程為；
④
直線關于直線對稱：若、兩直線關于直線對稱，則的對稱直線的方程為；
（3）距離最值問題
①
在直線上求一點，使到兩定點的距離之和最小；
②在直線上求一點，使到兩定點的距離之差的絕對值最大；
第十二章
圓錐曲線
1.
曲線和方程
（1）曲線和方程的概念
借助于平面坐標系用代數方法研究平面上圖形性質的學科稱為平面解析幾何；一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：
①
曲線上的點的坐標都是方程的解；
②
以方程的解為坐標的點都是曲線上的點；
此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線；
平面解析幾何研究的兩個基本問題是：
①
根據條件，求出表示平面曲線的方程；
②
通過方程，研究平面曲線的方程；如果曲線的方程分別為和，那么曲線的交點坐標即方程組的解，方程組解的情況即曲線的相交情況；
如果曲線的方程分別為和，那么過曲線的交點的曲線系方程
是；
（2）求曲線方程常用方法：①
直接法；②
定義法；③
代入法；④
消參法；⑤
交軌法；⑥
其他法；
2.
圓的方程
（1）圓的方程形式
圓的標準方程：，表示以為圓心，以為半徑的圓；
圓的一般方程：，即；
圓的參數方程：，表示以為圓心，以為半徑的圓；
圓的直徑式方程：，其中、分別為直徑的兩個端點；
（2）點和圓的位置關系
對于點和圓，有：點在圓外；
點在圓上；點在圓內；
（3）直線和圓的位置關系
判定圓和直線位置關系的方法有兩種：
①
比較圓心到直線的距離和圓半徑的大小；
相交；相切；相離；
②
聯立方程組，得到關于的二次方程，考察根的判別式；
相交；相切；相離；
（4）圓和圓的位置關系
若圓的半徑是，圓的半徑是，則：兩圓外離；
兩圓外切；兩圓相交；
兩圓內切；
兩圓內含；
（5）與圓相關的公式
切線公式一：對于圓，若直線和圓的切點為，則切線方程為；若點在圓外，則方程表示過兩個切點的切點弦方程；
切線公式二：對于圓，斜率為的切線方程為；兩圓公共弦公式：若兩圓和相交，則它們公共弦的方程為；
3.
橢圓方程
我們把平面內到兩個定點的距離和等于常數的點的軌跡叫做橢圓；這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離叫做焦距；
橢圓的標準方程：或，如圖所示；其中之間的關系；
從橢圓的標準方程中，我們可以得到下列性質和結論：
①
對稱性：橢圓既是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心；
②
頂點：和，這四個點叫做橢圓的頂點；若，表示橢圓長軸的長，表示橢圓短軸的長，橢圓的兩個焦點都在它的長軸上；
③
范圍：，；
④
準線：準線方程；
⑤
離心率：；；
⑥
焦半徑公式：；
⑦
焦點三角形面積公式：；
⑧
切線方程：若為切點，則切線方程為；
⑨
參數方程：，.
4.
雙曲線方程
我們把平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡叫做雙曲線；這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點的距離叫做焦距；雙曲線的標準方程：或，如圖所示；其中，之間的關系滿足；
雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，它們互為共軛雙曲線；
從雙曲線的標準方程中，我們可以得到下列性質和結論：
對稱性：雙曲線既是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心；
頂點：和，這四個點叫做雙曲線的頂點；表示雙曲線實軸的長，表示雙曲線虛軸的長，雙曲線的兩個焦點都在它的實軸所在的直線上；
范圍：或，；
④
漸近線：；
⑤
準線：準線方程；
⑥
離心率：；；
⑦
焦半徑公式：；
⑧
焦點三角形面積公式：
⑨
切線方程：若為切點，則切線方程為；⑩
參數方程：，.
5.
