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統計問題的類型與解法
統計問題是近幾年高考的熱點內容之一。可以這樣毫不夸張地說，高考試卷中，每卷必有統計問題。從題型上看，可能是選擇題或填空題，也可能是大題，難度為中檔或低檔。縱觀近幾年高考試卷，歸結起來統計問題主要包括：①隨機抽樣的基本方法；②統計表，統計圖和條件指標；③兩個隨機變量之間的相關關系；④線性回歸方程及回歸分析；⑤獨立性檢驗等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答統計問題時到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確的解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、下列抽樣方法是簡單隨機抽樣方法的是（
）
A在某年明信片的銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2700的為三等獎；B某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽取一包產品，稱其重量是否合格；C某學校分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2人，14人，4人了解對學校機構改革的意見；D用抽簽的方法從10件從產品中抽取3件進行質量檢驗；
【解析】
【知識點】①簡單隨機抽樣的定義與性質；②簡單隨機抽樣的基本方法。
【解題思路】運用簡單隨機抽樣的性質和簡單隨機抽樣的基本方法，對各選項進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，在100萬張明信片中，后四位為2700的明信片每一萬張中就有一張，屬于系統抽樣，A不正確；對B，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽取一包產品，屬于等距抽樣，
B不正確；對C，分別從行政人員，教師，后勤人員抽取2人，14人，4人屬于分層抽樣，
C不正確；對D，用抽簽的方法從10件從產品中抽取3件符合簡單隨機抽樣的特征，
D正確，即選D。
2、總體由編號為01，02，----19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始，由左向右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（
）
A
08
B
07
C
02
D
01
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
【解析】
【知識點】①簡單隨機抽樣的定義與性質；②簡單隨機抽樣的基本方法；③隨機數表的結構與運用。
【解題思路】運用簡單隨機抽樣的性質，簡單隨機抽樣的基本方法和隨機數表運用的基本方法，確定出第5個個體的編號就可得出選項。
【詳細解答】從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始，由左向右依次選取兩個數字，得到符合編號為01，02，----19，20的5個號碼是：08，02，14，07，02，第5個個體的編號為02，C正確，選C。
3、某單位有840名職工，現采用系統抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1，2，------，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落在區間［481，720］的人數為（
）
A
11
B
12
C
13
D
14
【解析】
【知識點】①系統抽樣的定義與性質；②系統抽樣的基本方法。
【解題思路】運用系統抽樣的性質和系統抽樣的基本方法，確定出k的值，再確定［481，720］含k的個數就可得出選項。
【詳細解答】k==20，=36-23=13，編號落在區間［481，720］的人數為13人，C正確，選C。
4、將參加夏令營的600名學生編號為001，002，-------，600，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003，這600名學生分住在三個營區，從001到300在第I營區，從301到495在第II營區，從496到600在第III營區，三個營區被抽中的人數依次為（
）
A
26，16，8
B
25，17，8
C
25，16，9
D
24，17，9
【解析】
【知識點】①系統抽樣的定義與性質；②系統抽樣的基本方法。
【解題思路】運用系統抽樣的性質和系統抽樣的基本方法，確定出k的值，再確定區間［001，300］，［301，485］，［496，600］，分別含k的個數就可得出選項。
