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專題03
函數的極值與導數
一、極值點與極值的概念
1．如圖是函數y＝f(x)的圖象，在x＝a鄰近的左側f(x)單調遞增，f′(x)__>__0，右側f(x)單調遞減，f′(x)__<__0，在x＝a鄰近的函數值都比f(a)小，且f′(a)__＝__0.在x＝b鄰近情形恰好相反，圖形上與a類似的點還有__(c，f(c))__，(e，f(e))，與b類似的點還有__(d，f(d))__.
我們把點a叫做函數f(x)的極__大__值點，f(a)是函數的一個極__大__值；把點b叫做函數f(x)的極__小__值點，f(b)是函數的一個極__小__值．
一般地，已知函數y＝f(x)及其定義域內一點x0，對于x0附近的所有點x，如果都有__f(x)f(x0)__，則稱函數f(x)在點x0處取得__極小值__，并把x0稱為函數f(x)的一個__極小值點__.極大值與極小值統稱為__極值__，極大值點與極小值點統稱為__極值點__.
極值的定義
(1)極大值與極小值統稱為極值．
(2)極值反映了函數在某一點附近的函數值的大小情況，刻畫的是函數的局部性質．
三、求函數極值的步驟
(1)確定函數的定義域；
(2)求導數f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的全部實根；
(4)檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．
注意：可導函數的極值點一定是其導數為零的點；反之，導數為零的點不一定是該函數的極值點，因此導數為零的點(又稱駐點、可疑點)僅是該點為極值點的必要條件，其充分條件是這點兩側的導數異號．
技巧1
利用導數求函數的極值
例1、求下列函數的極值，并畫出函數的草圖：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
【解】　(1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
當x變化時，y′，y的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
0
＋
y
?
無極值
?
極小值0
?
無極值
?
∴當x＝0時，y有極小值且y極小值＝0.
函數的草圖如圖所示：
(2)函數f(x)＝的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
?
因此，x＝e是函數的極大值點，極大值為f(e)＝，沒有極小值．
函數的草圖如圖所示：
『規律總結』　利用導數求函數極值的步驟：
(1)確定函數的定義域．
(2)求導數f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個小開區間，列表，判定導函數在各個小開區間的符號．
(5)確定函數的極值，如果f′(x)的符號在x0處由正(負)變負(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值．
例2、設a為實數，函數f(x)＝x3－x2－x＋a.求f(x)的極值；
[解析]　f
′(x)＝3x2－2x－1.
令f
′(x)＝0，則x＝－或x＝1.
當x變化時，f
′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，
極小值是f(1)＝a－1.
技巧2
求參數的值或取值范圍問題
例3、已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c的值．
[思路分析]　本題的關鍵是理解“f(x)在x＝±1處的極大值為4，極小值為0”的含義．即x＝±1是方程f′(x)＝0的兩個根且在根x＝±1處f′(x)取值左、右異號．
[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由題意，f′(x)＝0應有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)當a＞0時，x變化時，y、y′的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
極大值
↘
無極值
↘
極小值
↗
由表可知：
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)當a＜0時，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
綜上，a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
『規律總結』　已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，注意以下兩點：
(1)根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．
(2)因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證充分性．
例4、已知函數f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)當a＝－1時，求函數f(x)的極值；
(2)若函數F(x)＝f(x)＋1沒有零點，求實數a的取值范圍．
[解析]　(1)當a＝－1時，f(x)＝，f
′(x)＝.
由f
′(x)＝0，得x＝2.當x變化時，f
′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f
′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
極小值
↗
所以函數f(x)的極小值為f(2)＝－，
函數f(x)無極大值．
(2)F′(x)＝f
′(x)＝＝.
①當a<0時，F(x)，f′(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
F(x)
↘
極小值
↗
若使函數F(x)沒有零點，當且僅當F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此時－e2②當a>0時，F(x)，f′(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
F(x)
↗
極大值
↘
當x>2時，F(x)＝＋1>1，
當x<2時，令F(x)＝＋1<0，即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，
即x≤1－時，F(x)<0，所以F(x)總存在零點．
綜上所述，所求實數a的取值范圍是(－e2,0)．
一、選擇題
1．已知函數，則有（
）
A．極小值-1
B．極大值-1
C．極小值點-1
D．極大值點-1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得導函數,令求得極值點.判斷極值點左右兩側的單調性,即可判斷是極大值還是極小值,代入函數求得極值即可.
【詳解】
函數，則
令,解得
當時,,則在時單調遞減
當時,,則在時單調遞增
所以在處取極小值,極小值為
故選:A
【點睛】
本題考查了利用導數求函數的極值與極值點,屬于基礎題.