拋物線方程
平面上與一個定點和一條定直線（不在上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，
定直線叫做拋物線的準線；
拋物線的標準方程：，，，；
從拋物線的標準方程中，我們可以得到下列性質和結論：
①
對稱性：關于軸對稱；
②
頂點：原點；
③
范圍：，；
④
準線：；
⑤
離心率：；
⑥
焦半徑公式：
⑦
切線方程：若為切點，則切線方程為
⑧
參數方程：；
6.
圓錐曲線綜合應用
（1）弦中點問題：點差法
與弦的中點有關的問題，主要有三種類型：
①
平行弦的中點軌跡；
②
過定點的弦中點軌跡；
③
過定點且被定點平分的弦所在的直線方程；
弦中點問題的常見結論：
①
若直線與橢圓相交于兩點，的中點為，連結，設的斜率為，
則；
②
若直線與雙曲線相交于兩點，的中點為，連結，設的斜率為，則；
注意：斜率不存在的情況要單獨考慮；
（2）拋物線焦點弦性質
①
，，；
②
，；；
③
，，共線，，，共線；
④
，，，
；
（3）韋達定理的應用：聯立方程，韋達定理
韋達定理：，；
弦長公式：；
；
（4）數形結合思想
7.
圓錐曲線的表格匯總
（1）橢圓的方程：
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
定義
到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
范圍
且
且
頂點
、、
、、
軸長
長軸的長
短軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
焦半徑
左焦半徑：右焦半徑：
下焦半徑：上焦半徑：
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點）弦長公式
，
（2）雙曲線的方程：
焦點的位置
焦點在軸上
焦點在軸上
圖形
標準方程
定義
到兩定點的距離之差的絕對值等于常數，即（）
范圍
或，
或，
頂點
、
、
軸長
實軸的長
虛軸的長
對稱性
關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點
、
、
焦距
離心率
漸近線方程
焦半徑
在右支在左支
在上支在下支
焦點三角形面積
通徑
過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（3）拋物線的方程：
第十三章
復數
1.
復數的概念
為解決負數的開方問題，引入虛數單位，規定，即是的一個平方根；我們把形如的數叫做復數，復數全體所組成的集合叫做復數集，用字母表示；單個復數常常用字母表示，
即，該形式叫做復數的代數形式，其中與分別叫做復數的實部與虛部，記作和；當時，復數是實數；當時，復數叫做虛數；當且時，
復數叫做純虛數；實數集是復數集的真子集；
如果兩個復數和的實部與虛部分別相等，即且，那么
這兩個復數相等，記作；
如果兩個復數都是實數，那么這兩個復數具有大小關系；如果兩個復數不都是實數，那么這兩個復數只有相等
和不相等兩種關系，而不能比較大小；
2.
復數的坐標形式
一個復數對應了一個有序實數對；而有序實數對與平面直角坐標系內的
點是一一對應的，因此可以用平面直角坐標系內的點來表示復數，也可以用復數來描述平面直角坐標系內的點；
建立直角坐標系用來表示復數的平面叫做復平面，在這里軸叫做實軸，軸叫做虛軸，表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上，原點表示實數0；
復數集中的元素和復平面上所有的點是一一對應的；復數集中的元素與復平面上以原點為起始點的向量是一一
對應的（實數0與零向量對應）；我們把復數看作點或看作向量；
復數所對應的點到坐標原點的距離叫做復數的模（或絕對值），記作，由模的定義可知；
復數的模的概念是實數的絕對值的概念的延伸；復數的模與表示的向量的模是一致的，所以復數的模也可以說成是其對應向量的模；
3.