【詳細解答】=12，=25，=16+，=8+，三個營區被抽取的人數分別為25人，17人，8人，B正確，選B。
5、某工廠生產甲，乙，丙三種型號的產品，產品數量之比為3:5:7，現用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲產品有18件，則樣本容量n等于（
）
A
54
B
90
C
45
D
126
【解析】
【知識點】①分層抽樣的定義與性質；②分層抽樣的基本方法；③分層抽樣中各層抽取數的計算公式及運用。
【解題思路】運用分層抽樣的性質和分層抽樣的基本方法，結合分層抽樣中各層抽取數的計算公式通過運算求出甲種型號產品的抽取數得到關于n的方程，求解方程求出n的值就可得出選項。
【詳細解答】甲，乙，丙三種型號的產品，產品數量之比為3:5:7，用分層抽樣的方法甲種型號產品的抽取數為：==18，n=90，即B正確，選B。
6、一個電視臺在因特網上就觀眾對某一節目的喜愛程度進行調查，參加調查的總人數為12000人，其中持各種態度的人數如下表所示：
很喜愛
喜愛
一般
不喜愛
2435
4567
3926
1072
電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選60人進行更為詳細的調查，為此要進行分層抽樣，在具體抽樣時，各類人中分別應抽選多少人？
【解析】
【知識點】①分層抽樣的定義與性質；②分層抽樣的基本方法；③分層抽樣中各層抽取數的計算公式及運用。
【解題思路】運用分層抽樣的性質和分層抽樣的基本方法，結合分層抽樣中各層抽取數的計算公式通過運算分別求出各類人中應抽選的人數。
【詳細解答】6012（人），6023（人），6020（人），
605（人），各類人中應抽選的人數分別為12人，23人，20人，5人。
『思考問題1』
（1）【典例1】隨機抽樣的問題，解答這類問題需要理解隨機抽樣的定義，了解隨機抽樣中各種抽樣方法的特征與適用范圍，掌握各種隨機抽樣的基本方法；
（2）運用抽簽法必須注意兩個基本條件：①抽簽是否方便，②號簽是否容易攪勻，一般地當總體容量和樣本容量較小時可以采用抽簽法；
（3）運用隨機數時，若遇到三位數或四位數，可以選擇隨機數表中某行某列的數字計起，每三個（或四個）作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或重復號碼舍去；
（4）系統抽樣的特征是：①總體容量較大，②樣本容量較大，③總體中各個個體之間沒有明顯的差異，④每個個體被抽到的可能性相等；
（5）系統抽樣的基本方法是：①將總體中的個體進行統一編號，②把總體平均分成若干個部分（若總體容量不能被樣本容量整除時，可以將總體隨機剔除幾個個體來確定分段間隔），③在第一個部分用簡單隨機抽樣的方法確定開始的個體編號x，④按照每一組的個體數確定個體之間相隔的距離抽取樣本；
（6）分層抽樣的特征是：①總體容量較大，②總體由幾個個體差異明顯的部分構成；
（7）各層樣本單位數的確定可按公式：某層抽取的樣本數=樣本數，通過計算來確定。
〔練習1〕解答下列問題：
1、從全班30名女學生中抽出8名女學生對看足球比賽的喜愛程度進行調查，用抽簽法抽出這個樣本；
2、考生在一次英語考試中要回答的10道題是這樣產生的：從15道聽力題中隨機抽出3道題，從20道解答題中隨機抽出5道題，從10道口試題中隨機抽出2道題，用抽簽法確定某考生所要回答的考題的序號；
3、從全班50名學生中隨機抽選8名學生去參加一項活動，試用隨機數表法把這8名學生抽選出來；
4、某工廠平均每天生產某種機器零件大約10，000件，要求產品檢驗員每天抽取50個零件，檢查其質量狀況，采用系統抽樣方法抽取，若抽取的第一組中的號碼是0010，則第三組抽取的號碼為
；
5、在一次游戲中，獲勝者可得到5件不同的獎品，這些獎品要從已編號的50種不同獎品中隨機抽取確定，用系統抽樣方法確定某獲勝者所得到的5件獎品的編號；
6、一個總體中的100個個體的號碼為0,1,2，------，98,99，并依次將其分為10個小組，組號為0,1,2，------，8,9.要用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定如果在0組（號碼為0,1,2，------8,9）隨機抽取的號碼為x,那么依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼個位數為x+k或x+k-10(如果x+k≥10)，寫出x分別為2與5時，所抽取樣本的10個號碼。
7、一個田徑隊中有男運動員56人，女運動員42人，用分層抽樣方法從全隊的運動員中抽出一個容量為28人的樣本，求男、女運動員應各抽多少人？
8、某市的三個區共有高中學生20000人，且三個區的高中學生的人數之比為2:3:5，現要用分層抽樣方法從所有學生中抽取一個容量為200人的樣本，求這三個區分別應抽取多少人？
