資源簡介

函數與方程問題的類型及解法
函數與方程問題是近幾年高考的熱點問題之一。從題型上看主要是選擇題（或判斷題），但有時也可能參透到函數的大題之中；難度可能是中，低檔，也可能是高檔。縱觀近幾年高考試題，歸結起來函數與方程問題主要包括：①函數零點與方程的根之間內在聯系；②函數零點存在定理及運用；③求函數零點的基本方法；④一元二次函數的零點與一元二次方程的根的綜合問題等幾種類型。各種類型問題的結構具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答函數與方程問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地予以解答呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知函數f(x)有零點，下列說法不正確的是（
）
A
f(0)=0
B方程f(x)=0有實根
C函數f(x)的圖像與X軸有交點
D函數f(x)的零點是方程f(x)=0的根
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點與方程的關系。
【解題思路】根據函數零點的性質和函數零點與方程根的關系對各選項進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)有零點，函數f(x)的圖像與X軸有交點，方程f(x)=0有實根，
B，C，D正確，
A錯誤，選A。
2、下列圖像表示的函數中沒有零點的是（
）
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
A
B
C
D
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點與函數圖像和X軸交點的關系。
【解題思路】根據函數零點的性質和函數零點與函數圖像和X軸交點的關系，結合選項的圖像就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)零點也是函數f(x)圖像與X軸的交點，根據函數f(x)的圖像與X軸有沒有交點就可確定函數f(x)有沒有零點，A中圖像表示的函數沒有零點，選A。
3、函數f(x)=
|x|-1的零點的個數為（
）
A
1
B
2
C
3
D
4
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點與函數圖像交點的關系。
【解題思路】根據函數零點的性質和函數零點與函數圖像交點的關系，結合f(x)=
|x|-1=0，|x|=，在同一直角坐標系中分別作出函數g(x)=
|x|，h(x)
=
的圖像，利用兩個函數圖像的交點個數就可得出選項。
y
h(x)=
【詳細解答】
f(x)=
|x|-1=0，|x|=，
1
g(x)=
|x|
設函數g(x)=
|x|，h(x)=，在同一直角坐標系中
0
1
x
分別作出函數g(x)，h(x)的圖像如圖所示，由圖知函數g(x)與函數h(x)的圖像有兩個交點，
函數f(x)=
|x|-1有兩個零點，B正確，選B。
4、函數f(x)=lnx+2x-6的零點的個數為
；
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點與函數圖像交點的關系。
【解題思路】根據函數零點的性質和函數零點與函數圖像交點的關系，結合f(x)=lnx+2x-6=0，
lnx
=6-2x，在同一直角坐標系中分別作出函數g(x)=
lnx
，h(x)
=6-2x的圖像，利用兩個函數圖像的交點個數就可得出函數f(x)零點的個數。
y
h(x)
=
6-2x
【詳細解答】
f(x)=lnx+2x-6=0，
lnx
=6-2x，
設函數g(x)=
lnx，
h(x)=
6-2x，在同一直角坐標系中
分別作出函數g(x)，h(x)的圖像如圖所示，由圖知函數
g(x)=
lnx
g(x)與函數h(x)的圖像只有1個交點，函數f(x)=
lnx+
2x-6只有1個零點。
0
1
2
3
x
5、判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出零點：
（1）f(x)=1-
（x+3）；
（2）f(x)=
-3；
（3）f(x)=
。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點與方程根的關系。
【解題思路】根據函數零點的性質和函數零點與方程根的關系，結合各函數解析式與零相等得到的方程，分別求解方程就可得出結果。
【詳細解答】（1）
f(x)=1-
（x+3）=0，
（x+3）=1，x+3=2，x=-1，即函數f(x)=1-
（x+3）有一個零點為x=-1；（2）
f(x)=
-3=0，=3，
x-1=3，x=1+3，即函數f(x)=
-3有一個零點為x=1+3；（3）
f(x)
=
=0，+4x-12=0，且x-20，x=-6，函數f(x)=
有一個零點x=-6。
6、設函數f(x)=-3x-2，若g(x)=2-。
（1）求g(x)的解析式；
（2）畫出函數g(x)的圖像；
（3）求出函數g(x)的零點（精確到0.1）。
【解析】
【知識點】①求函數解析式的基本方法；②作函數圖像的基本方法；③函數零點存在定理及運用；④二分法求函數零點的基本方法。
【解題思路】（1）運用求函數解析式的基本方法就可求出函數g(x)的解析式；（2）根據作函數圖像的基本方法作出函數g(x)的圖像；（3）運用函數零點存在定理和二分法求函數零點的基本方法就可求出函數g(x)的零點。
【詳細解答】（1）函數f(x)=--3x-2，函數g(x)=2-，
g(x)=2-
=2-，即：g(x)的解析式為：g(x)=
2-；（2）作出函數g(x)=
2-的圖像如圖所示；（3）由（2）知
y
函數g(x)的零點在（-3，-）或（-，0）內，
在（-3，-）或（-，0）上，（x+1）（x+2）>0，
-3
-2
-1
0
1
x
g(x)=
2-=0，（x+1）（x+2）-=0，+3x+2-=0，