復數的運算
（1）復數的加減法
設復數，，則復數的加法：
；兩個復數的和依然是一個復數，它的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個復數虛部的和；
復數的加法滿足交換律和結合律，即，；
形如和這樣實部相等而虛部互為相反數的兩個復數，叫做共軛復數，也稱這兩個復數互相共軛，
共軛復數用表示，即當時，；
由復數模的定義，可知互相共軛的兩個復數的模相等，即；
設復數，，則復數的減法：
；兩個復數的差依然是一個復數，它的實部是原來兩個復數實部的差，它的虛部是原來兩個復數虛部的差；
設復數、分別對應復平面上的點、，則
；
由此可見，表示兩點之間的距離，也等于向量的模；
（2）復數的乘除法
設復數，，則復數的乘法：
；兩個復數的乘積依然是一個復數，
復數的乘法與多項式的乘法相類似；特殊地，；
復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律，即對于任何復數，有：
，，；
設復數，，則復數的除法：；
要求幾個復數積的模或兩個復數商的模，可以先分別計算這幾個復數的模，然后把各個復數的模相乘或相除；即，，；
共軛復數的運算性質：，，，；
（3）復數的乘方與開方
復數的乘方運算是指幾個相同復數相乘，對任何復數及正整數，滿足：
，，；
一般地，對，滿足：，，，；
如果復數和滿足：；則稱是的一個平方根；因為，即是的平方根；
類似地，若復數滿足，則稱是的立方根；
的立方根有三個，分別是，，；設，則滿足
，，；同理，的立方根也有三個，分別是，，
；設，則滿足，，；
4.
實系數一元二次方程
設一元二次方程且；
當時，方程有兩個不相等的實數根；
當時，方程有兩個相等的實數根；
當時，方程有兩個不相等的共軛虛根；
韋達定理同樣適用于的情況：，；
對于實系數一元次方程，有：
①
如果虛數是方程的根，那么也是方程的根；②
方程在復數集中一定有個根，即
；
5.復平面內的曲線方程
（1）圓的定義:
平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)；設以為圓心，
為半徑的圓上任意一點,則
（1）該圓向量形式的方程是什么?
（2）該圓復數形式的方程是什么?
（3）該圓代數形式的方程是什么?
（2）橢圓的定義:
平面內與兩定點Z1，Z2的距離的和等于常數(大于)的點的集合(軌跡)；設是以為焦點，2a為長軸長的橢圓的上任意一點,則
（1）該橢圓向量形式的方程是什么?
（2）該橢圓復數形式的方程是什么?
變式:以為端點的線段
（1）向量形式的方程是什么?
（2）復數形式的方程是什么?
第十四章
空間直線與平面
1.
平面及其相關性質
平面具有“平”的特征，無厚度，無邊界，在空間延伸至無限；平面可以用大寫的英文字母或小寫的希臘字母
表示；
空間的直線和平面都可以看作點的集合，點與它們的關系可以用集合的語言表示；例如，點在直線上，或
直線經過點，記作；點不在直線上，記作；點在平面上，或平面經過點，記作；點不在平面上，記作；如果直線上的所有點都在平面上，那么稱直線在平面上（或平面經過
直線），記作；
公理1
如果直線上有兩個點在平面上，那么直線在平面上；
公理1用集合語言表述如下：若，，且，，則；
公理2
如果不同的兩個平面有一個公共點，那么的交集是過點的直線；
公理2用集合語言表述如下：若存在，則，且；
公理3
不在同一直線上的三點確定一個平面；
推論1
一條直線和直線外的一點確定一個平面；
推論2
兩條相交的直線確定一個平面；
推論3
兩條平行的直線確定一個平面；
2.
空間直線與直線的位置關系
公理4
平行于同一直線的兩條直線相互平行；
等角定理
如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補；在同一平面中，兩條直線的
位置關系包括相交和平行；如果空間的兩條直線既不平行，也不相交，這時不可能存在一個平面，使它既經過
直線，又經過直線，我們把不能置于同一平面的兩條直線叫做異面直線；
對于異面直線和，在空間任取一點，過分別作和的平行線和，我們把和所成的銳角或
直角叫做異面直線和所成的角；
當空間兩直線所成的角為直角時，和垂直，記作；當和所成的角為零角時，和平行或
重合；
異面直線之間距離：設直線與直線是異面直線，當點分別在上，且直線既垂直于直線，
又垂直于直線時，我們把直線叫做異面直線的公垂線，垂足之間的距離叫做異面直線和的距離；
3.
