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余弦定理的證明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍,即在中,已知,,,則有
,
,
.
二、定理證明
為了敘述的方便與統(tǒng)一,我們證明以下問(wèn)題即可:
在中,已知,,及角,求證:.
證法一:如圖1,在中,由可得:
即,.
證法二:本方法要注意對(duì)進(jìn)行討論.
(1)當(dāng)是直角時(shí),由知結(jié)論成立.
(2)當(dāng)是銳角時(shí),如圖2-1,過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),則
在中,,.
從而,.
在中,由勾股定理可得:
即,.
說(shuō)明:圖2-1中只對(duì)是銳角時(shí)符合,而還可以是直角或鈍角.若是直角,圖中的點(diǎn)就與點(diǎn)重合；若是鈍角,圖中的點(diǎn)就在的延長(zhǎng)線上.
(3)當(dāng)是鈍角時(shí),如圖2-2,過(guò)點(diǎn)作,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),則
在中,,.
從而,.
在中,由勾股定理可得:
即,.
綜上(1),(2),(3)可知,均有成立.
證法三:過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),則
在中,,.
在中,,.
由可得:
整理可得.
證法四:在中,由正弦定理可得.
從而有,………………………………………………………………①
.
…………………………②
將①帶入②,整理可得.…………………………………………③
將①,③平方相加可得.
即,.
證法五:建立平面直角坐標(biāo)系(如圖4),則由題意可得點(diǎn),,,再由兩點(diǎn)間距離公式可得.
即,.
證法六:在中,由正弦定理可得,,.
于是,
即,結(jié)論成立.
證法七:在中,由正弦定理可得,,.
于是,
由于,因此
.
這,顯然成立.
即,結(jié)論成立.
證法八:如圖5,以點(diǎn)為圓心,以為半徑作,直線與交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于.
則由作圖過(guò)程知,
故.
由相交弦定理可得:,
即,,
整理可得:.
證法九:如圖6,過(guò)作∥,交的外接圓于,則,.分別過(guò)作的垂線,垂足分別為,則,故.
由托勒密定理可得,
即,.
整理可得:.
證法十:由圖7-1和圖7-2可得,
整理可得:.
余弦定理的證明方法還有很多,比如可以用物理方法證明、可以構(gòu)造相似三角形證明、可以利用圖形面積證明等.感興趣的讀者可以到圖書館或互聯(lián)網(wǎng)中進(jìn)行查詢.
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