x==，x-0.2或x-2.8，即函數g(x)的零點為x-0.2或x-2.8。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與函數零點定義相關的問題，解答這類問題需要理解函數零點的定義，同時注意方程的解，函數圖像與X軸的交點，函數零點之間的關系；
（2）方程的解，函數圖像與X軸的交點，函數零點之間的關系是：方程f(x)=0有解函數y=f(x)的圖像與X軸有交點函數y=f(x)有零點；
（3）判斷函數是否有零點（或零點個數）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，則方程有幾個解函數y=f(x)就有幾個零點；②運用函數零點存在定理，具體運用定理時應該注意：1＞函數y=f(x)在區間〔a,b〕上的圖像是連續的曲線，2＞f(a).f(b)<0，3＞結合函數的圖像和性質得出結果；③數形結合法：把問題轉化為函數圖像與X軸的交點問題（或兩個函數圖像的交點的問題）。
〔練習1〕解答下列問題：
1、函數f(x)=xcos在區間［0，4］上零點的個數為（
）
A
4
B
5
C
6
D
7
2、已知函數f(x)=lnx-
的零點為，則所在的區間是（
）
A
（0，1）
B
（1，2）
C
（2，3）
D
（3，4）
3、已知函數f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一個零點為1，則函數f(x)的所有零點為
；
4、設函數y=與y=的圖像的交點為（，），若（n，n+1），nN，則所在的區間是
；
5、利用函數圖像判斷下列方程有沒有根，如果有，有幾個根？
①-+3x+5=0
；
②2x（x-2）=-3；
③=4x-4；
④5+2x=3+5。
6、已知函數f(x)=sin2x-2sinx。
（1）求函數f(x)的最大值；
（2）求函數f(x)的零點的集合。
【典例2】解答下列問題：
1、設函數f(x)=4sin(2x+1)-x，則在下列區間中函數f(x)不存在零點的是（
）
A
〔-4,-2〕
B
〔-2,0〕
C
〔0,2〕
D
〔2,4〕
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點垂直定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，對各選項的區間進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，
f(-4)=4sin(-8+1)+4==4sin(-7)+4>0，f(-2)=4sin(-4+1)+2==4sin(-3)+2>0，
f(-4).
f(-2)>0，函數f(x)=4sin(2x+1)-x在〔-4，-2〕不存在零點，選A。
2、函數f(x)=
-
的零點所在的區間為（
）
A
（0,1）
B
（1,2）
C
（2,3）
D
（3,4）
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點垂直定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，對各選項的區間進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，
f(0)=
-
0=4-0=4>0，f(1)=
-
1=2-1=1>0，
f(0).
f(1)>0，
函數f(x)=
-
在（0，1）上沒有零點；對B，
f(2)=
1-
8=-7<0，
f(1).
f(2)<0，
函數f(x)=
-
在（1，2）上有零點，選B。
3、已知函數y=f(x)(x∈R)滿足：f(x+1)=-f(x)，且當x∈〔-1,1〕時，f(x)=|x|，函數g(x)
=
sin(x)，x＞0,則函數h(x)=f(x)-g(x)在區間〔-5,5〕上的零點的個數為（
）
-
，x＜0，
A
8
B
9
C
10
D
11
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點垂直定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，結合h(x)=f(x)-g(x)=0，
f(x)=g(x)，在同一直角坐標系中分別作出函數f(x)，g(x)在區間〔-5,5〕上的圖像，根據兩個函數圖像交點的個數就能得出選項。
y
【詳細解答】
h(x)=f(x)-g(x)=0，
f(x)
=g(x)，在同一直角坐標系中分別作出函數f(x)，
1
g(x)在區間〔-5,5〕上的圖像如圖所示，由圖知
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
函數函數f(x)，g(x)的圖像在區間〔-5,5〕上有
-1
9個交點，B正確，選B。
4、若a＜b＜c，則函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區間（
）
A
（a，b）和（b，c）內
B
（-，a）和（a，b）內
C
（b，c）和（c，+）內
D
（-，a）和（c，+）內
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點垂直定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，對各選項的區間進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】
f(a)=(a-a)(a-b)+(a-b)(a-c)+(a-c)(a-a)=
(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-a)
(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)(b-a)=
(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)+(c-b)(c-c)
+(c-c)(c-a)
=
(c-a)(c-b)>0，
f(a).