空間直線與平面的位置關系
如果直線與平面只有一個公共點，那么稱直線與平面相交于點，或稱是直線與平面的交點，記作；如果直線與平面沒有公共點，那么稱直線與平面平行，記作或∥；
直線與平面平行的判定定理
如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面
平行；
直線與平面平行的性質定理
如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條
直線就和交線平行；
一般地，如果一條直線與平面上的任何直線都垂直，那么直線與平面垂直，記作，直線叫做平面的垂線，與的交點叫做垂足；
直線與平面垂直的判定定理
如果直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與平面垂直；
推論
如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面；
直線與平面垂直的性質定理
如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內的所有直線；
推論
如果兩條直線同時垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行；
點到平面的距離：設是平面外一點，過點作平面的垂線，垂足為，我們把點到垂足之間的距離叫做點和平面的距離；
直線到平面的距離：設直線平行于平面，在直線上任取一點，我們把點到平面的距離叫做直線
和平面的距離；
當直線與平面相交且不垂直時，叫做直線與平面斜交，直線叫做平面的斜線；
設直線與平面斜交于點，過上任意點，作平面的垂線，垂足為，我們把點叫做點在平面
上的射影，直線叫做直線在平面上的射影，并規定直線與其在平面上的射影所成的銳角叫做直線
與平面所成的角；
當直線與平面垂直時，它們所成的角為90°；當直線與平面平行或直線在平面上時，它們所成的
角為0°；
最小角定理
直線和平面所成的角是這條直線和平面內任一直線所成的角中最小的角；
三垂線定理
在平面內的一條直線，如果和平面的一條斜線的射影垂直，那么這條直線也和這條斜線垂直；
三垂線逆定理
在平面內的一條直線，如果和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也和這條斜線的射影垂直；
4.
空間平面與平面的位置關系
對于空間不同的兩個平面，如果它們有公共點，即，那么稱平面與平面相交；如果兩個平面沒有公共點，那么稱平面與平面平行，記作∥；
平面與平面平行的判定定理
如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
推論
如果一個平面內的兩條相交直線，分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行；
推論
垂直于同一條直線的兩個平面平行；
平面與平面平行的性質定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么得到的兩條交線互相平行；
推論
若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它也垂直于另一個平面；
平面到平面的距離：設平面平行于平面，在平面上任取一點，我們把點到平面的距離叫做
平面和平面的距離；
設兩個平面相交于直線，將分別分割成兩個半平面，由的半平面及其交線所組成
的空間圖形叫做二面角，記作；交線叫做二面角的棱，兩個半平面叫做二面角的面；
在二面角的棱上任取一點，過分別在平面和上作棱的垂線和，射線和
所成的角叫做二面角的平面角；若射線和所成的角為90°，則兩個平面垂直，記作；
平面與平面垂直的判定定理
如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直；
平面與平面垂直的性質定理
如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面；
5.
空間角與距離的計算
（1）異面直線所成角
異面直線所成角的范圍；求異面直線所成的角，主要有兩種方法：
①
平移，將異面直線平移至相交，常用“作平行”和“取中點”的方法；
②
補形，延長異面直線，或者將題中幾何體進行添補，然后再平移至相交；
（2）直線與平面所成角
直線與平面所成角的范圍；求直線與平面所成的角，主要有以下方法：
①
定義法，根據直線與平面所成角的定義，找斜線及其射影的夾角；
②
垂線法，過直線上某一點作平面的垂線；
③
等體積法，通過幾何體體積相等，求出直線上的點到平面的距離；
（3）二面角的平面角
二面角的平面角的范圍,求二面角的平面角，主要有以下方法：
①
定義法，在兩個半平面中分別作交線的垂線；
②
垂線法，過一個平面上一點作另一個平面的垂線，再作交線的垂線；
③
垂面法，找到一個與兩個半平面均垂直的平面，截得的交線所形成的角；
④
等體積法，通過幾何體體積相等，求出直線上的點到平面的距離；
⑤
射影法，面積射影定理；
（4）距離的計算
直線到平面的距離，平面到平面的距離都可以轉化為點到平面的距離；
求點到平面的距離，主要有兩種方法：
垂線法，過點作平面的垂線，求垂線的長度；
等體積法，通過幾何體體積相等，求出高，即點到平面的距離；
第十五章
簡單幾何體
1.
