資源簡介

第十二章
實數
第一節實數的概念
12.1實數的概念
有理數和無理數統稱為實數。
實數按如下方式分類：
正有理數
有理數
零
有限小數或無限循環小數
負有理數
實數
正無理數
無理數
無限不循環小數
負無理數
實數和數軸上的點一一對應，即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點表示一個實數。
正數大于零，負數小于零，正數大于負數。
兩個正數，絕對值大的數較大，兩個負數，絕對值大的數反而小。
無理數：無限不循環小數叫做無理數，有理數和無理數統稱為實數。
第二節數的開方
12.2平方根和開平方
如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根，也就做二次方根。
求一個數ɑ的平方跟的運算叫做開平方，ɑ叫做被開方數。
一個正數a的平方根有兩個，它們互為相反數。零的平方根是零；負數沒有平方根。
正數ɑ的兩個平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算術平方根)，讀作“根號a”；表示ɑ的負平方根，讀作“負根號ɑ”。
零的平方根記作√0，√0=0.
當a>0時，（）?=a，（）?=a.
當a≥0時，
=a;
當a≤0時，
=－ɑ
12.3
立方根和開立方
如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根，用“”表示，讀作“三次根號ɑ”。中的ɑ叫做被開方數，“3”叫做根指數。
求一個數ɑ的立方根的運算叫做開立方。
正數的立方是一個正數，負數的立方是一個負數，零的立方等于零，所以正數的立方根是一個正數，負數的立方根是一個負數，零的立方根是零。
任意一個實數都有立方根，而且只有一個立方根。
12.4n次方根
如果一個數的n次方(n是大于1的整數)等于ɑ，那么這個數叫做ɑ的n次方根，當n為奇數時，這個數為ɑ的奇次方根；當n為偶數時，這個數為ɑ的偶次方根
求一個數ɑ的n次方跟的運算叫做開n次方，ɑ叫做被開方數，n叫做根指數。
實數ɑ的奇次方根有且只有一個，用“”表示，其中被開方數ɑ是任意一個實數,根指數n是大于1的奇數。
正數ɑ的偶次方根有兩個，它們互為相反數，正n次方根用“”表示，負n次方根用“－”表示，其中被開方數ɑ>0，根指數n是正偶數（當n=2時，在±中省略n)
負數的偶次方根不存在。
零的n次方根等于零，表示為=0
“”讀作“n次根號ɑ”
第三節
實數的運算
12.5用數軸上的點表示數
有理數范圍內絕對值、相反數意義：
一個實數在數軸上所對應的點到原點的距離叫做這個數的絕對值。實數a的絕對值記作∣ɑ∣.
絕對值相等，符號相反的兩個數記作互為相反數；
零的相反數是零。非零實數ɑ的相反數是－ɑ。
實數大小的比較：
負數小于零；零小于正數。
兩個正數，絕對值大的數較大；兩個負數，絕對值大的數較小。
從數軸上看，右邊的點所表示的數總比左邊的點所表示的數大。
兩點間的距離：
在數軸上，如果點A、點B所對應的數分別為ɑ、b，那么
A、B兩點的距離
AB=∣ɑ－b∣.
12.6
實數的運算
設ɑ>0，b>0，可知（·）=（
）?·（）?=ɑb。
根據平方根的意義，得=·。
同理：=
近似數與準確數的接近程度即近似程度。對近似程度的要求，叫做精確度。
對于一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，往右到末位數字為止的所有數字，叫做這個近似數的有效數字。
第四節
分數指數冪
分數指數冪
=（ɑ>0）
=
（ɑ>0）
其中m、n為正整數，n>1.
有理數指數冪有下列性質：
設ɑ>b，b>0，P、q為有理數，那么
（1）·=，
=
（2）=
（3）
本章小結
有理數
實數的分類
無理數
實數
用數軸上的點表示數
運算法則及運算性質
實數的運算
近似數及近似計算
數的開方
分數指數冪
有理數指數冪
運算性質
第十三章
相交線、平行線
第1節
相交線
13.1鄰補角，對頂角
相交線的定義：
在同一平面內，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相交線。
對頂角的定義：
一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。
對頂角的性質：對頂角相等。
鄰補角的定義：
有公共頂點和一條公共邊，并且互補的兩個角稱為鄰補角。
鄰補角的性質：鄰補角互補。
垂線的定義：
垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質2：垂線段最短。
點到直線的距離：
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
同位角：
兩個角都在兩條被截線同側，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角。
內錯角：
兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角。
同旁內角：
兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角。
平行線的概念
在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直
線也平行。
13.2垂線
1.垂線與斜線
通過操作實踐，所得到的結果說明垂線有這樣的基本性質：
在平面內經過直線上或直線外地一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。
2.點到直線的距離
聯結直線外一點與直線上各點得所有線段中，垂線段最短。簡單地說：垂線段最短。
直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離。
13．3同位角，內錯角，同旁內角（三線八角）
第2節
平行線
13.4
平行線的判定
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）
平行線具有以下基本性質：
經過直線外地一點，有且只有一條直線與已知直線平行。
兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。（內錯角相等，兩直線平行）
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。（同旁內角互補，兩直線平行）
13.5
平行線的性質
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。(兩直線平行，同
位角相等)
兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。（兩直線平行，內
錯角相等）
兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。（兩直線平行，
同旁內角互補）
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平
行。（對于直線、、,如果，那么。被稱為平行
的傳遞性）
兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離都
是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離。
第十四章
三角形
第1節
三角形的有關概念與性質
14.1
三角形的有關概念
1.三角形的有關線段
三角形的高，中線，角平分線
2.三角形的分類
銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形
三角形的內角和
三角形的內角和等于。