9、一個城市有210家百貨商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家，為了掌握各商店的營業情況，要從中抽取一個容量為21的樣本，按照分層抽樣方法抽取樣本時，各類百貨商店要分別抽取多少家？
【典例2】解答下列問題：
1、
以下莖葉圖記錄了甲，乙兩組各5名學生
甲組
乙組
在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），
9
0
9
已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均
x
2
1
5
y
8
值為16.8，則x，y的值分別為（
）
7
4
2
4
A
2,5
B
5,5
C
5,8
D
8,8
【解析】
【知識點】①莖葉圖的定義與性質；②中位數的定義與求法；③平均數的定義與求法。
【解題思路】運用莖葉圖的性質，中位數和平均數的求法，得到關于x，y的方程，求解方程求出x，y的值就可得出選項。
【詳細解答】甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均值為16.8，10+x=15，
=16.8，即：x=5，y=8，C正確，選C。
2、為比較甲，乙兩地某月14時的氣溫情況，
甲地
乙地
隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的
9
8
6
2
8
9
氣溫數據（單位：）制成如圖所示的莖葉
1
1
3
0
1
2
圖，考慮以下結論：
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫標準差小于乙地該月14時的氣溫標準差；④甲地該月14時的氣溫標準差大于乙地該月14時的氣溫標準差；其中根據莖葉圖能得到的統計結論的編號為（
）
A
①③
B
①④
C
②③
D
②④
【解析】
【知識點】①莖葉圖的定義與性質；②標準差的定義與求法；③平均數的定義與求法。
【解題思路】運用莖葉圖的性質，標準差和平均數的求法，分別求出甲，乙兩地該月14時的平均氣溫和氣溫標準差，對各統計結論解析判斷就可得出選項。
【詳細解答】==29，==30，29<30，
①正確，②錯誤；==，
==，>，④正確，③錯誤，B正確，選B。
3、某校隨機抽取100名同學矩形“垃圾分類”的問卷測試，測試結果發現這100名同學的得分在[50，100]內，按得分分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學的得分的中位數為（
）（2020成都市高三一診）
A
72.5
B
75
C
77.5
D
80
【解析】
【知識點】①頻率分布直方圖的定義與性質；②中位數的定義與求法。
【解題思路】運用頻率分布直方圖的性質，中位數的求法，求出這100名同學的得分的中位數就可得出選項。
【詳細解答】分數在[50，70）的頻率=（0.010+0.030）10=0.4<0.5，分數在[50，80）的頻率=（0.010+0.030+0.040）10=0.7>0.5，中位數在[70，80）這一組內，設中位數為70+x，0.4+0.040x=0.5，x==2.5，
這100名同學得分的中位數為70+2.5=72.5（分）
，
A正確，選A。
4、某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽
0.030
y
頻率/組距
出60名學生，將其物理成績（均為整數）分成六
0.025
段［40,50），［50,60），------［90,100）后得到
0.020
如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回
0.015
答下列問題：
0.010
（1）求分數在［70,80）內的頻率，并補全這個頻
0.005
率分布直方圖；
0
405060708090100
成績（分）x
（2）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表，據此估計本次考試中的平均成績。
【解析】
【知識點】①頻率分布直方圖的定義與性質；②頻率的定義與求法；③平均數的定義與求法；④統計估計的基本方法。
【解題思路】（1）運用頻率分布直方圖的性質，頻率的求法，就可求出分數在［70,80）內的頻率；（2）估計組距數列平均數的計算方法求出樣本的平均數，利用統計估計的基本方法就可估計本次考試中的平均成績。
【詳細解答】（1）1-10
（0.005+0.010+2
0.015+0.025）=1-0.7=0.3，分數在［70,80）內的頻率為0.3，補全這個頻率分布直方圖如圖所示；（2）樣本分數的平均數為：