多面體
在數學中，我們把由平面多邊形（或三角形）圍成的封閉體叫做多面體；構成多面體的各平面多邊形（或三角形）叫做多面體的面；其相鄰多邊形（或三角形）的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的交點叫做多面體的頂點；
（1）棱柱
如果一個多面體有兩個全等的多邊形的面互相平行，且不在這兩個面上的棱都相互平行，那么這個多面體叫做
棱柱；棱柱的兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側面；棱柱的側面都是平行四邊形；不在底面上的棱叫做棱柱的側棱；兩個底面間的距離叫做棱柱的高；
底面是平行四邊形的棱柱有六個面，且六個面都是平行四邊形的棱柱叫做平行六面體；
側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的側面都是矩形，直棱柱的高與側棱的長相等；底面是矩形的直棱柱叫做長方體，所有棱長都相等的長方體叫做正方體；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；
；
；
（2）棱錐
如果一個多面體有一個多邊形的面，且不在這個面上的棱都有一個公共點，那么這個多面體叫做棱錐；棱錐的
多邊形的面叫做棱錐的底面，其他的面叫做棱錐的側面，棱錐側面都是三角形；不在底面上的棱叫做棱錐的側棱；
側棱的公共點叫做棱錐的頂點；頂點與底面之間的距離叫做棱錐的高；
如果棱錐的底面是正多邊形，且底面中心與頂點的連線垂直于底面，那么這個棱錐叫做正棱錐；正棱錐的各條
側棱長相等，各個側面都是全等的等腰三角形，正棱錐的高與其頂點到底面中心的距離相等；
2.
旋轉體
平面上一條封閉曲線所圍成的區域繞著它所在平面上的一條定直線旋轉而形成的幾何體叫做旋轉體，該定直線
叫做旋轉體的軸；
（1）圓柱
如圖，將矩形繞其一邊所在直線旋轉一周，所形成的的幾何體叫做
圓柱；所在直線叫做圓柱的軸；線段和旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；線段旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；叫做圓柱側面的一條母線；圓柱的兩個底面間的距離（即的長度）叫做圓柱的高；
根據圓柱的形成過程易知：
①
圓柱有無窮多條母線，且所有母線都與軸平行；②
圓柱有兩個相互平行的底面；
（2）圓錐
類似地，將直角三角形（及其內部）繞其一條直角邊所在直線旋轉
一周，所形成的幾何體叫做圓錐；所在直線叫做圓錐的軸；點叫做圓錐的頂點；直角邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的
側面；斜邊叫做圓錐側面的一條母線；圓錐的頂點到底面間的距離叫做圓錐的高；
根據圓錐的形成過程易知：
①
圓錐有無窮多條母線，且所有母線相交于圓錐的頂點；②
每條母線與軸的夾角都相等；
（3）球
如圖，將圓心為的半圓繞其直徑所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫做球，
記作球；半圓的圓弧所形成的曲面叫做球面，易知，點到球面上任意點的距離都相等；把點稱為球心，把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半徑和球的直徑；
球面上聯結兩點的最短路徑，該路徑的長度就是球面上兩點之間的距離；在聯結球面上
兩點的路徑中，通過該兩點的大圓劣弧最短，因此該弧的長度就是這兩點的球面距離；
任意平面與球面的交線都是圓；
我們規定，當平面通過球心時，所得交線是大圓；當平面不通過球心時，所得交線是小圓；
3.