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；
三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。
三角形的外角和等于。
第2節
全等三角形
全等三角形的概念與性質
能夠重合的兩個圖形叫做全等形。
兩個三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個全等三角形，經過運動后一定重合，相互重合的頂點叫做對應頂點；相互重合的邊叫做對應邊；相互重合的角叫做對應角。
全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
全等三角形的判定
判定方法1
在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為S.A.S）。
判定方法2
在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為A.S.A）。
判定方法3
在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為A.A.S）。
判定方法4
在兩個三角形中，如果有三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡記為S.S.S）。
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”和“HL”。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角。三角形全等的證明思路
　　　　　　　　　找夾角——ＳＡＳ
Ⅰ.已知兩邊　　找直角——ＨＬ
找另一邊——ＳＳＳ
　　　　　　　　　　　　　　　　　找邊的對角——ＡＡＳ
Ⅱ.已知一邊一角　邊為角的鄰邊　找夾角的另一邊——ＳＡＳ
　　　　　　　　　　　　　　　　　找夾邊的另一角——ＡＳＡ
　　　　　　　　　　　
邊為角的對邊——找任意一角——ＡＡＳ
Ⅲ.已知兩角　　找夾邊——ＡＳＡ
　　　　　　　　　找任意一邊——ＡＡＳ
第3節
等腰三角形
等腰三角形的性質
等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）。
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱為“等腰三角形的三線合一”）。
等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角平分線所在的直線。
等腰三角形的判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，這個三角形是等腰三角形（簡稱為“等角對等邊”）。
等邊三角形
等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。
等邊三角形的性質：
等邊三角形的每個內角等于。
判定等邊三角形的方法：
（1）三個內角都相等的三角形是等邊三角形。
（2）有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角。
1、線段的垂直平分線：
定理：
⑴線段垂直平分線上的點與線段兩端距離相等。
與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等。
2、等腰三角形：
性質：
①等腰三角形兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”。
②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊
推論：等邊三角形三個內角相等，每一個內角都等于60°。
定理：
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等，簡稱“等角對等邊”。
推論：①三個角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
3、角的平分線：
定理：
①角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等。
②在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
第十五章
平面直角坐標系
第1節
平面直角坐標系
15.1
平面直角坐標系
在平面內取一點，過點畫兩條互相垂直的數軸，且使它們以點為公共原點。這樣，就在平面內建立了一個直角坐標系。通常，所畫的兩條數軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這條數軸叫做橫軸（記作軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條軸叫做縱軸（記作軸）。如圖所示，記作平面直角坐標系；點叫做坐標原點（簡稱原點），軸和軸統稱為坐標軸。
在平面直角坐標系xOy中，點P所對應的有序實數對（ab)叫做點P的坐標，記作P（a,b)，其中ɑ叫做橫坐標，b叫做縱坐標。
象限的劃分：
經過點A（a,b)且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=ɑ,經過點A(a,b)且垂直于y軸的直線可以表示為直線y=b.
第2節直角坐標平面內點的運動
15.2
直角坐標平面內點的運動
點的坐標
　　有了平面直角坐標系，平面內的點就可以用一個有序數對來表示，a點對應x軸的數值為橫坐標，b點對應y軸的數值為縱坐標，有序數對就叫做點A的坐標，記作（a,b）。
在直角坐標平面內，
平行于x軸的直線上的兩點A(,y)、B(,y)的距離
AB=∣－∣；
平行于y軸的直線上的兩點C(x,)、D(x,)的距離
CD=∣－∣.
點的平移
在平面直角坐標系中，(m>0)
將點（x,y）向右平移m個單位長度，可以得到對應點（x＋m
，y）；
將點（x,y）向左平移m個單位長度，可以得到對應點（x－m，y）；
將點（x,y）向上平移m個單位長度，可以得到對應點（x，y＋m）；
將點（x,y）向下平移m個單位長度，可以得到對應點（x，y－m）。
坐標平面圖
　　
坐標平面圖是由兩條坐標軸和四個象限構成的，也可以說坐標平面內的點可以分為
六個區域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在這六個區域中，除x軸與y軸的一個公共點（原點）之外，其他區域之間都沒有公共點。
建立了直角坐標系的平面叫做直角坐標平面（簡稱坐標平面）。這樣，原來平面內的點都可以用有序實數對來表示。
在平面直角坐標系中，點所對應的有序實數對叫做點的坐標，記作，其中叫做橫坐標，叫做縱坐標。
原點的坐標是。的坐標是，的坐標是。
在平面直角坐標系中對稱點的特點：
①關于x成軸對稱的點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數。
（橫同縱反）
　
②關于y成軸對稱的點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數。
（橫反縱同）
③關于原點成中心對稱的點的坐標，橫坐標與橫坐標互為相反數，縱坐標與縱坐標互為相反數。（橫縱皆反）
一般地，在直角坐標平面內，與點M(x,y)關于X軸對稱的點的坐標為（x,y);與點M(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x,y).
一般地，在直角坐標平面內，與點M(x,y)關于原點對稱的點的坐標為（-x,-y)。

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