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基本不等式及應(yīng)用
一、考綱要求：
1.了解基本不等式的證明過程．
2．會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題．
3．了解證明不等式的基本方法——綜合法．
二、基本不等式
基本不等式
不等式成立的條件
等號(hào)成立的條件
≤
a>0，b>0
a＝b
三、常用的幾個(gè)重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
(2)ab≤()2(a，b∈R)
(3)≥()2(a，b∈R)
(4)＋≥2(a，b同號(hào)且不為零)
上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件都是a＝b.
四、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
四個(gè)“平均數(shù)”的大小關(guān)系；a，b∈R+：
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).
五、利用基本不等式求最值：設(shè)x，y都是正數(shù)．
(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)和x＋y有最小值2.
(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)積xy有最大值S2.
強(qiáng)調(diào)：1、在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握三點(diǎn)：“一正、二定、三相等、四最值”.當(dāng)條件不完全具備時(shí)，應(yīng)創(chuàng)造條件.
正：兩項(xiàng)必須都是正數(shù)；
定：求兩項(xiàng)和的最小值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項(xiàng)積的最大值，它們的和應(yīng)為定值。
等：等號(hào)成立的條件必須存在.
2、當(dāng)利用基本不等式求最大(小)值等號(hào)取不到時(shí)，如何處理？（若最值取不到可考慮函數(shù)的單調(diào)性．）
想一想:錯(cuò)在哪里？
3、已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝(x＋)(y＋)的最小值為________．
解一：因?yàn)閷?duì)a>0，恒有a＋≥2，從而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.
解二：z＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z的最小值是2(－1)．
【錯(cuò)因分析】　錯(cuò)解一和錯(cuò)解二的錯(cuò)誤原因是等號(hào)成立的條件不具備，因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，只有等號(hào)成立時(shí)，所求出的最值才是正確的．
【正確解答】　z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，
令t＝xy，則0f(t)＝t＋有最小值，所以當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)z有最小值.
誤區(qū)警示：
(1)在利用基本不等式求最值(值域)時(shí)，過多地關(guān)注形式上的滿足，極容易忽視符號(hào)和等號(hào)成立條件的滿足，這是造成解題失誤的重要原因．如函數(shù)y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－2而不是有最小值1＋2.
(2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否都能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．
課堂糾錯(cuò)補(bǔ)練：
若0解析：令sinx＝t,0答案：5
考點(diǎn)1　利用基本不等式證明不等式
1.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч保?br/>2．證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注意每次等號(hào)是否都成立．同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式．
例1：（1）已知均為正數(shù)，求證：
（2）已知為不全相等的正數(shù)，求證：
（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋≥4.
【證明】　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)．
∴＋≥4.∴原不等式成立．
練習(xí)：已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：(－1)(－1)(－1)≥8.
證明：∵a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，
∴(－1)(－1)(－1)
＝
＝≥＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào)．
考點(diǎn)2　利用基本不等式求最值
(1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值．
(2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．
例4：
(1)設(shè)0【分析】　由和或積為定值從而利用基本不等式求最值，然后確定取得最值的條件
【解】　(1)∵00，
∴y＝＝·
≤·＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x即x＝1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝的最大值是.
(2)
x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求
xy的最大值.
（4）已知＋a，求的取值范圍．
顯然a≠2，當(dāng)a>2時(shí)，a－2>0，∴＋a＝＋(a－2)＋2≥2＋2＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)＝a－2，即a＝4時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)a<2時(shí)，a－2<0，
∴＋a＝＋(a－2)＋2＝－[＋(2－a)]＋2
≤－2＋2＝－2，
當(dāng)且僅當(dāng)＝2－a，即a＝0時(shí)取等號(hào)，
∴＋a的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴＋＝(＋)(x＋y)
＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即2x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，
∴＋的最小值為7＋4.
練習(xí)：
求下列各題的最值．
(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值；
解：(1)由x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
則＋＝≥＝2.∴zmin＝2.當(dāng)且僅當(dāng)2y＝5x，即x＝2，y＝5時(shí)等號(hào)成立．
(2)x0，求f(x)＝＋3x的最大值；
∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，等號(hào)成立的條件是＝3x，即x＝2，
∴f(x)的最小值是12.
(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．
∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，
當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．故f(x)的最大值為－1.
