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線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)綜合復(fù)習(xí)
1.
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
如圖，∵點(diǎn)在直線(xiàn)上，
∴
2.
線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理：
到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。
∵，∴點(diǎn)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上。
判斷正誤：“若，那么經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)就是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)?！?br/>3.
三角形的三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
如圖，△ABC中，邊AB和BC的垂直平分線(xiàn)MN和GH
相交于點(diǎn)P，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理則有PA=PB=PC，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理，點(diǎn)在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上，因此，△ABC三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
【典型例題】
例1.
如圖所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D。
求∠DBC的度數(shù)．
例2.
已知：如圖所示，在Rt△ABC中，過(guò)直角邊AC上的一點(diǎn)P作直線(xiàn)交AB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，且∠APM＝∠A．
求證：點(diǎn)M在BN的垂直平分線(xiàn)上．
例3.
如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線(xiàn)MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N．求證：CM=2BM．
例4.
如圖，河的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，要在河邊修一揚(yáng)水站向兩個(gè)村莊鋪設(shè)管道供水，若鋪設(shè)的管道最短，揚(yáng)水站應(yīng)建在哪個(gè)位置？說(shuō)明理由。
練習(xí)：
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC上的什么位置時(shí)，PB+PE的值最小？最小值是多少？
【模擬試題】
一、選擇題
1.
如左下圖，AC=AD，BC=BD，則（
）
A、CD垂直平分AB
B、AB垂直平分CD
C、CD平分∠ACB
D、以上結(jié)論均不對(duì)
2.
如果三角形三條邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形的外部，那么這個(gè)三角形是
(
)
A、直角三角形
B、銳角三角形
C、鈍角三角形
D、等邊三角形
3.
如圖，△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)交AC于D，如果AC=5
cm，BC=4cm，那么△DBC的周長(zhǎng)是
(
)
A、6
cm
B、7
cm
C、8
cm
D、9
cm
4.
三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)的位置一定在（
）
A、三角形內(nèi)部
B、三角形外部
C、三角形的一條邊上
D、三種情況都有可能
二、填空題
5.
三角形三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離_________
6.
如圖，D為BC邊上一點(diǎn)，且BC=BD+AD，則AD__________DC，點(diǎn)D在__________的垂直平分線(xiàn)上．
7.
如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線(xiàn)交AC于E，交BC于D，△ABD的周長(zhǎng)是12
cm，AC=5cm，則AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周長(zhǎng)是__________cm.
8.
如圖，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分線(xiàn)交BC于D，則∠ADB=__________度．
三、解答題
9.
已知：如圖所示，△ABC是等邊三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分線(xiàn)．
求證：△ADE是等邊三角形．
10．已知：如圖所示，△ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．
求證：點(diǎn)D在線(xiàn)段BE的垂直平分線(xiàn)上．
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