f(b)<0，f(b).
f(c)<0，函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)
+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區間（a，b）和（b，c）內，A正確，選A。
5、指出下列函數零點所在的大致區間：
（1）f(x)=-
-3x+5；
（2）f(x)=2xln(x-2)-3；
（3）f(x)=
+4x+4；
（4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x；
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②確定函數零點所在區間的基本方法。
【解題思路】運用函數零點垂直定理和確定函數零點所在區間的基本方法就可得出函數零點所在的大致區間。
【詳細解答】（1）
f(1)=-1-3+5=1>0，f(2)=-8-6+5=-9<0，
f(x)>0在（-，0]上恒成立，f(x)<0在[2，+）上恒成立，函數f(x)=-
-3x+5的零點所在的大致區間為（1，2）；
（2）
f(3)=6ln（3-2）-3=-3<0，f(4)=8ln（4-2）-3=8ln2-3>4-3>0，函數f(x)在（2，+）上單調遞增，函數f(x)=2xln(x-2)-3的零點所在的大致區間為（3，4）；（3）
f(-1)=
-4+4=>0，f(-2)=
-8+4=-4<0，函數f(x)在R上單調遞增，函數f(x)=
+4x+4的零點所在的大致區間為（-2，-1）；（4）
f(2)=34（-1）6+2=-72+2=-70<0，
f(3)=3507+3=0+3=3>0，f(-2)=30（-5）2-2=0-2=-2<0，f(-3)=3（-1）（-6）1-3
=18-3=15>0，f(-4)=3（-2）（-7）0-4=0-4=-4<0，f(x)<0在（-，-4]上恒成立，f(x)>0在[3，+）上恒成立，函數f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x的零點所在的大致區間為（-3，-4），（-3，-2），（2，3）。
6、判斷下列函數在給定區間上是否存在零點：
（1）f(x)=-3x-18，x
［1，8］；
（2）f(x)=
（x+2）-x，x
［1，3］。
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點垂直定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，對函數在給定區間進行判斷就可得出結果。
【詳細解答】（1）
f(1)=1-3-18=-20<0，f(8)=64-24-18=64-42=22>0，函數f(x)=
-3x-18在區間［1，8］上存在零點；（2）
f(1)=
（1+2）-1=3-1>0，f(3)=
（3+2）-3=5-3<0，函數f(x)=
（x+2）-x，在區間［1，3］上存在零點。
7、已知函數f(x)的圖像連續不斷，且有下列表中的對應值：
X
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
說明函數y=f(x)在哪幾個區間有零點，并說明理由。
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點存在定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，根據表中的對應值，對函數在各區間上進行判斷就可得出結果。
【詳細解答】由表中的對應值可得：f(2).
f(3)<0，f(3).
f(4)<0，f(4).
