資源簡介

3.4實際問題與一元一次方程（一）知識點精講精練
知識點精講
【要點梳理】
知識點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類
題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
要點詮釋：
（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系；
（2）“設”就是設未知數，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數；
（3）“列”就是列方程，即列代數式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統一；
（4）“解”就是解方程，求出未知數的值．
（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；
（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．
知識點二、常見列方程解應用題的幾種類型（待續）
1．和、差、倍、分問題
（1）基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，
現有量＝原有量+增長量，現有量＝原有量-降低量．
（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．
2．行程問題
（1）三個基本量間的關系：
路程=速度×時間
　（2）基本類型有：
　
①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間
Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．
②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間
Ⅱ．尋找相等關系：
同地不同時出發：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同時不同地出發：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．
③航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，
逆流速度=靜水速度－水流速度，
順水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．
（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．
3．工程問題
如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關系式：
（1）總工作量=工作效率×工作時間；
（2）總工作量=各單位工作量之和．
4．調配問題
尋找相等關系的方法：抓住調配后甲處的數量與乙處的數量間的關系去考慮．
【典型例題】
類型一、和差倍分問題
1．麻商集團三個季度共銷售冰箱2800臺，第一個季度銷售量是第二個季度的2倍．第三個季度銷售量是第一個季度的2倍，試問麻商集團第二個季度銷售冰箱多少臺?
【答案】解：設第二個季度麻商集團銷售冰箱x臺，則第一季度銷售量為2x臺，第三季度銷售量為4x臺，依題意可得：x+2x+4x＝2800，
解得：x＝400
答：麻商集團第二個季度銷售冰箱400臺．
類型二、行程問題
1.一般問題
2.某汽車在一段坡路上往返行駛，上坡的速度為10千米/時，下坡的速度為20千米/時，求汽車的平均速度．
【答案】
解：設這段坡路長為a千米，汽車的平均速度為x千米/時，則上坡行駛的時間為小時，下坡行駛的時間為小時．依題意，得：，
化簡得：
．
顯然a≠0，解得
答：汽車的平均速度為千米/時．
2.相遇問題（相向問題）
【高清課堂：實際問題與一元一次方程(一)
388410
相遇問題】
3．
A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發，問甲經過多少時間與乙相遇？
【答案與解析】
解:設甲經過x小時與乙相遇.
由題意得：
解得，x=2.75
答：甲經過2.75小時與乙相遇．
【總結升華】等量關系：甲走的路程+乙走的路程=100km
3.追及問題（同向問題）
4．一隊學生去校外進行軍事野營訓練，他們以5千米/時的速度行進，走了18分鐘時，學校要將一緊急通知傳給隊長，通訊員從學校出發，騎自行車以14千米/時的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學生隊伍?
【答案與解析】
解：設通訊員x小時可以追上學生隊伍，則根據題意，
得，
得：，
小時=10分鐘．
答：通訊員用10分鐘可以追上學生隊伍．
4.航行問題（順逆風問題）
5．一艘船航行于A、B兩個碼頭之間，輪船順水航行需3小時，逆水航行需5小時，已知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離．
【答案與解析】
解法1：設船在靜水中速度為x千米/時，則船順水航行的速度為(x+4)千米/時，逆水航行的速度為(x-4)千米/時，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）
答：兩碼頭之間的距離為60千米．
解法2：設A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順水航行時速度為千米/時，逆水航行時速度為千米/時，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：
答：兩碼頭之間的距離為60千米．
類型三、工程問題
6．一個水池有兩個注水管，兩個水管同時注水，10小時可以注滿水池；甲管單獨開15小時可以注滿水池，現兩管同時注水7小時，關掉甲管，單獨開乙管注水，還需要幾小時能注滿水池?
【思路點撥】視水管的蓄水量為“1”，設乙管還需x小時可以注滿水池；那么甲乙合注1小時注水池的，甲管單獨注水每小時注水池的，合注7小時注水池的，乙管每小時注水池的．
【答案與解析】
解：設乙管還需x小時才能注滿水池．
由題意得方程：
解此方程得：x＝9
答：單獨開乙管，還需9小時可以注滿水池．
類型四、調配問題（比例問題、勞動力調配問題）
7．星光服裝廠接受生產某種型號的學生服的任務，已知每3m長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用750m長的這種布料生產學生服，應分別用多少布料生產上衣和褲子才能恰好配套?共能生產多少套?