=10（450.010+550.015+650.015+750.030+850.025+950.005）=66.35（分），估計本次考試中的平均成績為66.35分。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與統計表，統計圖和統計指標相關問題，解答這類問題需要理解統計表，莖葉圖，頻率分布直方圖，平均數，方差，標準差的定義，掌握莖葉圖，頻率分布直方圖的作法，平均數，方差，標準差的求法，注意莖葉圖，頻率分布直方圖的性質；
（2）莖葉圖的特征是：①莖葉圖能夠看到真實的數據，沒有任何信息損失；②莖葉圖便于記錄和表示；③莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據；④莖葉圖也只方便記錄兩組數據；
（3）莖葉圖的基本畫法是：①用兩短豎線分成把圖分成兩部分，②兩組數據中選一組放左邊，另一組放右邊，③把數據的十位數記在兩短豎線之間，④將數據的個位數分別記在左右兩邊；
（4）解答頻率分布直方圖問題的關鍵是讀懂頻率分布直方圖，頻率分布直方圖中的每一個小矩形的面積是指樣本數據落在該區域的頻率，所有小矩形面積的和為1；
（5）作頻率分布直方圖的基本方法是：①求出原始數據的極差（最大值與最小值的差）；②確定組數與組距；③確定各組的起始點與終點；④列出統計數據分布表；⑤畫出頻率分布直方圖；
（6）總體估計的常用方法有：①點估計；②區間估計；
（7）點估計是直接運用樣本指標作為總體指標，常用的樣本指標有：①樣本的平均數；②樣本的標準差；③樣本的方差；常用的總體指標有：①總體的平均數；②總體的標準差；③總體的方差；
（8）區間估計是根據問題要求可靠程度去確定總體指標取值的區間，其基本方法是：①由問題要求的可靠程度確定抽樣的平均誤差；②根據抽樣平均誤差確定抽樣誤差的允許范圍；③根據抽樣誤差的允許范圍確定總體指標的取值范圍。
〔練習2〕解答下列問題：
1、將某選手的9個得分去掉1個最高分，
8
7
7
去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為
9
4
0
1
0
x
9
1
91分，現場作的9個分數的莖葉圖后來有一
個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示，則7個剩余分數的方差為
；
2、如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲，
甲
乙
乙兩名選手打出的分數的莖葉圖（其中m為數字
0
7
9
0----9中的一個），去掉一個最高分和一個最低
5
4
5
5
1
8
4
4
6
4
7
分后，甲，乙兩名選手得分的平均數分別為，
m
9
3
，則一定有（
）
A
＞
B
＜
C
=
D
,的大小與m的值有關
3、從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋質量分別為（單位：g）
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
根據頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機的袋裝質量在497.5—501.5之間的概率約為
；
4、某人在同一條件下射靶50次，其中射中5環或5環以下2次，射中6環3次，射中7環9次，射中8環21次，射中9環11次，射中10環4次。
（1）畫出樣本頻率分布直方圖；
（2）根據樣本的頻率分布直方圖估計該射擊者射中7環—9環的概率約是多少？
5、從全年級的學生的語文考試成績中任意抽取20名學生的成績如下（單位：分）
60
90
85
75
65
70
80
90
95
80
85
95
75
70
85
80
85
65
90
85
求全年級學生語文考試平均成績的估計值；
6、甲、乙兩臺機器同時制造某種零件，抽查15天中這兩臺機器制造該零件的數量，結果如下：
機器甲：151
150
141
143
135
131
141
142
150
142
144
137
134
140
134
機器乙：147
146
148
155
157
149
146
148
149
146
148
158
147
147
146
哪種機器的日均產量較高？
7、從甲、乙兩個總體中各抽取了一個樣本：
甲
900
920
900
850
910
920
乙
890
960
950
850
860
890
根據上述樣本估計，哪個總體的波動較小；
8、甲、乙兩人在相同條件下各射靶20次，命中的環數如下：
甲
7
8
6
8
6
5
9
10
7
4
5
6
5
6
7
8
7
9
10
9
乙
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
9
6
5
8
6
9
6
8
7
7
誰射擊的成績比較穩定？
y
【典例3】解答下列問題：
3000
.
1、x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有
2500
.
正確命題的序號為
2000
.
①x，y是負相關關系；②在該相關關系中，若用
1500
.