f(5)<0，函數y=f(x)在區間（2，3），（3，4），（4，5）上均勻有零點。
『思考問題2』
（1）【典例2】是判斷函數零點所在區間（或在給定區間上是否有零點）的問題，解答這類問題應該理解和掌握函數零點存在定理和判斷函數零點所在區間（或在給定區間上是否存在零點）的基本方法；
(2)判斷函數零點所在區間（或在給定區間上是否存在零點）的基本方法是：①運用函數零點存在定理；②
數形結合法；
（3）運用函數零點存在定理判斷函數零點所在區間（或在給定區間上是否存在零點）時，應該注意：如果函數y=f(x)的圖像是連續不間斷的，則有：①當函數y=f(x)的圖像通過零點（不是二重零點）時，函數值不一定要符號互異；②在相鄰兩個零點之間所有函數值保持相同的符號；
（4）由零點存在定理能夠判斷函數y=f(x)的零點一定存在，但對零點的個數并不確定；
（5）如果函數y=f(x)在區間〔a,b〕上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)＞0，那么函數y=f(x)在區間〔a,b〕上不一定就沒有零點；
（6）如果函數y=f(x)在區間〔a,b〕上的圖像是連續不斷的一條曲線，且是單調函數，f(a).f(b)＞0，那么函數y=f(x)在區間〔a，b〕上有
唯一的零點；
（7）判斷零點個數的方法有：①解方程法，通過解方程求出方程的解，有多少個解就有多少個零點；②零點存在定理，結合函數的性質確定零點的個數；③數形結合法，轉化為兩個函數圖像的交點個數來確定零點的個數。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)=
-x在下列區間中，包含f(x)零點的區間是（
）
A
（0，1）
B
（1，2）
C
（2，4）
D
（4，+
）
2、根據表格中的數據，可以判斷方程-x-2=0必有一個根在區間（
）
x
-1
0
1
2
3
A
（-1，0）
B
（0，1）
0.37
1
2.72
7.39
20.09
C
（1，2）
D
（2，3）
x+2
1
2
3
4
5
3、方程=的解所在的區間是（
）
A
（2，3）
B
（1，2）
C
（0，1）
D
（-1，0）
4、對于函數f(x)，若f(-1).f(3)＜0，則（
）
A方程f(x)=0一定有實數解
B方程f(x)=0一定無實數解
C方程f(x)=0一定有兩實數解
D方程f(x)=0可能無實數解
5、函數f(x)=lnx+2x-8的零點所在區間為（
）
A
（1，2）
B
（2，3）
C
（3，4）
D
（4，5）
6、指出下列函數零點所在的大致區間：
①f(x)=2-3x-5；
②f(x)=xln(2x-3)-3；
③f(x)=
+4x+4；
④f(x)=(x-2)(x+3)(x-4)+x；
7、已知函數f(x)的圖像連續不斷，且有下列表中的對應值：
X
-2
0
1
2
3
4
f(x)
9
-5
-6
-3
4
15
說明函數y=f(x)在哪幾個區間有零點，并說明理由。
【典例3】解答下列問題：
1、下列函數圖像與X軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數零點的是（
）
y
y
y
y
0
A
x
0
B
x
0
C
x
0
D
x
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②二分法求函數零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點存在定理和二分法求函數零點的基本方法，根據各選項的圖像就可得出選項。
【詳細解答】運用二分法的前提條件是函數在區間上只有唯一的零點，A中的圖像不滿足這個條件，A不能用二分法求圖中函數零點，選A。
2、在二分法求方程-x-1=0的一個近似解時，現在已經將根鎖定在區間（1，2）內，則下一步可斷定該根所在的區間為（
）
A
（1，）
B
（，2）
C
［1，］
D
（，2）
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②二分法求函數零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點存在定理和二分法求函數零點的基本方法，根據各選項的圖像就可得出選項。
【詳細解答】
f(1)=1-1-1=-1<0，f()=--1=-<0，f(2)=4-2-1=1>0，
f().
f(2)<0，函數f(x)的零點在區間（，2），B符合，選B。
3、求下列函數的零點：
（1）f(x)=-2x-3；
（2）f(x)=lnx+2x-6在區間（2，3）內；
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②二分法求函數零點的基本方法。
【解題思路】（1）運用求解一元二次方程的基本方法就可求出函數f(x)的零點；（2）運用函數零點存在定理和二分法求函數零點的基本方法就可求出函數f(x)的零點。
【詳細解答】（1）由方程-2x-3=0解得：x=-1或x=3，
函數f(x)=-2x-3的零點是x=-1或x=3；（2）
f(2)=ln2+4-6<5-6=-1<0，f()=ln
+5-6=
ln
-1<0，f(3)=ln3+6-6
=ln3>0，f().f(3)<0，
函數f(x)=
lnx+2x-6的零點在區間（，3）內，
f()=ln
+
-6=
ln->0，f().f()<0，
函數f(x)=
lnx+2x-6的零點在區間（，）內，即：函數f(x)=
lnx+2x-6的零點x。
4、用二分法求下列方程的近似解（精確度為0.1）：
（1）+3x=7；
（2）+5=6+3x；
（3）（x+1）(x-2)(x-3)=1在區間（-1，0）內；
（4）-1=lnx在區間（0，1）內；
（5）f(x)=lnx-
在區間（2，3）內。
【解析】
【知識點】①函數零點存在定理及運用；②二分法求函數零點的基本方法。
【解題思路】運用函數零點存在定理和二分法求函數零點的基本方法就可分別求出各函數f(x)的零點。
【詳細解答】（1）設f(x)=
+3x-7，
f(1)=2+3-7=-2<0，f(2)=4+6-7=3>0，
函數f(x)=
+3x-7的零點在區間（1，2）內，
f()=2+
-7=2->0，f(1).