（4），求的最大值。
考點(diǎn)3　利用基本不等式求最值的解題技巧
1.代換：化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，易于拼湊成定值形式。2．拆、拼、湊，目的只有一個(gè)，出現(xiàn)定值．
例3：（1）已知,，求的最小值。
（2）已知，求的最大值。
（3）已知，，求的最大值。
（4）求函數(shù)的最大值。
（5）設(shè)a>b>c>0，求2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值。
A．2　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5
【分析】　通過拆、拼、湊創(chuàng)造條件，利用基本不等式求最值，但要注意等號(hào)成立時(shí)的條件．
【解析】　原式＝(a2－10ac＋25c2)＋＋ab＋＋a(a－b)＋a2－ab－a(a－b)
＝(a－5c)2＋＋ab＋＋a(a－b)
≥0＋2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝，b＝，c＝時(shí)，等號(hào)成立．【答案】　B
練習(xí)：
（1）(2011年浙江)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________．
解析：4x2＋y2＋xy＝1，∴4x2＋4xy＋y2－3xy＝1
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤·()2
∵(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2　∴(2x＋y)2≤
即－≤2x＋y≤當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，∴(2x＋y)最大值＝.
（2）已知，求的最大值。
（3）已知，，求的最小值及相應(yīng)的的值。
考點(diǎn)4　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟是：
(1)仔細(xì)閱讀題目，透徹理解題意；
(2)分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，引入未知數(shù)，并用它表示其他的變量，把要求最值的變量設(shè)為函數(shù)；
(3)應(yīng)用基本不等式求出函數(shù)的最值；
(4)還原實(shí)際問題，作出解答．
例4
圍建一個(gè)面積為360
m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2
m的進(jìn)出口，如圖所示．已知舊墻的維修費(fèi)用為45
元/m，新墻的造價(jià)為180
元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元)．(1)將y表示為x的函數(shù)；
(2)試確定x使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．
【分析】　(1)首先明確總費(fèi)用y＝舊墻維修費(fèi)＋建新墻費(fèi)，其次，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)利用基本不等式求最值，最后確定取得最值的條件，作出問題結(jié)論．
【解】　(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a
m.
則y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>2)．
(2)∵x>2，
∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440.當(dāng)且僅當(dāng)225x＝時(shí)，等號(hào)成立．
即當(dāng)x＝24
m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．
方法歸納：
(1)利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函數(shù)的最值時(shí)，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解．
練習(xí)：
1、有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定：大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長(zhǎng)l(m)的關(guān)系滿足：d＝kv2l＋l(k為正常數(shù))，假定車身長(zhǎng)都為4
m，當(dāng)車速為60
km/h時(shí)，車距為2.66個(gè)車身長(zhǎng)．
(1)寫出車距d關(guān)于車速v的函數(shù)關(guān)系式；
(2)應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使大橋上每小時(shí)通過的車輛最多？
解：(1)∵當(dāng)v＝60
km/h時(shí)，d＝2.66l，∴k＝＝＝0.0006，
∴d＝0.0024v2＋2.
(2)設(shè)每小時(shí)通過的車輛為Q，則Q＝，即Q＝＝.
∵0.0024v＋≥2＝0.24，∴Q≤＝.
當(dāng)且僅當(dāng)0.0024v＝，即v＝50時(shí)，Q取最大值.
答：當(dāng)v＝50
km/h時(shí)，大橋上每小時(shí)通過的車輛最多．
2、設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840，畫面的寬與高的比為，畫面的上下各留8的空白，左右各留5空白，怎樣確定畫面的高于款的尺寸，使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求，那么為何值時(shí)使宣傳畫所用紙張面積最小？
歸納提升：
1．創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件：
(1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目的是使“和式”或“積式”為定值，且每項(xiàng)為正值；
(2)在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．
2．常用不等式：以下不等式在解題時(shí)使用更直接．
(1)a＋≥2(a>0，且a∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)“＝”成立．
(2)＋≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)“＝”成立．
(3)使用重要不等式求最值時(shí)，若等號(hào)不成立，應(yīng)改用單調(diào)性法．一般地函數(shù)y＝ax＋，當(dāng)a>0，b>0時(shí)函數(shù)在[－，0)，(0,
]上是減函數(shù)，在(－∞，－)，(
，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，可作如下變形：y＝－[(－ax)＋(－)]來解決最值問題．

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