Y=擬合時的相關系數的平方為，用=
1000
.
x+擬合時的相關系數的平方為，則>；
500
.
.
.
.
.
③x，y之間不能建立線性回歸方程。
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
【解析】
【知識點】①隨機變量散點圖的定義與性質；②隨機變量相關的定義與性質；③相關系數的定義與求法；④判斷隨機變量相關的基本方法。
【解題思路】（1）運用變量相關的性質和判斷變量相關的基本方法，結合變量散點圖，對各結論的真假進行判斷就可得出結果。
【詳細解答】從x和y的散點圖可知，變量y歲變量x的增大而減小，圖中的點沒有分布在一條直線附近，①③正確，擬合時的相關系數越大，表明這種擬合越合理，②正確，即：下列說法中所有正確命題的序號為①②③。
2、四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸方程，分別得到以下四個結論：①y與x負相關，且=2.347x-6.423；②y與x負相關，且=-3.476x+5.648；
③y與x正相關，且=5.437x+8.493；④y與x正相關，且=-4.326x-4.578。其中一定不正確的結論的序號是（
）
A
①②
B
②③
C
③④
D
①④
【解析】
【知識點】①隨機變量線性相關的定義與性質；②回歸方程的定義與性質；③判斷隨機變量相關的基本方法。
【解題思路】運用變量相關的性質和判斷變量相關的基本方法，結合變量散點圖，對各結論的真假進行判斷就可得出結果。
【詳細解答】由=2.347x-6.423知，變量y與x正相關，①錯誤；由=-3.476x+5.648知，變量y與x負相關，②正確；由=5.437x+8.493知，變量y與x正相關，③正確；由=-4.326x-4.578知，變量y與x負相關，④錯誤，即其中一定不正確的結論的序號是①④，D正確，選D。
『思考問題3』
（1）【典例3】是隨機變量相關關系的問題，解答這類問題需要理解兩個隨機變量具有相關關系，隨機變量散點圖，隨機變量相關系數的定義，掌握判斷兩個隨機變量是否具有相關關系的基本方法；
（2）判斷兩個隨機變量是否具有相關關系的基本方法是：①隨機變量散點圖法；②隨機變量相關系數法；
（3）運用隨機變量散點圖法判斷隨機變量是否相關的基本方法是：①根據兩個隨機變量的一組對應值作出隨機變量散點圖；②根據隨機變量散點圖得出結論；
（4）運用隨機變量相關系數判斷隨機變量是否相關的基本方法是：①根據兩個隨機變量變量的一組對應值運用公式計算出隨機變量相關系數的值；②根據計算結果得出結論；
（5）判斷兩個隨機變量是正相關還是負相關的基本方法是：①隨機變量散點圖法；②隨機變量相關系數法；③運用線性回歸方程=x+中的系數的值，若>0，則為正相關；若<0，則為負相關。
〔練習3〕解答下列問題：
1、在一組樣本數據，，-----，（n2，，，------，不全相等）的散點圖中，所有的樣本點（，）（i=1,2，-------，n）都在直線y=x+1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（
）
A
-1
B
0
C
D
1
2、變量x與y相對應的一組數據為（10,1），（11,3.2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；變量u與v相對應的一組數據為（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）.
表示變量y與x的線性相關系數，表示變量v與u的線性相關系數，則（
）
A
＜＜0
B
0＜＜
C
＜0＜
D
=
【典例4】解答下列問題：
5
y
1、
某車間為了制定工時定額，需要確定加工零件所
花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數據如下：4
零件的個數x（個）
2
3
4
5
加工的時間y（小時）2.5
3
4
4.5
3
（1）在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖；
.