f()<0，
函數f(x)=
+3x-7的零點在區間（1，）內，
f()=2+-7=2-<0，f().
f()<0，
函數f(x)=
+3x-7的零點在區間（，）內，
f()=2+-7
=2-<0，f().f()<0，
函數f(x)=
+3x-7的零點在區間（，）內，
-=<0.1，方程+3x=7的近似解為x；（2）+5=6+3x，
5+3x-5=0，設f(x)=
5+3x-5，
f(0)=0+0-5=-5<0，f(1)=5+3-5=3>0，f(-1)=5-3-5=-3<0，f(-2)=20-6-5=9>0，函數f(x)零點在區間（-2，-1）或（0，1）內，
f(-)=--5=>0，
f()=+-5=-<0，函數f(x)零點在區間（-，-1）或（，1）內，
f(-)=
--5=-<0，f()=+-5=>0，函數f(x)零點在區間（-，-）或（，）內，
f(-)=--5=>0，f()=+-5=-<0，函數f(x)零點在區間（-，-）或（，）內，
f(-)=--5=-<0，f()=+-5=-<0，函數f(x)零點在區間（-，-）或（，）內，-+=<0.1，-=<0.1，
方程+5=6+3x的近似解為x-或x；（3）設f(x)=（x+1）(x-2)(x-3)-1，
f(-1)=0-1=-1<0，f(-)=（-）（-）-1=-1=>0，函數f(x)零點在區間（-1，-）內，
f(-)=（-）（-）-1=-1=>0，函數f(x)零點在區間（-1，-）內，
f(-)=（-）（-）-1=-1=>0，函數f(x)零點在區間（-1，-）內，
f(-)=（-）（-）-1=-1=-<0，函數f(x)零點在區間（-，-）內，-+=<0.1，方程（x+1）(x-2)(x-3)=1的近似解為x-；（4）設f(x)=
-1-lnx，
f(1)=0.8-1-0=-0.2<0，f()=-1+ln2>0.8-1+ln2=-0.2+ln2>0，
函數f(x)零點在區間（，1）內，f()=-1-ln<0.5-1-ln=-0.5-ln<0，函數f(x)零點在區間（，）內，f()=-1-ln>0.5-1-ln=-0.5-ln>0，函數f(x)零點在區間（，）內，f()=-1-ln<0.5-1-ln=-0.5-ln<0，函數f(x)零點在區間（，）內，-=<0.1，方程-1=lnx的近似解為x；（5）
f(3)=ln3->1-=>0，f()=ln-<0，函數f(x)零點在區間（，3）內，
f()=ln->0，函數f(x)零點在區間（，）內，
f()=ln->0，函數f(x)零點在區間（，）內，
f()=ln-<0，函數f(x)零點在區間（，）內，-=<0.1，方程lnx-
=0的近似解為x。
『思考問題3』
（1）【典例3】是運用二分法求方程近似解的問題，解答這類問題需要理解函數零點存在定理和精確度的定義，掌握二分法求方程近似解的基本方法；
（2）對于在區間〔a,b〕上連續不斷，且f(a).f(b)<0的函數f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在區間二等分，使區間的兩個端點與函數零點無限逼近，進而得到函數零點的方法，叫做二分法；
（3）給出精確度，用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟為：①確定函數零點所在的區間[a，b]；②取c=
；③求出f(c)的值，1）若f(c)=0，則c就是函數f(x)的零點；2）若f(c).f(a)<0，則零點在區間[a，c]內；3）若f(c).f(b)<0，則零點在區間[a，c]內；④判斷零點是否達到精確度（即|零點的近似值-|＜），從而得到零的近似值，否則重復②至④；
（4）注意“精確度”與“精確到”具有不同的含義：①精確度為0.1是指函數零點的近似值與零點差的絕對值小于0.1；②精確到0.1是指得到函數的零點要近似到小數點后的1位。
〔練習3〕解答下列問題：
1、用二分法求函數f(x)=
-x-4的一個零點，其參考數據如下：
f(1.6000)=0.200
，
f(1.5875)=0.133
，f(1.5750)=0.067
，f(1.5625)=0.003
，f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060，據此數據，可知方程-x-4=0的一個近似解（精確度0.01）可取
；
2、用二分法求方程的近似解（精確度為0.1）；
（1）-x-2=0；
（2）+3x+7=0；
（3）+1.1+0.9x-1.4=0在區間（0，1）內；
（4）x=3-lgx在區間（2，5）內。
【典例4】解答下列問題：
1、設函數f(x)=
-ax(a＞0)的零點都在區間〔0，5〕上，且函數g(x)=
與函數h(x)=
-a的圖像的交點的橫坐標為正整數，則實數a的取值有（
）
A
3個
B
4個
C
5個
D
無數個
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質和函數零點存在定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式組，求解不等式組得出實數a的取值范圍，從而確定實數a取值的個數就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=