面積與體積公式
直柱體的表面積：（分別為直柱體的高和底面周長）
圓柱的表面積：（分別為圓柱的高和底面半徑）
正錐體的表面積：（分別為斜高和底面周長）
圓錐的表面積：（分別為母線長和底面半徑）
球的表面積公式：（是球的半徑）
祖暅原理：體積可看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對應相等，則兩空間圖形的體積必然相等；
棱柱的體積：（為棱柱的高）
圓柱的體積：（分別為圓柱的高和底面半徑）
等底等高的三棱錐的體積相等；棱錐的體積：（為棱錐的高）
圓錐的體積：（分別為圓錐的高和底面半徑）
球的體積公式：（是球的半徑）
4.
直觀圖與斜二測畫圖法
規定按如圖所示的位置和夾角作三條軸分別表示前后方向、左右方向以及鉛垂方向的軸，依次把它們叫做軸、軸和軸，規定在軸和軸方向上線段的長度與其表示的真實長度相等，而在軸方向上，線段的長度是其表示的真實長度的二分之一，根據這樣的規定，從而畫出空間圖形的直觀圖；
用這種方法畫的空間圖形直觀圖叫做斜二軸測圖，這樣的畫圖方法簡稱“斜二測”畫圖法；
“斜二測”畫圖法有以下重要性質：
①
平行直線的直觀圖仍是平行直線；
②
線段及其線段上定比分點的直觀
圖保持原比例不變；
③
直觀圖與原圖的面積比為
5.
特殊幾何體之間的聯系
6.
投影與畫圖
在平面上畫空間圖形的基本方法是應用投影的原理：當光線照射在空間圖形上時，會在它后面的平面上留下陰影，這陰影叫做原空間圖形在平面上的投影；投影形成了空間圖形的平面圖；
在應用投影畫平面圖的過程中，下列因素會對平面圖產生影響：
（1）投影線的結構特征；投影線有兩種結構，互相平行的或共點的；如果投影線是互相平行的，那么該投影稱為
平行投影；如果投影線是共點的，那么該投影稱為中心投影，公共點稱為投影中心；
（2）投影線的方向特征；在平行投影的情況下，我們用表示投影線與投影平面所成的角，的改變會影響投影
的形狀或大小；當時，該投影稱為正投影，其他都稱為斜投影；
（3）空間圖形的位置特征；
常用的投影畫圖方法：
（1）多面投影法；把三個投影面平展在一個平面上，就得到空間圖形的一種平面圖，這種方法被稱為多面投影法；
（2）軸測法；設計合適的投影角度，將現實空間的直角坐標系連同各軸上的單位長平行投影到平面上，使之成為
投影平面上的一組“坐標系”，根據該“坐標系”各軸的方向、單位和投影的性質，將空間圖形在空間直角坐標系
中的位置對應地畫到平面上，得到一幅相應的平面圖，這種方法稱為軸測法；
（3）標高投影法；用一組高度不一的水平平面截空間幾何體，將所得的截線投影到一個平面上，并分別標注各截線的高度，這樣的方法被稱為標高投影法；
把投影平面設計成三個互相垂直的平面，將空間圖形分別向三個投影面作正投影，再把三個投影圖按規則展示
在同一個平面上，這個圖被稱為空間圖形的三視圖；
將空間直角坐標系的平面、平面和平面作為投影平面，其中平面接受由上向下方向的正
投影，所得到的投影被稱為圖形的俯視圖；平面接受由左向右方向的正投影，所得到的投影被稱為圖形的
左視圖；平面接受由前向后方向的正投影，所得到的投影被稱為圖形的主視圖；
將三個視圖展示在同一個平面上，使俯視圖在主視圖的下方，左視圖在主視圖的右方，我們把整個構圖叫做這個長方體的三視圖；
7.