（2）求出y關于x的線性回歸方程=x+，
2
=0.7x+1.05
并在坐標系中畫出回歸直線；
0
1
2
3
4
5
x
（3）試預測加工10個零件需要多少小時？注：=，=-
。
【解析】
【知識點】①線性回歸方程的定義與性質；②隨機變量散點圖的定義與作法；③求線性回歸方程的基本方法；④統計預測的基本方法。
【解題思路】（1）運用作隨機變量散點圖的基本方法就可作出表中數據的散點圖；（2）根據公式求出，的值就可得到隨機變量y關于x的線性回歸方程，從而由回歸方程作出回歸直線；（3）把x=10代入線性回歸方程求出的值就可預測加工10個零件需要的時間。
【詳細解答】（1）在給定的坐標系中描出相應的點，得到表中數據的散點圖如圖所示；（2）===0.7，=-0.7=1.05，隨機變量y關于x的線性回歸方程為：=0.7x+1.05，在坐標系中畫出回歸直線如圖所示；（3）當x=10時，=0.710+1.05=8.05（小時），預測加工10個零件需要8.05小時。
2、下圖
是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖（注：年代代碼1—7分別對應年份2008—2014）。
（1）曲線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；
（2）建立y關于t的回歸方程，（系數精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量。附注：參考數據：參考公式：相關系數
，
回歸方程=x+中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
【解析】
【知識點】①線性回歸方程的定義與性質；②隨機變量折線圖的定義與性質；③隨機變量相關系數的定義與求法；④求線性回歸方程的基本方法；⑤統計預測的基本方法。
【解題思路】（1）運用隨機變量相關系數計算公式求出隨機變量y關于t的相關系數的值，從而說明可用線性回歸模型擬合隨機變量y關于t的關系；（2）根據公式求出，的值就可得到隨機變量y關于t的線性回歸方程，把t=9代入線性回歸方程求出的值就可預測2016年我國生活垃圾無害化處理量。
【詳細解答】（1）==4，=1.331，
=-7=40.17-741.3312.902，==2，r=0.99，隨機變量y關于t的相關系數約為0.99，接近1，可用線性回歸模型擬合隨機變量y與t的關系；（2）=0.103，1.331-0.10340.92，
隨機變量y關于t的線性回歸方程為：=0.103x+0.92，當t=9時，0.1039+0.92
1.82，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量為1.82億噸。
『思考問題4』
（1）【典例4】是與線性回歸方程和線性回歸分析相關的問題，解答這類問題需要理解線性回歸方程，線性回歸分析的定義，掌握線性回歸方程的求法和線性回歸分析的方法；
（2）求線性回歸方程的基本方法是：①判斷兩個變量是否具有線性相關關系；②運用公式：
=，
=-
求出回歸系數，（也可以用待定系數法，即根據回歸直線過樣本點的中心求系數，），③寫出線性回歸方程；
（3）回歸分析及回歸預測的基本方法是：①依據線性回歸方程視為變量y是變量x（或t）的一次函數，將變量x（或t）的值代入回歸直線方程求出變量y的值；②得出同角預測。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知x，y的取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
從所得散點圖中分析可知y與x線性相關，
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
且=0.95x+，則x=13時，y等于（
）
A
1.45
B
13.8
C
13
D
12.8
2、某產品的廣告費支出x與銷售額y
x
2
4
5
6
8
（單位：萬元）之間有如下對應數據：
y
30
40
60
50
70
（1）畫出隨機變量y關于x散點圖；
（2）求隨機變量y關于x線性回歸方程；
（3）試預測廣告費支出10萬元時，銷售額是多少？
【典例5】解答下列問題：
1、
為調查某地區老年人是否需要志愿者提供幫助，
性別
男
女
用簡單隨機抽樣方法從該地區調查了500位老年人，是否需要志愿者
結果如下：
需要
40
30
（1）估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助
不需要
160
270
的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？
（3）根據（2）的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由。
附p(≥k)
0.050
0.010
0.001
=
K
3.841
6.635
10.828
【解析】