-ax(a＞0)的零點都在區間〔0，5〕上，由f(x)=
-ax=0解得：
x=0或x=，0<5，0與函數h(x)=
-a的圖像的交點的橫坐標為正整數，-ax-1=0有正整數解，當x=1時，1-a-1=0，a=0；當x=2時，16-2a-1=0，a=；當x=3時，81-3a-1=0，a=；當x=4時，256-4a-1=0，a=
；當x=5時，625-5a-1=0，a=
；當x=6時，1296-6a-1=0，a=
；聯立①得：a=或a=或或，綜上所述，滿足題意實數a的取值共有4個，B正確，選B。
2、函數f(x)=
--a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是（
）
A
（1，3）
B
（1，2）
C
（0，3）
D
（0，2）
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質和函數零點存在定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式，求解不等式得出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=
--a的一個零點在區間（1，2）內，且在（1，2）上單調遞增，f(1)=
2-2-a=-a，f(2)=
4-1-a=3-a，
f(1).
f(2)=-a（3-a）<0，0--a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是（0，3），C正確，選C。
3、設函數f(x)=
，g(x)=
a+bx(a，bR，a0)，若y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個不同的公共點A（，），B（，），則下列判斷正確的是（
）
A
當a＜0時，+＜0，+＞0
B
當a＜0時，+＞0，+＜0
C
當a＞0時，+＜0，+＜0
D
當a＞0時，+＞0，+＞0
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質和函數零點存在定理，結合問題條件對關于參數a>0（a<0）分別確定+，+的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個不同的公共點，方程a+bx
-=0有兩個不同的實數根，，a+b-1=a（x-）=a（-2+x
-+2x-），b=a（-2-）.+2=0，-a=-1，+2=0，a,0，①當a>0時，>0，+=-<0，+=+=>0；②當a<0時，<0，+=->0，+=+=<0，B正確，選B。
4、已知函數f(x)=
x+x-b(a＞0，且a≠1)，當2＜a＜3＜b＜4時，函數f(x)的零點∈（n，n+1），n∈，則n=
；
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質和函數零點存在定理，結合問題條件確定函數f(x)的零點所在的區間，從而求出實數n的值。
【詳細解答】2＜a＜3＜b＜4，f(1)=0+1-b=1-b
<0，f(2)=
2+2-b<1+2-b=3-b<0，f(3)=
3+3-b>1+3-b=4-b>0，函數f(x)的零點在區間（2，3）內，函數f(x)的零點∈（n，n+1），n∈，n=2。
5、已知函數f(x)=|+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是
；
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質和函數零點存在定理，結合問題條得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
y
【詳細解答】設函數g(x)=
a|x-1|，方程f(x)
-a|x-1|=0，方程f(x)=a|x-1|，在同一直角坐
f(x)=|+3x|
g(x)=
a|x-1|
標系作出函數f(x)，g(x)的圖像如圖所示，由圖可
-3
-2
-1
0
1
x
知方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，
函數f(x)，g(x)的圖像恰有4個不同的交點，且4個交點的橫坐標都小于1，聯立函數f(x)，g(x)的解析式所得的方程：+（3-a）x+a=0有兩個不相等的實數根，=-4a=-10a+9>0，a<1或a>9，由圖知a>0，09，即：若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是（0，1）（9，+
）。
6、已知函數f(x)=-+2ex+m-1，g(x)=x+(x＞0)。
（1）若g(x)=m有零點，求m的取值范圍；
（2）確定m的取值范圍，使得g(x)-
f(x)=0有兩個相異實根。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用；③求函數零點的基本方法。
