資源簡介

例1：（1）函數的單調減區間是
；
（2）函數的單調遞減區間為
．
例2：函數的最大值為________．
例3：（1）已知定義域為的函數在區間上單調遞增，且滿足，則下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知函數是定義在[]上的增函數，且，則實數的取值范圍為
．
例4：偶函數在上單調遞增，且，則不等式的解集為（
）
A．
B．
C．
D．
例5：已知函數是定義在上的偶函數，且在上是單調函數，若，則下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
例6：對任意，函數都有成立，則函數的圖象關于點中心對稱．
例7：已知定義在上的函數的圖象關于點成中心對稱，且對任意的實數都有，且，，則
．
一、選擇題
1．已知函數是偶函數，當時，，且，則（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函數是偶函數，則（
）
A．
B．
C．
D．
3．設函數，則的遞增區間是（
）
A．
B．
C．和
D．和
4．若函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函數是定義在上的奇函數，對任意的，且，
有，若，則的解集為（
）
A．
B．
C．
D．
6．函數滿足對定義域中任意兩個不相等的都成立，則的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
7．函數是定義在上的奇函數，下列說法：
①；
②若在上有最小值為，則在上有最大值為；
③若在上為增函數，則在上為減函數；
④若時，，則時，．
其中正確說法的個數是（
）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
8．已知函數是定義在上的偶函數，且時，是單調函數，則滿足的所有之和為（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空題
9．函數的單調遞減區間為
．
10．已知函數是奇函數，且，則
．
11．已知函數為偶函數，其定義域為，則的值域為
．
12．已知函數是定義在上的不恒為零的奇函數，且對任意實數都有，若，則
；
．
三、解答題
13．已知函數．
（1）判斷函數在上的單調性，并用定義法證明；
（2）求函數在上的最小值．
14．設函數．
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）求的值；
（3）計算的值．
15．已知函數定義域為，對任意都有，當時，，．
（1）求；
（2）判斷函數在上的單調性，并證明；
（3）解不等式．
16．已知是定義在上的奇函數，當時，．
（1）求的解析式；
（2）是否存在非負實數，使得當時，函數的值域為，若存在，
求出實數的值；若不存在，請說明理由．
例1：【答案】（1）；（2）和．
【解析】（1）令，則，
因為在是增函數，
所以，當為的減函數時，為的減函數．
為了使得函數有意義，需，
又得對稱軸為，所以函數的減區間為．
（2）由定義域可知，且易得的單減區間為和．
例2：【答案】
【解析】令，則，∴，
當，即時取等號，∴函數取最大值為．
例3：【答案】（1）C；（2）．
【解析】（1）由可得函數的圖像關于直線對稱，
∴，，
又在區間上單調遞增，∴，即．
（2）因為函數是定義在上的增函數，
∴，解得，
故的取值范圍是．
例4：【答案】B
【解析】偶函數在上單調遞增，且，
∴當時，的解集為；當，的解集為，
∵，即，即或，
∴或，
∴不等式的解集為．
例5：【答案】A
【解析】∵函數是定義在上的偶函數，∴函數的圖象關于直線對稱，
∴，，
又，∴，∴函數在上單調遞減，
∴，即．
例6：【答案】
【解析】∵函數滿足，∴函數的圖象關于點中心對稱．
例7：【答案】1
【解析】由，得，及周期為3，
由圖象關于點成中心對稱，可得，
從而，∴，
由，，可得，
∴，
．
一、選擇題
1．【答案】A
【解析】∵函數是偶函數，∴，，．
2．【答案】C
【解析】當，，∴，
∵是偶函數，∴，∴．
3．【答案】C
【解析】的單調遞增區間是和．
4．【答案】A
【解析】函數的單調遞減區間是，
若函數在區間上是減函數，則，∴．
5．【答案】D
【解析】對任意的，且，有，
即函數在上是減函數，
又，再結合奇偶性可畫出函數的草圖如下．
等價于或，
解出可得或或．
6．【答案】A
【解析】由可得函數在定義域內是增函數，
則，解得．
7．【答案】B
【解析】①顯然正確；
∵奇函數的圖象關于原點對稱，∴②正確；
若在上為增函數，則在上為增函數，③錯誤；
若時，，則時，，④錯誤，
∴只有2個說法正確．
8．【答案】D
【解析】根據題意，函數是偶函數，則函數的圖象關于直線對稱，
又當時，是單調函數，則時，也是單調函數，
若，則或，
化簡得或，
有兩根，兩根之和為，有兩根，兩根之和為，
則滿足的所有之和為．
二、填空題
9．【答案】和
【解析】由定義域可知，且易得的單減區間為和．
10．【答案】
【解析】令，，
∵是奇函數，∴，
又，∴．
11．【答案】
【解析】∵是偶函數，∴定義域關于原點對稱，
∴，∴，且此時拋物線的對稱軸為軸，∴，
此時在上的值域為．
12．【答案】，
【解析】令，由可得；
當且時，由可得，
，所以．
三、解答題
13．【答案】（1）見解析；（2）4．
【解析】（1）函數在上的單調遞增，證明如下：
令，
又，
∵，∴，，，，
∴，即，
∴函數在上的單調遞增．
（2）由（1）知函數在上的單調遞增，
∴函數在上的最小值為．
14．【答案】（1）偶函數；（2）0；（3）1．
【解析】（1）函數的定義域為，
又，∴為偶函數．
（2），∴．
（3）由（2）可得，∴，又，，∴．
15．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）．
【解析】（1）令，可得，
令，可得，
又，∴．
（2）函數在上單調遞增，證明如下：
令，可得，
即，
令，則，
又∵當時，，∴，即，
∴函數在上單調遞增．
（3），∴，
又，∴，即，
由（1）得，∴，
結合單調性可得．
16．【答案】（1）；（2）見解析．
【解析】（1）當時，，∴，
∵是定義在上的奇函數，∴，
∴．
（2）當時，函數在上單調遞減，
顯然不存在非負實數使得函數的值域為；
當時，對討論如下，
當時，函數在上單調遞增，有，，
為的兩個解，∴，解得，，此時不合題意；
當時，有，，解得或（不合題意，舍去），．
綜上，存在，，使得當時，函數的值域為．
函數的圖像與性質
1、單調性的判斷
2、利用單調性求最值
3、利用單調性比較大小、解抽象函數不等式
4、奇偶性
5、軸對稱
6、中心對稱
7、周期性的應用

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