【思路點撥】每3米布料可做上衣2件或褲子3條，意思是每1米布料可做上衣
件，或做褲子1條，此外恰好配套說明褲子的數量應該等于上衣的數量．
【答案與解析】
解：設做上衣需要xm，則做褲子為(750-x)m，做上衣的件數為件，做褲子的件數為，則有：
解得：x＝450，
750-x＝750-450＝300(m)，
（套）
答：用450m做上衣，300m做褲子恰好配套，共能生產300套．
知識點精練
一、選擇題
1、
一個長方形的周長為26
cm,
這個長方形的長減少1
cm,
寬增加2
cm,
就可成為一個正方形,
設長方形的長為
x
cm,
則可列方程
(
)
A.
B.
C.
D.
2、某藥店經營的抗病毒藥品，在市場緊缺的情況下提價100%，物價部門查處后，限定其提價的幅度只能是原價的10%，則該藥品現在降價的幅度是（
）
A．55%
B．50%
C．90%
D．95%
3、磁懸浮列車是一種科技含量很高的新型交通工具，它具有速度快、爬坡能力強、能耗低的特點，它每個座位的平均能耗僅為飛機每個座位的平均能耗的三分之一，是汽車每個座位的平均能耗的70%，那么汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的（
）
A．
B．
C．
4、甲乙兩地相距180千米，已知輪船在靜水中的航速是a千米/小時，水流速度是10千米/小時，若輪船從甲地順流航行3小時到達乙地后立刻逆流返航，則逆流行駛1小時后離乙地的距離是（
）.
A．40千米
B．50千米
C．60千米
D．140千米
5、一條山路，某人從山下往山頂走3小時還有1千米才到山頂，若從山頂走到山下只用150分鐘，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山頂的路程．設上山速度為x千米／分鐘，則所列方程為
A．
B．
C．
D．
二、填空題
6、一商店把彩電按標價的9折出售，仍可獲利20%，若該彩電的進價是2400元，則彩電的標價為_______元．
7．一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%優惠賣出）銷售，結果每件服裝仍可獲利15元，則這種服裝每件的成本價是______元．
8、9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天內完成，則需增加的人數是__________．
9.
輪船在靜水中速度為每小時20km,水流速度為每小時4km,從甲碼頭順流航行到乙碼頭,再返回甲碼頭,共用5小時(不計停留時間),求甲、乙兩碼頭的距離.若設兩碼頭間的距離為x
km,可列方程
．
10、某地居民生活用電基本價格為0.50元/度.規定每月基本用電量為a度,超過部分電量的毎度電價比基本用電量的毎度電價增加20%收費,某用戶在5月份用電100度,共交電費56元,則a
=
度.
三、解答題
11、某企業生產一種產品，每件成本是400元，銷售價為510元，本季度銷售300件，為進一步擴大市場，企業決定在降低銷售價的同時降低生產成本，經過市場調研，預測下季度這種產品每件銷售價降低4%，銷售量將提高10%，要使銷售利潤保持不變，該產品每件成本應降低多少元？
某工人按原計劃每天生產20個零件，到預定期限還有100個零件不能完成，若把工效提高25%，到期將超額完成50個，問此工人原計劃生產零件多少個?預定期限是多少天?
13、
A、B兩地相距216千米，甲、乙分別在A、B兩地，若甲騎車的速度為15千米/時，乙騎車的速度為12千米/時。
（1）甲、乙同時出發，背向而行，問幾小時后他們相距351千米？
（2）甲、乙相向而行，甲出發三小時后乙才出發，問乙出發幾小時后兩人相遇？
（3）甲、乙相向而行，要使他們相遇于AB的中點，乙要比甲先出發幾小時？
（4）甲、乙同時出發，相向而行，甲到達B處，乙到達A處都分別立即返回，幾小時后相遇？相遇地點距離A有多遠？
14.
甲乙兩車間共120人，其中甲車間人數比乙車間人數的4倍少5人.
（1）求甲、乙兩車間各有多少人？
（2）若從甲、乙兩車間分別抽調工人，組成丙車間研制新產品，并使甲、乙、丙三個車間的人數比為13∶4∶7，那么甲、乙兩車間要分別抽調多少工人？
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