【知識點】①分類變量的定義與性質；②列聯表的定義與性質；③獨立性檢驗的定義與性質；④獨立性檢驗的基本方法；⑤分層抽樣的定義與基本方法。
【解題思路】（1）運用點估計的基本方法，結合列聯表就可估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）根據列聯表，運用公式求出的值就可得出結論；（3）根據（2）中的結論可知老年人中，需要志愿者提供幫助與性別有關，結合分層抽樣的特征應該選用分層抽樣的方法來估計該地區的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例。【詳細解答】（1）調查的500人，需要志愿者提供幫助的人數為40+30=70（人），一般中需要志愿者提供幫助的老年人的比例為=，即估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例為；（2）
==9.967>6.635，有99%的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關；（3）由（2）知該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關，并且從表中可以看出該地區老年人中需要志愿者提供幫助的男性老年人與女性老年人有比較明顯的差異，調查時應該先確定該地區老年人的男女比例，再把老年人分成男女兩個群體，采用分層抽樣的方法比簡單隨機抽樣的方法會更好。
2、某大型企業人力資源部為了研究企業員工工作的積極性和對待企業改革的態度的關系，隨機抽取了100名員工進行調查，其中支持企業改革的調查者中工作積極的有46人，工作一般的有35人，而不太贊成企業改革的調查者中，工作積極的有4人，工作一般的有15人。
（1）根據以上數據建立一個2x2列聯表；
（2）對于人力資源部的研究項目，根據以上數據是否可以認為企業的全體員工對待企業改革的態度與其工作積極性有關？
參考公式：=
，
其中n=a+b+c+d為樣本容量。
P（
≥）0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】
【知識點】①分類變量的定義與性質；②列聯表的定義與性質；③獨立性檢驗的定義與性質；④獨立性檢驗的基本方法。
【解題思路】（1）運用列聯表的性質，結合問題條件就可得出2x2列聯表；（2）根據2x2列聯表，運用公式求出的值就可得出結論。
【詳細解答】（1）支持企業改革的調查者中工作積極的有46人，工作一般的有35人，不太贊成企業改革的調查者中，工作積極的有
工作積極
工作一般
合計
4人，工作一般的有15人，個2x2列聯表如
支持
46
35
81
表所示；（2）
==7.602，
不贊成
4
15
19
7.602>6.635，有99%的把握認為企業的全體員
合計
50
50
100
工對待企業改革的態度與其工作積極性有關。
『思考問題5』
（1）【典例5】是獨立性檢驗的問題，解答這類問題需要理解分類變量，獨立性檢驗的定義，了解2x2列聯表的意義，掌握獨立性檢驗的基本方法；
（2）判斷兩個分類變量是否有關的基本方法是：①運用列聯表計算的值進行判斷，越大兩個分類變量有關的可能性越大；②計算|ad-bc|的值進行判斷，|ad-bc|越大兩個分類變量有關的可能性越大；
（3）獨立性檢驗的基本方法是：①根據樣本數據制成2x2列聯表；②運用公式=
計算的觀察值；③比較與臨界值的大小，作出推斷。
〔練習5〕解答下列問題：
（1）為了普及環保知識，增強環保意識，某大學從理工類專業的A班和文史類專業的B班各抽取20名同學參加環保知識測試，統計得到成績與專業的列聯表：
優秀
非優秀
合計
②獨立性檢驗臨界值表：
A班
14
6
20
P（
≥）
0.050
0.010
B班
7
13
20
3.841
6.635
合計
21
19
40
附：參考公式及數據：
①統計量：=
（其中n=a+b+c+d為樣本容量）；
則下列說法正確的是（
）（2017泰安月考）
A
有99%的把握認為環保知識測試成績與專業有關
B有99%的把握認為環保知識測試成績與專業無關C有95%的把握認為環保知識測試成績與專業有關D有95%的把握認為環保知識測試成績與專業無關
（2）2016年9月20日是第28個全國愛牙日，為了迎接此節日，某地區衛生部門成立了調查小組，調查“常吃零食與患齲齒的關系”，對該地區小學六年級800名學生進行檢查，按患齲齒和不患齲齒分類，并匯總數據，不常吃零食且不患齲齒的學生有60名，常吃零食但不患齲齒的學生有100名，不常吃零食但患齲齒的學生有140名。
①能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該地區學生常吃零食與患齲齒有關系？
②4名衛生部門的工作人員隨機分成兩組，每組2人，一組負責數據收集，另一組負責數據處理，求工作人員甲分到收集數據組，工作人員乙分到處理數據組的概率。

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