空間向量
空間向量的模、零向量、相等向量、負向量、單位向量、向量夾角等概念，空間向量的和、差、數乘、數量積
等運算的定義及其運算律都與同一平面上的向量的相應概念、運算及其運算律具有相同的意義；
如圖所示，取有公共原點的三條兩兩互相垂直，且有相同單位長度的數軸、、，這樣就構成了
一個空間直角坐標系，記作；由軸和軸所確定的平面叫做平面，類似地，還有平面和
平面，它們統稱為坐標平面；三個坐標平面將整個空間分割成八個部分，被稱為空間的八個卦限；
（1）空間向量相關概念
設是空間任意一點，經過點作三個平面分別垂直于軸、軸和軸，它們與各坐標軸的交點依次為
和；我們把垂足和分別叫作點在軸、軸和軸上的射影，如果點在軸、軸、軸上的坐標分別為，那么點確定了一個有序實數組，我們把有序實數組叫做點的坐標，記作；在平面、平面和平面上的射影分別為；
以坐標原點為起點，作向量，把叫做位置向量；對于空間向量，如果把它的起點置于坐標原點，并用基本單位向量表示它，那么的系數恰為向量的終點的坐標，我們把有序實數組
叫做向量的坐標，記作；
若點和點的坐標分別為和，則，
，即空間兩點間的距離公式；
若，，則；
；
兩個非零向量與平行的充要條件是存在非零實數，使；
若，，則，；
對于非零向量、，若它們的夾角為，則；
兩個非零向量和垂直的充要條件是；
（2）空間向量的應用
對于空間任意一條直線，把與直線平行的非零向量叫做直線的一個方向向量；對于非零空間向量，如果它所在的直線與平面垂直，那么向量叫做平面的一個法向量；
基礎命題1
兩條直線平行或重合的充要條件是它們的方向向量互相平行；
基礎命題2
一條直線與一個平面平行或在一個平面內的充要條件是這條直線的方向向量垂直于該平面的法向量；
基礎命題3
兩個平面平行或重合的充要條件是它們的法向量互相平行；
設空間直線與所成的角為，，它們的方向向量分別為和，和的夾角為，，根據空間兩條直線所成角的定義，可知；
設直線與平面所成的角為，，是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量，與
的夾角為，根據直線與平面所成角的定義，可知；
設二面角的大小為，，二面角的兩個半平面的法向量分別為和，和的夾角為，根據
二面角的定義，可知或；已知平面上一點與平面外一點，是平面的一個法向量，
設點到平面的距離為，則；
第十六章
排列組合與二項式定理
1.
計數原理
乘法原理
如果完成一件事需要個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，……，
第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：…種不同的方法；
加法原理
如果完成一件事有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的
方法，……，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：…種不同的方法；
2.
排列組合
（1）排列
一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列；
從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，
用符號表示；
排列數公式
，這里；個不同元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列；這時排列數公式中，即，正整數1到的連乘積叫做的階乘；排列數公式用階乘表示為，當時，規定；
（2）組合
一般地，從個不同元素中取出個元素組成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合；所有組合的個數叫做組合數，用符號表示；
組合數公式
，其中；
組合數性質1
；特殊地，；
組合數性質2
；
（3）排列組合問題的常用方法
①
對稱法：對稱思想；
②
特殊優先法：特殊位置優先考慮，特殊元素優先考慮；
③
先選后排法：先進行組合，再進行排列；
④
捆綁法：相鄰問題捆綁法；
⑤
插空法：不相鄰問題插空法；
⑥
隔板法：相同元素分組問題；
⑦
逆向法：至多至少問題，正難則反，等價轉化，又稱間接法；
⑧
枚舉法：數量不大時可以逐一枚舉各種情況；
3.
二項式定理
一般地，對于，有，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，它一共有項，其中各項的系數叫做二項式系數，式中的叫做二項展開式的通項，它是二項展開式中的第，用表示，即；
二項式系數性質1
的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即；
二項式系數性質2
的二項展開式中，所有二項式系數的和等于，
即：；
注意二項式系數與系數之間的區別：
賦值法在二項式定理中的應用：一般令字母等于可得常數項，令字母等于可得所有系數之和，令字母等于可分離出奇數項系數之和與偶數項系數之和.
第十七章
概率與統計
1.