【解題思路】（1）運用函數零點的性質和求函數零點的基本方法得到關于參數m的不等式，求解不等式就可求實數m的取值范圍；（2）運用函數零點的性質和求函數零點存在定理定點關于參數m的不等式，求解不等式就可求實數m的取值范圍。
【詳細解答】（1）
g(x)=m有零點，方程x+-m=0有實數根，x+
2
2e，當且僅當x=e時等號成立，
函數g(x)的值域為[2e，+
），m2e，若g(x)=m有零點，則實數m的取值范圍是[2e，+
）；（2）方程g(x)-
f(x)=0有兩個相異實根，函數g(x)，
f(x)的圖像由兩個不同的交點，在同一直角
y
g(x)=x+
坐標系中作出函數g(x)，
f(x)的圖像如圖所示，函
2e
------
數f(x)=-+2ex+m-1=-
+m-1+
圖像的對稱
f(x)=-+2ex+m-1
軸為x=e，開口向下，最大值為m-1+
，由圖知，當
0
e
x
m-1+
>2e，即m>1-
+2e時，函數g(x)，
f(x)的圖像由兩個不同的交點，即方程g(x)-
f(x)=0有兩個相異實根，若g(x)-
f(x)=0有兩個相異實根，則實數m的取值范圍是（1-
+2e，+
）。
『思考問題4』
（1）【典例4】是已知函數零點個數（或函數零點所在的區間）求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要理解函數零點的定義和函數零點存在定理，掌握求函數零點的基本方法，注意該類問題的常見類型的特征和解答的基本方法；
（2）已知函數零點個數（或函數零點所在的區間）求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題常用方法有：①直接法；②分離參數法；③數形結合法；
（3）直接法的基本方法是：①判斷函數的單調性；②利用零點存在定理得到關于參數的不等式（或不等式組），③求解不等式（或不等式組）得出參數的值（或取值范圍）；
（4）分離參數法的基本方法是：①把原函數解析式中的參數分離出來與一個新函數構成不等式；②求出新函數的最值；③得出參數的值（或取值范圍）；
（5）數形結合法的基本方法是：①對解析式變形，化為兩個函數相等的等式；②在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像；③根據所作函數圖像得出的值（或取值范圍）。
〔練習4〕解答下列問題：
1、若函數f(x)=3ax+1-2a在區間（-1,1）內存在一個零點，則a的取值范圍是（
）
A
a＞
B
a＞或a＜-1
C
-1＜a＜
D
a＜-1
2、已知方程|
-a|-x+2=0(a＞0)有兩個不等的實數根，則實數a的取值范圍是（
）
A
0＜a＜4
B
a＞4
C
0＜a＜2
D
a＞2
3、已知函數f(x)=
x
，x
0，若函數g(x)=f(x)-m有三個不同的零點，則實數m的取值范
-x，x＞0，圍是（
）
A
［-，1］
B
［-，1）
C
（-，0）
D
（-，0］
3、若函數f(x)=
-2x-a在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是
；
4、已知函數f(x)=
+x+a（a＜0）在區間（0，1）上有零點，則a的取值范圍為
；
5、若函數f(x)=|
-2|-b有兩個零點，則實數b的取值范圍是
。
【典例5】解答下列問題：
1、若一元二次方程a+2x+1=0（a0）有一個正根和一個負根，則有（
）
A
a＜0
B
a＞0
C
a＜-1
D
a＞1
【解析】
【知識點】①一元二次方程的定義與性質；②一元二次方程根的判別式及運用；③一元二次方程根與系數的關系定理及運用。
【解題思路】運用一元二次方程的性質和一元二次方程根與系數的關系定理得到關于參數a的不等式，求解不等式求出參數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】元二次方程a+2x+1=0（a0）有一個正根和一個負根，<0，即a<0，
A正確，選A。
2、滿足a，b{-1，0，1，2}，且關于x的方程a+2x+b=0有實數解的有序數對（a，b）的個數為（
）
A
14
B
13
C
12
D
10
【解析】
【知識點】①參數分類討論的原則與基本方法；②一元二次方程的定義與性質；③一元二次方程根的判別式及運用。
【解題思路】運用參數分類討論的原則與基本方法，一元二次方程的性質和一元二次方程根的判別式，分別確定出參數a，b的可能取值，從而得到所有可能有序數對（a，b）的個數就可得出選項。
【詳細解答】①當a=0時，方程a+2x+b=0，2x+b=0，b在{-1，0，1，2}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；②當a=-1時，=4+4b=4（1+b），1+b0，即b-1，方程a+2x+b=0有實數解，
b在{-1，0，1，2}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；③當a=1時，=4-4b=4（1-b），1-b0，即1b，方程a+2x+b=0有實數解，
