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排列、組合中“至少型”問題求解策略
含“至少”、“至多”相關排列、組合題目，題型變化較大，解法不唯一，難度較大，為幫助大家領會這類題目求解策略，本文剖析幾點求解技巧。
1、
直接討論求解
例1、
某校開設門課程供學生選修，其中三門由于上課時間相同，至
多選一門．學校規定，每位同學選修門，共有_____種不同的選修方案．（用數值作答）
例2、5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法
共有（
）
A、150種
B、180種
C、200種
D、280種
2、
間接求解
例3、現有尺碼各不相同的5雙鞋，若從中取出5只，至少有2只能配成一雙（尺碼相
同）的不同取法有多少種？
例4、我們班有43位同學，從中任選5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內
的選法有多少種？
3、
構造模型隔板求解
例5、某地區有9所學校，現有先進教師名額11個，要求每所學校至少有一個名額，共有多少種不同的分配方法？
4、
等價轉化法
例6、圓上有9個點，每兩點連一線段，所有線段在圓內至多有多少個交點？
排列、組合中“至少型”問題求解策略（答案）
含“至少”、“至多”相關排列、組合題目，題型變化較大，解法不唯一，難度較大，為幫助大家領會這類題目求解策略，本文剖析幾點求解技巧。
5、
直接討論求解
例1、
某校開設門課程供學生選修，其中三門由于上課時間相同，至
多選一門．學校規定，每位同學選修門，共有_____種不同的選修方案．（用數值作答）
解：設上課時間相同的三門課為A，B，C，由題意知：滿足題意的選修方案有兩類：第一類是所選的4門全來自于除A，B，C外的六門課程，則不同的選修方案有＝15種；第二類是所選的4門中有且僅有一門來自于A，B，C，另外三門從除A，B，C外的六門課程中選擇，則不同的選修方案有＝60種，由分類加法計數原理可得滿足題意下選修方案共有15＋60＝75種。
點評：組合與順序無關，解題時首先判斷是組合問題還是排列問題。本題與順序無關，解題時需要把9門課程分為兩類，即A，B，C三門課程與除A，B，C外的六門課程，然后進行安排。
例2、5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法
共有（
）
A、150種
B、180種
C、200種
D、280種
解：人數分配上有1，2，2，與1，1，3兩種方式：
（1）若是1，2，2，有種；
（2）若是1，1，3，有種，
所以共有90＋60＝150種，故選A.
點評：合理運用排列、組合公式，結合分類計數原理，從而解決了問題。
6、
間接求解
例3、現有尺碼各不相同的5雙鞋，若從中取出5只，至少有2只能配成一雙（尺碼相
同）的不同取法有多少種？
解：因為5只鞋中無兩只配成一雙的取法共有種，所以至少有兩只能配成一雙的取法有種。
例4、我們班有43位同學，從中任選5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內
的選法有多少種？
分析：此題若是直接去考慮的話，就要將問題分成耗幾種情況，這樣解題，容易造成
遺漏或者重復的情況。而如果從此問題相反的方面去考慮，不但容易理解，而且在計算中也是非常的簡便，可以簡化計算過程。
解：43人中任選5人的方法有種，正、副班長、團支部書記都不在內的選法有種，所以正、副班長、團支部書記至少有1人在內的選法有－種。
7、
構造模型隔板求解
例5、某地區有9所學校，現有先進教師名額11個，要求每所學校至少有一個名額，共有多少種不同的分配方法？
解：因為名額沒有區別，因此，可以在11個名額所產生的10個空隙中插入8個板，即將這11個名額分成9份，有種分配方法。
點評：這類問題的特征是：（1）被分的元素沒有區別；（2）被分的元素的個數不小于分得的組數；（3）每個小組至少分得一個元素。具備這些條件時就可以用公式：將n個相同的元素分成m份（）時，有種分配方法。
8、
等價轉化法
例6、圓上有9個點，每兩點連一線段，所有線段在圓內至多有多少個交點？
解：本題直接求解比較困難，如果轉換角度，建立下面對應關系：線段AC、BD在圓
內交于點P，連接AB、BC、CD、DA得到一個四邊形ABCD，于是問題等價轉化為：9個點可構成多少個圓內接四邊形。故所有線段在圓內至多有個交點。

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