概率論初步
概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支；我們把一次試驗可能出現的結果叫做基本事件；
（1）古典概型
具有如下兩個特點的概率模型叫做古典概型：①
一次試驗所有的基本事件只有有限個；②
每個基本事件出現的可能性相等；
對于在一定條件下可能出現也可能不出現，且有統計規律性的現象叫做隨機現象；在概率論中，擲骰子、轉硬幣……都叫做試驗，試驗的結果叫做隨機事件，簡稱事件；
在古典概型中，事件出現的概率定義為；
試驗后必定出現的事件叫做必然事件，記作，不可能出現的事件叫做不可能事件，記作；對于必然事件、不可能事件和隨機事件，下面4個事實值得我們注意：
①
不可能事件的概率為零，即；②
必然事件的概率為1，即；
③
對任意隨機事件，有；
④
若，則；設和是兩個隨機事件，我們把滿足下列
條件的和叫做對立事件：①
；②
；
在任何一次試驗中，事件要么出現，要么不出現；如果把事件不出現記作事件，那么事件與事件
互為對立事件，易知；
（2）頻率
對于隨機事件，如果在次試驗中出現了次（），那么稱為事件出現的頻數，稱為事件出現的頻率，頻率也叫做經驗概率；
實踐證明：事件出現的頻率常在該事件的概率（固定常數）附近擺動，這種規律性叫做頻率穩定性或隨機現象的統計規律性；
頻率穩定性的含義：①
在大量試驗中，事件出現的頻率與其概率很接近；②
當試驗次數無限增大時，事件出現的頻率與概率相差較大的可能性趨近于0；
2.
基本統計方法
（1）統計參數
在統計問題中，我們把研究對象的全體叫做總體，總體中的每一個對象叫做個體；
如果總體有個個體，它們的值分別為，那么，叫做總體均值；把總體中的各個個體，依由小到大的順序排列，當為奇數時，位于該數列正中位置的數叫做總體的中位數，記作，當為偶數時，位于該數列正中位置的兩個數的平均數叫做總體的中位數；
各個個體與總體平均數的差的平方分別是，我們把它們的平均數叫做總體方差，記作，即；總體方差反映了各個個體偏離平均數的程度，
越大，總體中各個個體之間的差別越大；越小，總體中各個個體之間的差別越小；叫做總體標準差；
也可用下面公式計算：；
（2）抽樣
從總體中抽出的一部分個體所組成的集合叫做樣本（也叫做子樣），樣本中所含個體的個數叫做樣本容量，
抽取樣本的過程叫做抽樣；
科學的抽樣方法必須使樣本具有代表性，樣本的代表性指選取的樣本能客觀地反映總體的情況，沒有人為的主觀偏向；常用的抽樣方法有如下幾種：
①
隨機抽樣：如果在抽樣過程中能使總體中的每一個個體都有同樣的可能性被選入樣本，那么這種抽樣叫做
隨機抽樣；所得的樣本稱為隨機子樣；在樣本容量不大時，隨機抽樣可以用抽簽方法；在樣本容量較大時，可以使用隨機數表法；
②
系統抽樣：把總體中的每一個個體編上號，按某種相等的間隔抽取樣本的方法，叫做系統抽樣；如果總體中個體的總數為，樣本的容量為，那么間隔；
③
分層抽樣：把總體分成若干個部分，然后在每個部分按相應比例進行隨機抽樣的方法，叫做分層抽樣；
（3）統計估計
統計估計是利用樣本數據獲取總體信息的重要手段；統計估計可分成兩類：一類是用樣本中某事件出現的頻率
估計該事件出現的概率，簡稱概率估計（可能性估計）；另一類是用樣本的算術平均數和樣本標準差估計總體均值
和總體標準差，簡稱參數估計；
如果樣本為，樣本容量為；那么可以用樣本的平均值：作為總體均值
的點估計值；用樣本的標準差：作為總體標準差的點估計值；
通過科學的抽樣方法獲取樣本數據，通過數據處理獲

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