b在{-1，0，1}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（1，-1），（1，0），（1，1）；④當a=2時，=4-8b=4（1-2b），1-2b0，即b，方程a+2x+b=0有實數解，
b在{-1，0}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（2，-1），（2，0），綜上所述，若滿足a，b{-1，0，1，2}，且關于x的方程a+2x+b=0有實數解的有序數對（a，b）的個數為13個，B正確，選B。
3、方程+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，則m的取值范圍為
；
【解析】
【知識點】①一元二次方程的定義與性質；②一元二次方程根的判別式及運用；③一元二次方程根與系數關系定理及運用。
【解題思路】運用一元二次方程的性質，根的判別式和根與系數關系定理，結合問題條件得到關于參數m的不等式組，求解不等式組就可求出實數m的取值范圍。
【詳細解答】設方程+（m-2）x+5-m=0的兩根分別為，，<，方程+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，=-4（5-m）=-160①，（-2）（-2）=-2（+）+4=5-m+2m-4+4=m+5>0②，聯立①②解得：-5[4，+）。
4、已知函數f(x)=
+（-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②一元二次方程的定義與性質；③一元二次方程根的判別式及運用；④一元二次方程根與系數關系定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質，一元二次方程的性質，根的判別式和根與系數關系定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】設方程+（-1）x+（a-2）=0的兩根分別為，，<，函數f(x)=
+（-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，=-4（a-2）
=-2-4a+90①，（-1）（-1）=-（+）+1=a-2+-1+1
=+a-2<0②，聯立①②解得：-2+（-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，則實數a的取值范圍是（-2，1）。
5、已知函數f(x)=
m+（m-3）x+1的零點至少有一個大于0，求實數m的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②參數分類討論的原則與基本方法；③一元二次方程定義與性質；④一元二次方程根的判別式及運用；⑤一元二次方程根與系數關系定理及運用。
【解題思路】運用函數零點的性質，參數分類討論的原則與基本方法，一元二次方程的性質，根的判別式和根與系數關系定理，結合問題條件分別得到關于參數m的不等式（或不等式組），求解不等式（或不等式組）就可求出實數m的取值范圍。
【詳細解答】①當m=0時，函數f(x)=
m+（m-3）x+1=-3x+1的零點為x=>0，函數f(x)=
m+（m-3）x+1的零點至少有一個大于0；②當m
0時，設函數f(x)=
m+（m-3）x+1的零點方分別為，，<，若<0，>0，由=-4m=-10m
+90，且.=<0解得：m<0，若0<<，由=-4m=-10m+90，且
.=>0解得：0m+（m-3）x+1的零點至少有一個大于0，則實數m的取值范圍是（-，1]
[9，+）。
『思考問題5』
（1）【典例5】是一元二次函數零點的問題，解答這類問題需要注意一元二次函數，一元二次方程知識的綜合運用，特別是韋達定理和一元二次函數的圖像及性質的運用；
（2）求解已知含參數的一元二次函數的零點存在情況求參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據韋達定理和參數分類討論的原則與基本方法，并結合一元二次函數的圖像分別得到關于參數的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③綜合分類討論得出參數的值（或取值范圍）。
〔練習5〕解答下列問題：
1、若函數f(x)=
(m-2)+mx+2m+1的兩個零點分別在區間（-1，0）和區間（1，2）內，則實數m的取值范圍是
；
2、若方程-2mx+2=0的兩個不同根都小于1，則實數m的取值范圍是
；
3、已知函數f(x)=
2(m+1)+4mx+2m-1，如果函數的兩個零點在原點的兩側，則實數m的取值范圍是
；
4、方程-（k+2）x+1-3k=0有兩個不等的實數根
，，且0＜＜1＜＜2，則實數k的取值范圍是
；
5、若方程a-x-1=0在（0，1）內恰有一解，求實數a的取值范圍。

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