2．函數的定義域為，導函數的圖象如圖所示，則函數(
)
A．無極大值點、有四個極小值點
B．有一個極大值點、兩個極小值點
C．有兩個極大值點、兩個極小值點
D．有四個極大值點、無極小值點
【答案】C
【解析】
【分析】
設導函數的圖象與x軸的交點從左到右依次為，寫出函數的單調區間即得極值點.
【詳解】
設導函數的圖象與x軸的交點從左到右依次為，
所以函數f（x）的單調增區間為，單調減區間為，
所以函數有兩個極大值點，兩個極小值點.
故選：C
【點睛】
本題主要考查函數的單調性和極值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.
3．己知函數，在處取得極大值，則實數的值是（
）
A．
B．2
C．2或6
D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意可得，解出c的值之后必須驗證是否符合函數在某一點取得極大值的充分條件.
【詳解】
函數的導數為，?
由在處有極大值，即有，即，
解得或6，?若時，，可得或，?
由在處導數左負右正，取得極小值，?
若，，可得或2?，
由在處導數左正右負，取得極大值.?綜上可得.
所以D選項是正確的.
【點睛】
本題考查利用導數研究函數的極值，根據函數的極值求參數需注意驗證函數的單調性，屬基礎題.
4．已知f(x)＝x2－cos
x，x∈[－1,1]，則導函數f′(x)是(
)
A．僅有最小值的奇函數
B．既有最大值，又有最小值的偶函數
C．僅有最大值的偶函數
D．既有最大值，又有最小值的奇函數
【答案】D
【解析】
試題分析：因為，依題意可知該函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數為奇函數，另一方面，因為，所以，所以，故在單調遞增，最大值為，最小值為，綜上可知選D.
考點：1.函數的單調性與極值；2.函數的奇偶性.
填空題
5．為函數的一個極值點，則函數的極小值為__________．
【答案】0
【解析】
∵，∴。
∵為函數的一個極值點，
∴，解得。
當時，。∴當或時，單調遞增，
當時，單調遞減。∴當時，有極大值，且極大值為。
答案：0.
6．若函數的極小值為2，則實數的值為______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出函數的單調區間，再求出函數的極小值點得解.
【詳解】
由題得，
由得函數的增區間為，
由得函數的減區間為，所以當x=0時，函數取極小值，
所以.
故答案為：2
【點睛】
本題主要考查函數的極值的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.
7．若函數在內有極小值，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式組求得實數b的取值范圍．
【詳解】
解：由題意得，函數f（x）＝x3﹣6bx+3b
的導數為
f′（x）＝3x2﹣6b
在（0，1）內有零點，
且
f′（0）＜0，f′（1）＞0．
即﹣6b＜0，且
（3﹣6b）＞0．∴0＜b，
故答案為：．
點評：簡單題，由二次函數的極小值點在指定區間內，求參數的取值范圍，一般可利用導數求函數極值和二次函數的性質等求解．
1．【2019年高考全國Ⅰ卷理數】已知函數，為的導數．證明：
（1）在區間存在唯一極大值點；
【答案】（1）見解析；
【解析】（1）設，則，.
當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，
設為.
則當時，；當時，.
所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.
2．【2019年高考江蘇】設函數、為f（x）的導函數．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；
【答案】（1）；（2）見解析；
【解析】（1）因為，所以．
因為，所以，解得．
（2）因為，
所以，
從而．令，得或．
因為都在集合中，且，
所以．
此時，．
令，得或．列表如下：
1
+
0
–
0
+
極大值
極小值
所以的極小值為．
3【2020年高考天津】已知函數，為的導函數．
（Ⅰ）當時，
（i）求曲線在點處的切線方程；
（ii）求函數的單調區間和極值；
【解析】（Ⅰ）（i）當時，，故．可得，，所以曲線在點處的切線方程為，即．
（ii）依題意，．從而可得，整理可得．令，解得．
當變化時，的變化情況如下表：
1
-
0
+
↘
極小值
↗
所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；的極小值為，無極大值．
4．[2016·四川卷]已知a為函數f(x)＝x3－12x的極小值點，則a＝(　　)
A．－4
B．－2
C．4
D．2
答案：D
解析：由題意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2.當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，所以a＝2.
5.[2014·重慶卷]已知函數f(x)＝＋－ln
x－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函數f(x)的單調區間與極值．
解：(1)對f(x)求導得f′(x)＝－－，
由f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，
解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln
x－，則f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因為x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)上，故舍去．
當x∈(0,5)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)上為減函數；
當x∈(5，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上為增函數．
由此知函數f(x)在x＝5時取得極小值f(5)＝－ln
5.
6.【2017課標II，理11】若是函數的極值點，則的極小值為（
）
A.
B.
C.
D.1
【答案】A
【解析】
【考點】
函數的極值；函數的單調性
【名師點睛】(1)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同。
(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值。
今天錯在哪里啦？
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